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二章有理数全章复习 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、知识网络一、知识网络有理数有理数概念概念运算运算有理数的分类有理数的分类相反数相反数大小比较大小比较法法 则则 运算律运算律数轴数轴近似数与有效数字近似数与有效数字绝对值绝对值倒数倒数加法加法减法减法乘法乘法除法除法乘方乘方混合运算混合运算交换律交换律科学记数法科学记数法结合律结合律分配律分配律（一）注意学好概念，深刻理解概念（一）注意学好概念，深刻理解概念二、注意事项二、注意事项 不少同学对概念记得准，背得熟，但是遇到具体问题就混淆不不少同学对概念记得准，背得熟，但是遇到具体问题就混淆不清，这是没有理解概念的缘故，因此学好概必须着重理解概念。清，这是没有理解概念的缘故，因此学好概必须着重理解概念。例如：例如：(-3)2与与-32的意义是什么？结果等于什么？经常混淆。的意义是什么？结果等于什么？经常混淆。理解理解“非非”的概的概念念非正数非正数负数负数零零非负数非负数正数正数零零非正有理数非正有理数负有理数负有理数零零非负有理数非负有理数正有理数正有理数零零（二）注意运算顺序（二）注意运算顺序 运算中很多错误来自颠倒了运算顺序。例如下面的计算。运算中很多错误来自颠倒了运算顺序。例如下面的计算。（三）正确使用运算法则和运算律（三）正确使用运算法则和运算律 在使用乘法分配律时，常出现符号错误。例如：在使用乘法分配律时，常出现符号错误。例如：正确算法你知道吗？正确算法你知道吗？弄清概念，对比理解，正弄清概念，对比理解，正确使用运算法则及运算律是避确使用运算法则及运算律是避免错误的重要一环，千万不可免错误的重要一环，千万不可用盲目做题来达到学好数学的用盲目做题来达到学好数学的目的。目的。赠赠 语语（一）转化思想（一）转化思想 转化思想是一种最基本的数学思想，将转化思想是一种最基本的数学思想，将所要研究或解决的问题转化为已经学过的问所要研究或解决的问题转化为已经学过的问题来处理的数学思想称为题来处理的数学思想称为转化思想转化思想。如：在相反数及加法法则的基础上，利如：在相反数及加法法则的基础上，利用减法法则，将减法运算用减法法则，将减法运算转化转化为加法运算。为加法运算。又如利用倒数的概念得到除法法则将除法又如利用倒数的概念得到除法法则将除法转转化化为乘法运算。利用绝对值概念将有理数运为乘法运算。利用绝对值概念将有理数运算算转化转化为算术运算。为算术运算。三、思想方法三、思想方法（二）数形结合思想（二）数形结合思想 著名数学家华罗庚说：著名数学家华罗庚说：“数缺形而少直数缺形而少直觉，形少数而难入微觉，形少数而难入微”。指明研究数学问题。指明研究数学问题要注意数形结合。要注意数形结合。数形结合数形结合就是把抽象的数学语言和直观就是把抽象的数学语言和直观的图形结合起来，使抽象变直观，化繁为简，的图形结合起来，使抽象变直观，化繁为简，化难为易，启迪思维探求解题思路。化难为易，启迪思维探求解题思路。用数轴上点来表示有理数，就是最简单用数轴上点来表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现。结合数轴，对于理的数形结合思想的体现。结合数轴，对于理解有理数的绝对值、相反数等概念以及大小解有理数的绝对值、相反数等概念以及大小比较等，更有直观性。比较等，更有直观性。当被研究的问题包含多种可能情况，不当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，这种处理问题的思维方法称为这种处理问题的思维方法称为分类讨论思想分类讨论思想如：下面研究数如：下面研究数a a的绝对值的绝对值 若若a a0 0，则，则a a=;1 1）若若a a0 0，则，则a a=;若若a=0a=0，则，则a a=;a a-a-a0 02)2)对任何有理数对任何有理数a,a,总有总有a a0.0.