届高考数学复习强化双基系列圆锥曲线的综合问题.ppt

届高考数学复习强化双基系列圆锥曲线的综合问题 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望圆锥曲线的综合问题 一、基本知识概要：一、基本知识概要：知识精讲：知识精讲：圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、最值等问题，主要沿着两条主线，即圆锥曲最值等问题，主要沿着两条主线，即圆锥曲线科内综合与代数间的科间综合，灵活运用线科内综合与代数间的科间综合，灵活运用解析几何的常用方法，解决圆锥曲线的综合解析几何的常用方法，解决圆锥曲线的综合问题；通过问题的解决，进一步掌握函数与问题；通过问题的解决，进一步掌握函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想方程、等价转化、分类讨论等数学思想.一、基本知识概要：一、基本知识概要：重点难点：重点难点：正确熟练地运用解析几何的方法解决圆锥曲正确熟练地运用解析几何的方法解决圆锥曲线的综合问题，从中进一步体会分类讨论、线的综合问题，从中进一步体会分类讨论、等价转化等数学思想的运用等价转化等数学思想的运用.思维方式：思维方式：数形结合的思想，等价转化，分类讨论，函数形结合的思想，等价转化，分类讨论，函数与方程思想等数与方程思想等.一、基本知识概要：一、基本知识概要：特别注意：特别注意：要能准确地进行数与形的语言转换和运算、要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整。性，以保证结果的完整。二、例题：二、例题：例例1.A1.A，B B是抛物线是抛物线 上的两上的两点，且点，且OA OA （O O为坐标原点）求证：为坐标原点）求证：(1)A(1)A，B B两点的横坐标之积，纵坐标之积分两点的横坐标之积，纵坐标之积分别是定值；别是定值；(2)(2)直线直线ABAB经过一个定点。经过一个定点。(1)(1)(1)(1)写出直线的截距式方程写出直线的截距式方程写出直线的截距式方程写出直线的截距式方程 例例2 2、（、（20052005年春季北京，年春季北京，1818）如图，）如图，O O为坐为坐标原点，直线标原点，直线 在在 轴和轴和 轴上的截距分别是轴上的截距分别是 和和 ，且交抛物线，且交抛物线 两点。两点。(2)(2)(2)(2)证明：证明：证明：证明：(3)(3)(3)(3)当当当当 时，求时，求时，求时，求 的大小。（图见教材的大小。（图见教材的大小。（图见教材的大小。（图见教材P135P135P135P135页例页例页例页例1 1 1 1）说明：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考说明：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考说明：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考说明：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。例例例例3 3 3 3、（、（、（、（2005200520052005年黄冈高三调研考题）已知椭圆年黄冈高三调研考题）已知椭圆年黄冈高三调研考题）已知椭圆年黄冈高三调研考题）已知椭圆C C C C的方的方的方的方程为程为程为程为 ，双曲线，双曲线，双曲线，双曲线 的两条渐近线为的两条渐近线为的两条渐近线为的两条渐近线为 ，过椭圆，过椭圆，过椭圆，过椭圆C C C C的右焦点的右焦点的右焦点的右焦点F F F F作直线作直线作直线作直线 ，使，使，使，使 ，又，又，又，又 与与与与 交于交于交于交于P P P P点，设点，设点，设点，设 与椭圆与椭圆与椭圆与椭圆C C C C的两个的两个的两个的两个交点由上而下依次为交点由上而下依次为交点由上而下依次为交点由上而下依次为A A A A、B B B B。（图见教材。（图见教材。（图见教材。（图见教材P135P135P135P135页例页例页例页例2 2 2 2）(1)(1)(1)(1)当当当当 夹角为夹角为夹角为夹角为 ，双曲线的焦距为，双曲线的焦距为，双曲线的焦距为，双曲线的焦距为4 4 4 4时，求时，求时，求时，求椭圆椭圆椭圆椭圆C C C C的方程的方程的方程的方程 (2)(2)(2)(2)当当当当 时，求时，求时，求时，求 的最大值。的最大值。的最大值。的最大值。说明：说明：本题考查了椭圆、双曲线本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用。解决公式、重要不等式的应用。解决本题的难点是通过恒等变形，利本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想。用重要不等式解决问题的思想。本题是培养学生分析问题和解决本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题。问题能力的一道好题。