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数学基础2009x Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一一.场论基本运算知识场论基本运算知识1.算子算子张量表示张量表示张量表示张量表示直角坐标系中直角坐标系中直角坐标系中直角坐标系中 哈密尔顿算子哈密尔顿算子 （矢量）（矢量）拉普拉斯算子拉普拉斯算子 （标量）（标量）数学基础数学基础2.场论场论 若对应于某一几何空间或某一部分几何空间中的每一点都对应着若对应于某一几何空间或某一部分几何空间中的每一点都对应着物理量的一个确定的值，就称为在这个空间上（或这个部分空间上）确物理量的一个确定的值，就称为在这个空间上（或这个部分空间上）确定了该物理量的一个定了该物理量的一个“场场”。若物理量为标量，则为标量场，如：。若物理量为标量，则为标量场，如：密度密度场，温度场场，温度场等；若物理量为矢量，则为矢量场，如：等；若物理量为矢量，则为矢量场，如：应力场，应变场应力场，应变场等。等。不讨论各种场的物理内容，只从数学上研究场的一般规律的学科，称为不讨论各种场的物理内容，只从数学上研究场的一般规律的学科，称为场论场论。（1）标量场的梯度（）标量场的梯度（gradient）：）：梯度是这样的一个量，其方向即标量场梯度是这样的一个量，其方向即标量场 变化率最大的方向，变化率最大的方向，其大小则为这个最大变化率的数值。它是标量场不均匀性的度量，其大小则为这个最大变化率的数值。它是标量场不均匀性的度量，记为记为:标量场标量场 中任意点中任意点M，过过M点的任意方向点的任意方向 ，在，在 上某点上某点 ，若极限若极限 存在，称之为标量场存在，称之为标量场 在在M点处沿点处沿 方向的变化率，过方向的变化率，过M点所有可能方向中，存在一个点所有可能方向中，存在一个 的变化率最大的方向。的变化率最大的方向。M*梯度场性质：梯度场性质：梯度 描写了场内任一点M邻域内函数 的变化状况，是标量场不均匀性的度量；的方向与等位面的法向重合，且指向 增长的方向，大小是 方向上的方向导数 ；矢量在任一方向S上的投影等于该方向的方向导数；的方向即等位面的法向是函数 变化最快的方向；在直角坐标中的表达式：*物理量沿任一方向（其单位矢量为 ）的变化率为*梯度的基本运算法则基本运算法则有（2）向量场的散度（）向量场的散度（divergence）*散度的基本运算法则为：散度为矢量 通过界面 的通量并除以微元体积 。向量场 中任一点M，包围M作体积 ，其表面积 ，若极限 存在，称为矢量场 在M点处的散度。*直角坐标系中，若无源场性质：（2）矢量管不能在场内发生或终止；*的场称为无源场无源场（管式场）（1）无源矢量 经过矢量管任一横截面上的通量保持同一数值；（3）无源矢量 经过张于一已知周线L的所有曲面S上的通量均相同，即此通量只依赖于周线L而与所张曲面S的形状无关。（3）矢量场的旋度（）矢量场的旋度（curl）旋度旋度是这样一个矢量，其方向即环量面密度最大的方向，其大小即为这个最大的环量面密度的值，记为 沿曲线L的环量环量为：*矢量 场 中任一点M，过M点任一方向 ，以 为法向作一微面积 ，其边为 。若极限 存在，称为矢量场 在M点处沿 方向上的环量面密度。过M点的方向中存在一个环量面密度最大的方向。M*直角坐标系中，*旋度的基本运算法则运算法则为：无旋场性质：性质：无旋场等价于有势场。即（4）高斯公式（将体积分与面积分联系）高斯公式（将体积分与面积分联系）*推广的高斯公式还可写为：令V为一个由封闭面积所包围的体积。考虑一个无穷小面元dS，其外法向为 ，令 表示一个标量场或矢量场、张量场，则高斯公式只要把体积分中的算子 换成法向单位矢量 即是面积分的被积函数。及数学基础数学基础二二.张量张量1.1.标量、矢量和张量标量、矢量和张量标量标量是一维的量，它只需1个数及单位来表示，如温度、密度。矢量矢量则不仅有数量的大小，而且有指定的方向，它必需由某一空 间坐标系的 3 个坐标轴方向的分量来表示，因此矢量是三维的量。张量张量 三维空间中的二阶张量二阶张量是一个9维的量，必须用9个分量才 可完整的表示，如应力分量，应变率分量。三维空间中的 n n 阶张量阶张量由 3n 个分量组成。标量和矢量均可看作低阶张量，标量为零阶张量，而矢量为一阶张量。2.指标表示法和符号约定指标表示法和符号约定 (1)指标表示法指标表示法也可表示为，i 是自由指标，可取1、2、3。