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运筹学与运输问题运筹学与运输问题1.运输规划问题的数学模型例3.1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1,B2,B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？B1B2B3产量A1646200A2655300销量150150200解：产销平衡问题：总产量=总销量500 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：B1B2B3产量A1x11x12x13200A2x21x22x23300销量150150200Min C=6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 s.t.x11+x12+x13=200 x21+x22+x23=300 x11+x21=150 x12+x22=150 x13+x23=200 xij 0 (i=1、2；j=1、2、3）运输问题的一般形式：产销平衡 A1、A2、Am 表示某物资的m个产地；B1、B2、Bn 表示某物质的n个销地；ai 表示产地Ai的产量；bj 表示销地Bj 的销量；cij 表示把物资从产地Ai运往销地Bj的单位运价。设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：变化：变化：1 1）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等；）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等；2 2）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入约束条件（等式或不等式约束约束条件（等式或不等式约束)；3 3）产销不平衡时，可加入假想的产地（销大于产时）或销）产销不平衡时，可加入假想的产地（销大于产时）或销地（产大于销时）。地（产大于销时）。定理:设有m个产地n个销地且产销平衡的运输问题，则基变量数为m+n-1。2.表上作业法 表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯形法。步骤描述方法第一步求初始基行可行解（初始调运方案）西北角法、最小元素法、元素差额法第二步求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的检验数ij全都非负时得到最优解，若存在检验数ij 0，说明还没有达到最优，转第三步。闭回路法、位势法运价矩阵法第三步调整运量，即换基，选一个变量出基，对原运量进行调整得到新的基可行解，转入第二步闭回路调整法例例3.23.2 某运输资料如下表所示：某运输资料如下表所示：单位 销地 运价 产地产量311310719284741059销量3656问：应如何调运可使总运输费用最小？问：应如何调运可使总运输费用最小？解：第1步 求初始方案，见下表所示。最小元素法最小元素法 基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调运）基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调运），然后次小，直到最后供完为止。，然后次小，直到最后供完为止。B1B2B3B4产量A17A2 4A39销量3656311310192741058341633总的运输费总的运输费(31)+(64)+(43)+(12)+(310)+(35)=86元元第第第第2 2步步步步 最优解的判别（检验数的求法）最优解的判别（检验数的求法）最优解的判别（检验数的求法）最优解的判别（检验数的求法）求求出出一一组组基基可可行行解解后后，判判断断是是否否为为最最优优解解，仍仍然然是是用用检检验验数数来来判判断断，记记xij的的检检验验数数为为ij由由第第一一章章知知，求求最最小小值值的的运运输问题的最优判别准则是：输问题的最优判别准则是：所所有有非非基基变变量量的的检检验验数数都都大大于于等等于于，则则运运输输方方案案最优最优求检验数的方法有三种：求检验数的方法有三种：闭回路法闭回路法 位势法（位势法（）运价矩阵法运价矩阵法运价矩阵法运价矩阵法 当存在非基变量的检验数kl 0 且kl=minij时，令Xkl 进基。从表中知可选x24进基。第3步 确定换入基的变量第第4步步 确定换出基的变量确定换出基的变量 以进基变量以进基变量xik为起点的闭回路中，所有偶顶点中的最小为起点的闭回路中，所有偶顶点中的最小运量作为调整量运量作为调整量，对应的基变量为出基变量。对应的基变量为出基变量。闭回路的概念为一个闭回路为一个闭回路，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个变，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个变量的连线为闭回路的边。如下表量的连线为闭回路的边。