(1)(1)(1)(1)点点点点A A A A，F F F F的坐标及直线的坐标及直线的坐标及直线的坐标及直线TQTQTQTQ的方程的方程的方程的方程;例例例例4 4 4 4、A A A A，F F F F分别是椭圆分别是椭圆分别是椭圆分别是椭圆 的一的一的一的一个上顶点与上焦点，位于个上顶点与上焦点，位于个上顶点与上焦点，位于个上顶点与上焦点，位于x x x x轴的正半轴上的动点轴的正半轴上的动点轴的正半轴上的动点轴的正半轴上的动点T T T T（t,0t,0t,0t,0）与）与）与）与F F F F的连线交射线的连线交射线的连线交射线的连线交射线OAOAOAOA于于于于Q Q Q Q，求：，求：，求：，求：(2)(2)(2)(2)三角形三角形三角形三角形OTQOTQOTQOTQ的面积的面积的面积的面积S S S S与与与与t t t t的函数关系式及该函数的的函数关系式及该函数的的函数关系式及该函数的的函数关系式及该函数的最小值最小值最小值最小值 (3)(3)(3)(3)写出该函数的单调递增区间写出该函数的单调递增区间写出该函数的单调递增区间写出该函数的单调递增区间,并证明并证明并证明并证明.三、课堂小结：三、课堂小结：1 1、解决圆锥曲线的综合问题应根据曲线的几、解决圆锥曲线的综合问题应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系，再结合代数等知识来何特征转化为数量关系，再结合代数等知识来解。解。2 2、对于求曲线方程中参数范围问题，应根据、对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解 圆锥曲线的综合问题包括：解析法圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整密性，以保证结果的完整.则椭圆与直线l在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程在区间(0，1）内有两相异实根，令f(x)=(a2+b2)x22a2x+a2(1b2),问题问题1 1：若椭圆 =1(ab0)与直线l：x+y=1在第一象限内有两个不同的交点，求a、b所满足的条件，并画出点P(a,b)的存在区域.解：解：解：解：由方程组 消去y,整理得 (a 2+b 2)x 22a 2 x+a 2(1b 2)=0 .同时满足上述四个条件的点P(a,b)的存在区域为下图所示的阴影部分：问题问题2 2：已知圆已知圆k k过定点过定点A(a,0)(A(a,0)(a a0),0),圆心圆心k k在抛物线在抛物线C C：y y 2 2=2ax=2ax上运动，上运动，MNMN为圆为圆k k在在y y轴上截得的弦轴上截得的弦.(1)(1)试问试问MNMN的长是否随圆心的长是否随圆心k k的运动而变化？的运动而变化？(2)(2)当当|OA|OA|是是|OM|OM|与与|ON|ON|的等差中项时，抛物线的等差中项时，抛物线C C的准线的准线与圆与圆k k有怎样的位置关系？有怎样的位置关系？本题考查圆锥曲线科内综合的知识及考生本题考查圆锥曲线科内综合的知识及考生综合、灵活处理问题综合、灵活处理问题的能力的能力;知识依托于弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等知识依托于弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识式，一元二次不等式等知识.解：解：解：解：(1)(1)设圆心设圆心k k(x x0 0,y y0 0),),且且y y0 02 2=2=2axax0 0,圆圆k k的半径的半径R R=|=|AKAK|=|=|MNMN|=|=2=2a a(定值)弦弦MNMN的长不随圆心的长不随圆心k k的运动而变化的运动而变化.(2)(2)设设MM(0,(0,y y1 1)、N N(0,(0,y y2 2)在圆在圆k k：(x xx x0 0)2 2+(+(y yy y0 0)2 2=x x0 02 2+a a2 2中，中，令令x x=0=0，得，得y y2 22 2y y0 0y y+y y0 02 2a a2 2=0=0 y y1 1y y2 2=y y0 02 2a a2 2|OAOA|是是|OMOM|与与|ONON|的等差中项的等差中项.|OM|+|ON|=|y|OM|+|ON|=|y1 1|+|y|+|y2 2|=2|OA|=2a.|=2|OA|=2a.又又|MNMN|=|=|y y1 1y y2 2|=2|=2a a|y y1 1|+|+|y y2 2|=|=|y y1 1y y2 2|y y1 1y y2 20 0，因此因此y y0 02 2a a2 20,0,即即2 2axax0 0a a2 20.0.0 0 x x0 0 圆心圆心k k到抛物线到抛物线准线距离准线距离 d d=x x0 0+a a,而圆而圆k k半径半径R R=a a.且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交.问题问题3 3：如图，已知椭 =1(2m5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=|AB|CD|.(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值.本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合.知识依托于直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值.解：解：解：解：(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m1,c2=a2b2=1椭圆的焦点为F1(1,0),F2(1,0).故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=,即x=m.A(m,m+1),D(m,m+1),考虑方程组 消去y得：(m1)x2+m(x+1)2=m(m1),整理得：(2m1)x2+2mx+2mm2=0=4m24(2m1)(2mm2)=8m(m1)2 2m5,0恒成立，xB+xC=又A、B、C、D都在直线y=x+1上,|AB|=|xBxA|=(xBxA)|CD|=(xDxC)|AB|CD|=|xBxA+xDxC|=|(xB+xC)(xA+xD)|又xA=m,xD=m,xA+xD=0|AB|CD|=|xB+xC|=|=(2m5)故f(m)=，m2,5.