（三）分类讨论思想（三）分类讨论思想分类讨论一般按以下四个步骤：分类讨论一般按以下四个步骤：1 1）确定分类讨论的对象；）确定分类讨论的对象；2 2）进行合理的分类；）进行合理的分类；3 3）逐类进行讨论；）逐类进行讨论；4 4）归纳分类结果，得出问题答案）归纳分类结果，得出问题答案所谓合理分类，是指分类时应按同一标所谓合理分类，是指分类时应按同一标准进行，并做到不准进行，并做到不“重复重复”，不，不“遗漏遗漏”在有理数这一章中的一些主要概念和性质，在有理数这一章中的一些主要概念和性质，例如：数轴、相反数、绝对值、有理数大小比例如：数轴、相反数、绝对值、有理数大小比较、有理数的运算法则和运算律的研究都离不较、有理数的运算法则和运算律的研究都离不开观察。开观察。（四）观察方法（四）观察方法应考方略应考方略 从已知条件出发，运用定义、公式、定从已知条件出发，运用定义、公式、定理进行运算推理，直接得出结论。理进行运算推理，直接得出结论。一、常见题型介绍一、常见题型介绍1、填空题及其解法、填空题及其解法（1）直接法）直接法例例1如果如果a的相反数是最大的负整数，的相反数是最大的负整数，b是绝对值最小是绝对值最小的数，那么的数，那么a+b=。填空题是初中数学的基本题型，这类题知识点覆盖填空题是初中数学的基本题型，这类题知识点覆盖面大，对于考察基础知识、基本方法、基本技能、计算面大，对于考察基础知识、基本方法、基本技能、计算的准确性和解题速度都有很大作用。的准确性和解题速度都有很大作用。解：最大的负整数是解：最大的负整数是-1，a是是-1的相反数，则的相反数，则a=1；绝；绝对值最小的数是对值最小的数是0，所以，所以a+b=1+0=1（2）识记法）识记法 通过对定义、公式、定理的掌握与回忆，通过对定义、公式、定理的掌握与回忆，把问题填补完整。把问题填补完整。例例2 和分数统称为有理数。和分数统称为有理数。解：整数解：整数 依据题目的条件及特征，选择恰当的数依据题目的条件及特征，选择恰当的数值、特殊图形进行运计算或推理，求得正确结论。值、特殊图形进行运计算或推理，求得正确结论。（3）特殊法）特殊法例例3已知已知0a、=或或)解：可取符合条件的特殊数，取解：可取符合条件的特殊数，取a=1/2时，时，1/a=2，1/221/22，a1/a，所以应填，所以应填”0，b0，c|c|，化简，化简|c-a|+|c-b|+|b-a|=。解：由已知条件，解：由已知条件，a，b，c可在数轴上表示如下：可在数轴上表示如下：根据数轴上表示的两个根据数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。数，右边的数总比左边的数大。|c-a|+|c-b|+|b-a|=a-c+c-b+a-b=2a-2b 0acb2 2、选择题及其解法、选择题及其解法 从题干给出的条件出发，联想有关的基从题干给出的条件出发，联想有关的基础知识，通过推理、计算得到结论，从而确定选择支础知识，通过推理、计算得到结论，从而确定选择支是正确的。此法为常用方法。是正确的。此法为常用方法。（1）直接法）直接法例例1下列说法中，正确的是（下列说法中，正确的是（）A.在有理数中，在有理数中，0的意义仅表示没有的意义仅表示没有B.正有理数和负有理数组成全体有理数正有理数和负有理数组成全体有理数C.0.7不是正数，也不是分数，因此它不是有理数不是正数，也不是分数，因此它不是有理数D.零既不是正数，也不是负数零既不是正数，也不是负数 选择题是标准化试题的主要形式，选择题一般由选择题是标准化试题的主要形式，选择题一般由“解题指令解题指令”、“题干题干”、“答案答案”三部分构成。初中三部分构成。初中数学的选择题一般指明在备选答案中只有一个正确，大数学的选择题一般指明在备选答案中只有一个正确，大都属于单项选择题。下面介绍几中常用方法。都属于单项选择题。下面介绍几中常用方法。解：直接判断后，选择解：直接判断后，选择D 也叫做筛选法，是间接解选择题的方法也叫做筛选法，是间接解选择题的方法之一。因为指令中指明了备选答案只有一个正确，所之一。因为指令中指明了备选答案只有一个正确，所以当用直接法受到限制时，可以根据已知条件及选择以当用直接法受到限制时，可以根据已知条件及选择支提供的信息，筛选排除其中三个答案，则剩下的一支提供的信息，筛选排除其中三个答案，则剩下的一个就是需要选择的答案了。个就是需要选择的答案了。（2）排除法）排除法例例2 下列判断正确的是（下列判断正确的是（）A.m表示有理数，则表示有理数，则-m表示负数表示负数B.m表示有理数，则表示有理数，则m的相反数是的相反数是-mC.m表示有理数，则表示有理数，则-m的绝对值是的绝对值是mD.m表示有理数，则表示有理数，则m倒数是倒数是1/m解：举反例排除解：举反例排除A。