如下表例下表中闭回路的变量集合是x11,x12,x42,x43,x23,x25,x35,x31共有8个顶点，这8个顶点间用水平或垂直线段连接起来，组成一条封闭的回路。B1B2B3B4B5A1X11X12A2X23X25A3X31X35A4X42X43 一条回路中的顶点数一定是偶数，回路遇到顶点必须转90度与另一顶点连接，上表中的变量x 32及x33不是闭回路的顶点，只是连线的交点。闭回路B1B2B3A1X11X12A2A3X32X33A4X41X43例如变量组 不能构成一条闭回路，但A中包含有闭回路 变量组 变量数是奇数，显然不是闭回路，也不含有闭回路；B1B2B3B4UiA1A2A3Vj3113 31010192 27410105 58 84 4363 31 13 3()()()()调整步骤为：调整步骤为：在进基变量的在进基变量的闭回路中闭回路中所有所有奇顶点奇顶点对应的变量对应的变量加加上上调整量调整量，所有所有偶顶点偶顶点对应的对应的变量变量减减去调整量去调整量，其余变量不变，其余变量不变，得到一组新的基可行解。得到一组新的基可行解。1 12 25 5过x24的闭回路为：x24，x14,x13,x23 因为所有非基变量的检验数均非负，故当前调运方案即因为所有非基变量的检验数均非负，故当前调运方案即为最优方案，如表此时最小总运费：为最优方案，如表此时最小总运费：Z=(13)(46)(35)(210)(18)(35)85元元表上作业法的计算步骤：分析实际问题列出产销平分析实际问题列出产销平衡表及单位运价表衡表及单位运价表确定初始调运方案（最小确定初始调运方案（最小元素法或元素法或Vogel法）法）求检验数（位势法）求检验数（位势法）所有检验数所有检验数0找出绝对值最大的负检验数，用闭合找出绝对值最大的负检验数，用闭合回路调整，得到新的调运方案回路调整，得到新的调运方案得到最优方案，得到最优方案，算出总运价算出总运价表上作业法计算中的问题：表上作业法计算中的问题：表上作业法计算中的问题：表上作业法计算中的问题：（1）若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数为）若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数为负，在继续迭代时，取它们中任一变量为换入变量均可使目标负，在继续迭代时，取它们中任一变量为换入变量均可使目标函数值得到改善，但通常取函数值得到改善，但通常取ij0中最小者对应的变量为换入变中最小者对应的变量为换入变量。量。（2）无穷多最优解）无穷多最优解 产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的ij0，则该问题有无穷多最优解。，则该问题有无穷多最优解。退化解：退化解：表格中一般要有表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但有时在分配运量个数字格。但有时在分配运量时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个0，以保证有，以保证有(m+n-1)个数字格作为基变量。一般可在划去的行和列的任意个数字格作为基变量。一般可在划去的行和列的任意空格处加一个空格处加一个0即可。即可。利用进基变量的闭回路对解进行调整时，利用进基变量的闭回路对解进行调整时，所有偶顶点所有偶顶点中中的最小运量（超过的最小运量（超过2个最小值）作为调整量个最小值）作为调整量，选择任意一，选择任意一个最小运量对应的基变量作为出基变量，并打上个最小运量对应的基变量作为出基变量，并打上“”以示作为以示作为非基变量，另一个变量仍为非基变量，另一个变量仍为基变量且它基变量且它的值为的值为0。3.运输问题的应用1.求极大值问题2.2.目标函数求利润最大或营业额最大等问题。目标函数求利润最大或营业额最大等问题。求解方法：将极大化问题转化为极小化问题。设极大化问题的运价表为C，用一个较大的数M（Mmaxcij）去减每一个cij得到矩阵C，其中C=（Mcij）0,将C作为极小化问题的运价表，用表上用业法求出最优解。例3.3 下列矩阵C是Ai（I=1，2，3）到Bj的吨公里利润,运输部门如何安排运输方案使总利润最大.销地产地B1B2B3产量A12 25 58 89 9A29 910107 71010A36 65 54 41212销量8 814149 9 销地产地B1B2B3产量A12 25 58 89 9A29 910107 71010A36 65 54 41212销量8 814149 9得到新的最小化运输问题，用表上作业法求解即可。得到新的最小化运输问题，用表上作业法求解即可。2.产销不平衡的运输问题3.当总产量与总销量不相等时,称为不平衡运输问题.这类运输问题在实际中常常碰到,它的求解方法是将不平衡问题化为平衡问题再按平衡问题求解。当产大于销时当产大于销时，即：，即：数学模型为：数学模型为：由于总产量大于总销量，必有部分产地的产量不能全部运送完，必须就地库存，即每个产地设一个仓库，假设该仓库为一个虚拟销地Bn+1，bn+1作为一个虚设销地Bn+1的销量(即库存量)。各产地Ai到Bn+1的运价为零，即Ci,n+1=0,（i=1，m）。