x、y、z 分别计作 x1、x2、x3，ax、ay、az 分别计作 a1、a2、a3，而三个单位矢量 分别计作 数学基础数学基础(2)(2)求和约定求和约定 在同一项中如有两个指标相同时，就表示对该指标从1到3求和:重复出现的指标称为哑指标，改变哑指标的字母并不改变表达式的内容。(3)(3)克罗内克克罗内克(Kronecker)Kronecker)符号符号 符号具有以下重要性质：(4)(4)置换符号置换符号 i、j、k 偶排列，123，231，312i、j、k 中有两个以上指标相同时i,j,k 奇排列，213，321，132有以下重要性质：例题例题:展开下列求和式，解：数学基础数学基础(1)(1)哈密顿算子哈密顿算子一个具有微分及矢量双重运算的算子利用张量表示法哈密顿算子可写为3.二阶张量二阶张量利用算子“”进行运算时，先进行微分运算，后进行矢量运算。利用哈密顿算子进行运算时，先进行微分运算，后进行矢量运算。梯度散度旋度例题例题:分别写出 在直角坐标下的表达式.散度梯度旋度（2 2）二阶张量二阶张量 二阶张量有9个分量，通常也可表示为矩阵形式，即 4.4.二阶张量的代数运算二阶张量的代数运算(1)(1)张量相等张量相等 两个张量相等则各分量一一对应相等。设 ，若 则 若两个张量在某一直角坐标系中相等，则它们在任意一个直角坐标系中也相等。数学基础数学基础(2)(2)张量加减张量加减设 ，则 张量的加减为其同一坐标系下对应元素相加减，只有同阶的张量才能相加减。(3)张量数乘张量数乘二阶张量 乘以标量 ,，则 张量数乘等于以该标量乘所有的张量分量。为一个二阶张量。坐标单位矢量的两两并矢称为并基，三维空间的二阶并基共有9个，任一个并矢都可用并基表示：并矢的概念 在直角坐标系中若为两个矢量，定义其并矢为：(4)点积和双点积点积和双点积 二阶张量点积即两个张量中相邻的两个单位矢量作点积二阶张量点积即两个张量中相邻的两个单位矢量作点积运算，得到一个新的二阶张量。运算，得到一个新的二阶张量。(4)点积和双点积点积和双点积 设 ，定义点积为 二个二阶张量的双点积结果为一个新的标量。二个二阶张量的双点积结果为一个新的标量。二阶张量的双点积二阶张量的双点积定义为：二阶张量与矢量的点积二阶张量与矢量的点积则定义为 矢量与一个二阶张量点积得到一个新的矢量。矢量与一个二阶张量点积得到一个新的矢量。数学基础数学基础(1)共轭张量共轭张量 设 P 是一个二阶张量，则 也为一个二阶张量，称为 P 的共轭张量，可表示为 5.共轭张量、共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的解对称张量、反对称张量和张量的解数学基础数学基础若二阶张量分量 之间满足则称此张量为对称张量，可表示为一个对称张量，只有一个对称张量，只有6个独立的分量。个独立的分量。(2)(2)对称张量对称张量(3)(3)反对称张量反对称张量若二阶张量分量 之间满足则称此张量为反对称对张量，可表示为 一一个个反反对对称称张张量量只只有有3个个独独立立的的分分量量，对对角角线线各各元元素素 均为零。均为零。(4)(4)张量分解定理张量分解定理 一个二阶张量可以唯一地分解为一个对称张量和一个反对称张量之和：容易验证上式右边第一项是对称张量，第二项是反对称张量。6.张量的微分运算张量的微分运算(1)梯度梯度设矢量 ，则 一一 个个 矢矢 量量 的的 梯梯 度度 是是 一一 个个 新新 的的 二二 阶阶 张张 量量。一 般 来 讲，一 个 n 阶 张 量 的梯度是 阶张量。数学基础数学基础(2)散度散度 设二阶张量 ，一一个个二二阶阶张张量量的的散散度度是是一一个个矢矢量量。一般来讲，一个 n 阶张量的散度是 n-1阶张量。7.各向同性张量各向同性张量在连续介质力学中，通常认为介质的力学性质与所取的坐标方向无关，即介质是各向同性的连续介质。表表示示这这类类力力学学性性质质的的张张量量称称为为各各向向同同性性张张量量，如如流流体体粘粘性性，电电导导率率等等。在数学上可作以下定义，若一个张量在正交笛卡尔坐标系中的每一个分量值，经过任一正交坐标变换后均保持不变，则称此张量为各向同性张量。零零阶阶张张量量（标标量量）和和任任意意阶阶零零张张量量都都是是各各向向同同性性张张量量。这里零张量是指全部分量值均为零的张量。一阶张量（矢量）除零矢量外，都是各向异性张量。一阶张量（矢量）除零矢量外，都是各向异性张量。数学基础数学基础本章结束本章结束