(2)由f(m)=，可知f(m)=又2 2 2 f(m)故f(m)的最大值为 ，此时m=2;f(m)的最小值为 ，此时m=5.问题问题4 4：舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是 千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？本题考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力.知识依托于线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的曲线方程.方方方方法法法法：通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程.解：解：解：解：取AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系.由题意可知，A、B、C舰的坐标为(3，0)、(3，0)、(5，2).由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P，则|PB|=|PC|.于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为 x3y+7 =0.又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB|PA|=4，故知P在双曲线 =1的右支上.直线与双曲线的交点为(8，5)，此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得|PA|=10.据已知两点的斜率公式，得kPA=,所以直线PA的倾斜角为60,于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30.设发射炮弹的仰角是，初速度v0=sin2=,仰角=30.解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.(1)(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式造参数满足的不等式，通过求不等式(组组)求得参求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域化为函数的值域.(2)(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值数，再求这个函数的最值.一、选择题一、选择题 1.1.已知已知A A、B B、C C三点在曲线三点在曲线y =上，其横坐标依次上，其横坐标依次为为1 1，m,4(1,4(1m4)4)，当，当ABCABC的面积最大时，的面积最大时，m m等于等于()()A.3 A.3 B.B.C.C.D.D.2.2.设设u,vRu,vR，且，且|u|,|,v v0,0,则则(u(uv)v)2 2+()+()2 2的最小值为的最小值为()()A.4 A.4 B.2 B.2 C.8 C.8D.2D.2 BC二、填空题二、填空题3.3.A A是椭圆长轴的一个端点，是椭圆长轴的一个端点，O O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P P，使，使OPA OPA=,=,则椭圆离心率的范围是则椭圆离心率的范围是_._.4.4.一辆卡车高一辆卡车高3 3米，宽米，宽1.61.6米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为是抛物线的通径长，若拱口宽为a a米，则能使卡车通过的米，则能使卡车通过的a a的最小的最小整数值是整数值是_._.5.5.已知抛物线已知抛物线y=x2 21 1上一定点上一定点B B(1 1，0)0)和两个动点和两个动点P P、Q Q，当，当P P在抛物线上运动时，在抛物线上运动时，BPBPPQPQ，则，则Q Q点的横坐标的取值范围是点的横坐标的取值范围是_._.e1 13(,331,+1,+)三、解答题三、解答题6.6.已知直线已知直线y y=kxkx1 1与双曲线与双曲线x x2 2y y2 2=1=1的左支交于的左支交于A A、B B两两点，若另一条直线点，若另一条直线l l经过点经过点P P(2 2，0)0)及线段及线段ABAB的中点的中点Q Q，求直线求直线l l在在y y轴上的截距轴上的截距b b的取值范围的取值范围.7.7.已知抛物线已知抛物线C C：y y2 2=4=4x x.(1)(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C C的焦点的焦点F F及准及准线线l l分别重合，试求椭圆短轴端点分别重合，试求椭圆短轴端点B B与焦点与焦点F F连线中点连线中点P P的的轨迹方程；轨迹方程；(2)(2)若若MM(m m,0),0)是是x x轴上的一定点，轴上的一定点，Q Q是是(1)(1)所求轨迹上任一所求轨迹上任一点，试问点，试问|MQMQ|有无最小值？若有，求出其值；若没有，有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由说明理由.(1)y2=x1(x1)