则平衡问题的数学模型为：具体求解时具体求解时,只在只在运价表右端增加运价表右端增加一列一列B Bn n+1+1，运价，运价为为0,0,销量为销量为b bn n+1+1即可即可 当销大于产时，即：数学模型为：由于总销量大于总产由于总销量大于总产量量,故一定有些需求地故一定有些需求地不完全满足不完全满足,这时这时虚设虚设一个产地一个产地Am+1，运价运价为为0，产量为：产量为：销大于产化为平衡问题的数学模型为销大于产化为平衡问题的数学模型为：具体计算时，在运价表的下方增加一行具体计算时，在运价表的下方增加一行Am+1，运价为，运价为0。产量。产量为为am+1即可。即可。例3.4 求下列表中极小化运输问题的最优解。B1B2B3B4aiA1592360A2-47840A3364230A448101150bj20603545180160因为有：因为有：所以是一个产大于销的运输问题。表中A2不可达B1，用一个很大的正数M表示运价C21。虚设一个销量为b5=180-160=20，Ci5=0，i=1,2,3,4，表的右边增添一列，得到新的运价表。B1B2B3B4B5aiA15923060A2M478040A33642030A4481011050bj2060354520180下表为计算结果。可看出：产地A4还有20个单位没有运出。B1B2B3B4B5AiA1352560A24040A3102030A420102050Bj20603545201803.生产与储存问题例例3.5 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、15、25、20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台柴油机的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费用每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。试求在完成合同万元。试求在完成合同的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。季度生产能力/台单位成本/万元2510.83511.130111011.3解：设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目，那么应满足：交货：x11=10 x12+x22=15 x13+x23+x33=25 x14+x24+x34+x44 =20生产：x11+x12+x13+x14 25 x22+x23+x24 35 x33+x34 30 x44 10 把第把第 i 季度生产的柴油机数目看作第季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把第个生产厂的产量；把第 j 季度交货的柴油机数目看作第季度交货的柴油机数目看作第 j 个销售点的销量；设个销售点的销量；设cij是第是第i季度季度生产的第生产的第j季度交货的每台柴油机的实际成本，应该等于该季度单季度交货的每台柴油机的实际成本，应该等于该季度单位成本加上储存、维护等费用。可构造下列产销平衡问题：位成本加上储存、维护等费用。可构造下列产销平衡问题：ji产量10.810.9511.111.2525M11.1011.2511.4035MM11.0011.1530MMM11.3010销量10152520 10070由于产大于销，加上一个虚拟的销地由于产大于销，加上一个虚拟的销地D，化为平衡问题，化为平衡问题，即可应用表上作业法求解。即可应用表上作业法求解。该问题的数学模型：该问题的数学模型：Min f=10.8 x11+10.95 x12+11.1 x13+11.25 x14+11.1 x22+11.25 x23 +11.4 x24 +11.0 x33+11.15 x34 +11.3 x44 jiD产量10.810.9511.111.25025M11.1011.2511.40035MM11.0011.15030MMM11.30010销量1015252030 100100 jiD产量1015025053035255301010销量1015252030 100100最优生产决策如下表，最小费用最优生产决策如下表，最小费用z773万元。万元。4.转运问题转运问题例3.6 某公司有A1、A2、A3三个分厂生产某种物资，分别供应B1、B2、B3、B4四个地区的销售公司销售。假设质量相同，有关数据如下表：试求总费用为最少的调运方案。假设：1.每个分厂的物资不一定直接发运到销地，可以从其中几个产地集中一起运；2.运往各销地的物资可以先运给其中几个销地，再转运给其他销地；3.除产销地之外，还有几个中转站，在产地之间、销地之间或在产地与销地之间转运。运价如下表：解：解：把此转运问题转化为一般运输问题：1、把所有产地、销地、转运站都同时看作产地和销地；2、运输表中不可能方案的运费取作M，自身对自身的运费为0；3、Ai：产量为 20+原产量，销量为 20；Ti：产量、销量均为 20；Bi：产量为 20，销量为 20+原销量，其中20为各点可能变化的最大流量；4、对于最优方案，其中 xi i 为自身对自身的运量，实际上不进行运作。扩大的运输问题产销平衡与运价表：