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常微分方程主要内容复习常微分方程主要内容复习 能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的的解解.微分方程的解、通解与特解微分方程的解、通解与特解 如果微分方程的解中含任意常数如果微分方程的解中含任意常数,且独立的且独立的(即即不可合并而使个数减少的不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解通解.不包含任意常数的解为微分方程不包含任意常数的解为微分方程特解特解.2.利用“常数变易法”求线性非齐次方程(1)的通解：设是方程(1)的解，其中C(x)为待定常数,将(4)式求其对x的导数，得代入方程(1)中，得化简后，得将上式积分，得其中C为任意常数.把(5)式代入(4)式中，即得方程(1)的通解为 通过把对应的线性齐次方程的通解中的任意常数变易为待定函数，然后求出线性非齐次方程的通解，这种方法称为常数变易法.二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线性微分方程二、二、常系数线性齐次微分方程解的结构常系数线性齐次微分方程解的结构三、三、二阶常系数线性齐次微分方程的解法二阶常系数线性齐次微分方程的解法 的方程，称为二阶线性微分方程.当 时，方程(1)成为称为二阶线性齐次微分方程，当 时，方程(1)称为二阶线性非齐次微分方程./形如 当系数P(x)、Q(x)分别为常数p、q时，则称方程为二阶常系数线性齐次微分方程，称方程/为二阶常系数线性非齐次微分方程.定理 设y1(x)，y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个解，则 也是方程(3)的解，其中C1,C2是任意常数.一、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构一、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构定理 如果函数y1(x)与y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个线性无关的特解，则就是方程(3)的通解.求二阶常系数齐次线性微分方程(3)的通解步骤：1.写出特征方程，并求出特征方程的两个根；2.根据两个特征根的不同情况，按照公式(6)、(7)或(8)写出微分方程的通解.可使用下表:两个不相等的实根特征方程:微分方程:两个相等的实根一对共轭复根的两个根r1,r2的通解二阶常系数非齐次线形微分方程v二阶常系数非齐次线形微分方程的一般形式为：v当 时，二阶常系数非齐次线形v微分方程具有形如 v的特解，其中 是与 同次（m次）的多项式，而k按 是不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2。v当 或 时，v由欧拉公式知道，和 v分别是 的实部和虚部。v而方程 具有形如v 的特解，其中 是与 同次（m次）的多项式，而k按 是不是特征方程的根、是特征方程的单根依次取0或1。v方程 和 v的特解分别是（9）式的特解的实部和虚部。欧拉方程v形如v的方程称为欧拉方程，其中 为常数。v欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同。v解法：作变量替换 将自变量x换成t，则有 v如果采用记号D表示对自变量t的求导运算v则上述结果可以写为v将上述变换代入欧拉方程，则可化为以t为自变量的常系数线性微分方程，求出该方程的解后，把t换为v ，即得欧拉方程的解。结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！20