反例：取。反例：取m的值为的值为-4，则，则-m=4；举反例排除；举反例排除C，当，当 m=-6时，时，-m的绝对值是的绝对值是-m，而不是，而不是m；举反例排除；举反例排除D，当，当m=0时，时，m没有倒数，故应选没有倒数，故应选B。也叫做特例法，对于界定某一个范围的也叫做特例法，对于界定某一个范围的选择题，可以通过选择符合题干条件的特殊情况（特选择题，可以通过选择符合题干条件的特殊情况（特殊值、特殊图形、特殊关系等）进行计算和推理，排殊值、特殊图形、特殊关系等）进行计算和推理，排除错误答案，验证正确结论。这种解法的思路是把抽除错误答案，验证正确结论。这种解法的思路是把抽象问题具体化，一般问题特殊化。象问题具体化，一般问题特殊化。（3）特殊值法）特殊值法 例例3 相反数是相反数是a+b，则原数是（，则原数是（）A.a-b B.b-a C.a+b D.-(a+b)解：取特殊值解：取特殊值a=3，b=5，则，则a+b=8，而答案中，而答案中A.-2，B.2，C.2，D.-8，显然原数，显然原数-8是正确的，故是正确的，故本题应选本题应选D。很多与字母相关的题都可以用此法很多与字母相关的题都可以用此法 是运用数形结合的思想来解答选择题的是运用数形结合的思想来解答选择题的方法。它是根据题目所给条件，作出相应的图形，然方法。它是根据题目所给条件，作出相应的图形，然后借助图形，应用条件进行分析、运算、推理，推出后借助图形，应用条件进行分析、运算、推理，推出错误答案，选择正确结论。错误答案，选择正确结论。（4）图示法）图示法 例例4 若若ac0，b+c0，化简化简|a+c-b|+|a-b-c|的结果是（的结果是（）A.2a-2b B.2c C.2b-2c D.2b-2a解：由条件可画出图解：由条件可画出图观察图形可知观察图形可知a+c-b0，a-b-c|b|，则，则|a|-|a+b|-|b-a|化简后得（化简后得（）A.2b+a B.2b-a C.a D.b解：从数轴上看出，解：从数轴上看出，a0，且，且|a|b|，|a|-|a+b|-|b-a|=-a+a+b-b+a=a，故选，故选C0ab规律总结：充分利用数形结合思想，借助数轴这个桥梁规律总结：充分利用数形结合思想，借助数轴这个桥梁来理解相反数、绝对值的概念。此知识点常以填空、选来理解相反数、绝对值的概念。此知识点常以填空、选择形式在中考中出现。择形式在中考中出现。方法方法2：充分利用概念法：充分利用概念法例例2已知已知a、b互为相反数，互为相反数，c、d互为倒数，且互为倒数，且b2/3，求代数式，求代数式 的的值。解：解：a、b互为相反数，互为相反数，c、d互为倒数互为倒数，a=-b，cd=1规律总结：一些概念本身就隐含着许多等式，如互为相规律总结：一些概念本身就隐含着许多等式，如互为相反数的两个数的和为反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的积为，互为倒数的两个数的积为1，绝对值为一正数的数有两个，且它们互为相反数。灵活绝对值为一正数的数有两个，且它们互为相反数。灵活运用这些规律，可使问题较简单地得到解决。另外，本运用这些规律，可使问题较简单地得到解决。另外，本题也体现了题也体现了整体代入整体代入消元的思想。消元的思想。方法方法3：利用非负数的性质：利用非负数的性质例例2已知已知(a-1)2+|b-3|=0，求，求a2-2ab+2b2的的值。解：解：(a-1)20，|b-3|0，且，且(a-1)2+|b-3|=0 a-1=0且且b-3=0，即，即a=1，b=3当当a=1，b=3时，原式时，原式=12-213+232=13规律总结：非负数的基本性质：几个非负数之和为规律总结：非负数的基本性质：几个非负数之和为0，则这几个非负数均为则这几个非负数均为0。注意：使用这一性质必须满足。注意：使用这一性质必须满足几个非负数的和为几个非负数的和为0，否则不适用。，否则不适用。方法方法4：逆向应用法：逆向应用法例例2 计算计算820080.252008解：解：820080.252008=(80.25)2008=12008=1规律总结：乘法分配律的逆向应用也要熟悉。灵活应用公式、法规律总结：乘法分配律的逆向应用也要熟悉。灵活应用公式、法则，正向应用要熟练，逆向应用有时能使运算更简单，从而不断则，正向应用要熟练，逆向应用有时能使运算更简单，从而不断提高逆向思维能力。提高逆向思维能力。作业作业