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三重积分详解三重积分详解一、三重积分的概念一、三重积分的概念三重积分的性质与二重积分的类似。三重积分的性质与二重积分的类似。特别地，特别地，x0z yz2(x,y)I=PNM.Dz1(x,y)二、直角坐标系下三重积分的累次积分法二、直角坐标系下三重积分的累次积分法1.先一后二法先一后二法x0z yz2(x,y)I=D这就化为一个定积分和这就化为一个定积分和这就化为一个定积分和这就化为一个定积分和一个二重积分的运算一个二重积分的运算一个二重积分的运算一个二重积分的运算z1(x,y).二、直角坐标系下三重积分的累次积分法二、直角坐标系下三重积分的累次积分法1.先一后二法先一后二法三重积分化为三次积分的过程：三重积分化为三次积分的过程：得到得到注意注意得到得到解解于是，于是，于是，于是，得到得到得到得到解解于是，于是，得到得到解解解解666x+y+z=63x+y=62.例例x0z y ：平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和 x+y+z =6所围成的区域所围成的区域666x+y+z=63x+y=62.例例x0z y ：平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和 x+y+z =6所围成的区域所围成的区域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z y42 ：平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和 x+y+z =6所围成的区域所围成的区域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z y42 ：平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和 x+y+z =6所围成的区域所围成的区域z=0y=042x+y+z=6.x0z y666 ：平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和 x+y+z =6所围成的区域所围成的区域42.x0z y666 ：平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和 x+y+z =6所围成的区域所围成的区域例例.D0y x624D.y14x+y=4x=0 xzo.例例y14x+y=4xzo1.取第一卦限部分取第一卦限部分4x+y=4y=0 xyz.D.o11x+y=1yozx1z=xy.例例例例.z=01x+y=1ozx1yz=xy.例例11z=0ozxx+y=1y 。z=xy.例例 x0z yc1c2z Dz先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分2.截面法（先二后一法）截面法（先二后一法）x0z yc1c2.先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分zDz2.截面法（先二后一法）截面法（先二后一法）x0z yc1c2 I=.先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分zDz2.截面法（先二后一法）截面法（先二后一法）x0z yc1c2.先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分先做二重积分，后做定积分I=2.截面法（先二后一法）截面法（先二后一法）(1)把积分区域向某轴（例如轴把积分区域向某轴（例如轴Z）投影，得投投影，得投影区间影区间 c1,c2(2)对用过轴且平行对用过轴且平行xoy平面的平面去平面的平面去截，得截面截，得截面Dz;截面法的一般步骤：截面法的一般步骤：x0yzbc 例例 计算计算aD0 Dz.bc.x0yzD0a.z0 xz yM(r,z)z rNxyz(x,y,z)(r,z)三、柱面坐标下三重积分的计算三、柱面坐标下三重积分的计算.1、柱面坐标、柱面坐标简单地说，柱面坐标就是简单地说，柱面坐标就是xoy 面上的极坐标面上的极坐标+z 坐标坐标柱面坐标与柱面坐标与直角坐标的直角坐标的关系为关系为 z动点动点M(r,z)柱面柱面Sr=常数：常数：平面平面 z=常数：常数：x0yzMrS S z2.2.柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面动点动点M(r,z)半平面半平面P柱面柱面S =常数常数:r=常数：常数：平面平面 z=常数：常数：zx0yzMrS S P P .2.2.柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面半平面半平面 及及+d ;半径为半径为r及及 r+dr的圆柱面；的圆柱面；平面平面 z及及 z+dz；xz y0 drrrd d z平面平面z元素区域由六个元素区域由六个坐标面围成：坐标面围成：3 3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式xz y0 drrrd d z底面积底面积 ：r drd 元素区域由六元素区域由六个坐标面围成：个坐标面围成：半平面半平面 及及+d ;半径为半径为r及及 r+dr的园柱面；的园柱面；平面平面 z及及 z+dz；dz平面平面z+dz.3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式xz y0 drrrd d z底面积底面积 ：r drd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：半平面半平面 及及+d ;半径为半径为r及及 r+dr的园柱面；的园柱面；平面平面 z及及 z+dz；dzdV=.dV3 3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式再根据再根据 V 中中 z，r，的关系，化为三次积分。的关系，化为三次积分。一般，先对一般，先对 z 积分，再对积分，再对 r，最后对最后对 积分。积分。例例 利用柱面坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积分其中其中V解解(1)画画 V 图图(2)确定确定 z，r，的上下限的上下限将将 V 向向 xoy 面投影，得面投影，得或或过过(r,)D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得即即过过(r,)D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得于是，于是，解解求交线：求交线：将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得或或即即过过(r,)D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得或或例例 计算三重积分计算三重积分其中其中 是由曲是由曲解解将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得或或过过(r,)D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得即即或或过过(r,)D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得即即1.Dxy:z=0.0 xz yDxy例例.计算计算I=10 xz yM(r,)r Nyxz.四、球面坐标系下三重积分的计算四、球面坐标系下三重积分的计算规定：规定：1、球面坐标、球面坐标 SrM yz x0r=常数常数:=常数常数:球面球面S动点动点M(r,)2 2、球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面 C Cr=常数常数:=常数常数:S S球面球面S半半平面平面P动点动点M(r,)M yz x0 P P =常数常数:锥面锥面C.2 2、球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面半平面半平面 及及+d ；半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及+d r drd rsin xz y0圆锥面圆锥面 rd 球面r圆锥面圆锥面+d 球面球面r+d r元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：d rsin d 3 3、球面坐标下的体积元素及三重积分计算公式、球面坐标下的体积元素及三重积分计算公式半平面半平面 及及+d ；半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及+d r drd xz y0 d rd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：rsin d.r 2sin drd d sin drd d r 2dVdV=3 3、球面坐标下的体积元素及三重积分计算公式球面坐标下的体积元素及三重积分计算公式再根据再再根据再 中中 r，的关系，化为三次积分。的关系，化为三次积分。一般，先对一般，先对 r 积分，再对积分，再对 ，最后对，最后对 积分。积分。例例 用球面坐标计算用球面坐标计算其中其中解解画画 图。图。确定确定 r，的上下限。的上下限。(1)将将 向向 xoy 面投影，面投影，得得(2)任取一任取一过过 z 轴作半平面，得轴作半平面，得(3)在半平面上，任取一在半平面上，任取一过原点作过原点作射线，得射线，得(3)在半平面上，任取一在半平面上，任取一过原点作过原点作射线，得射线，得即即z 0 xyar=2a cos.M.r 例例.化为球系下的方程化为球系下的方程化为球系下的方程化为球系下的方程例例 计算计算其中其中 由曲面由曲面和和围成。围成。将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得 任取一任取一过过 z在半平面上，任取一在半平面上，任取一过原点作射线，得过原点作射线，得解解轴作半平面，得轴作半平面，得即即在半平面上，任取一在半平面上，任取一过原点作射线，得过原点作射线，得六、三重积分的对称性算法六、三重积分的对称性算法六、三重积分的对称性算法六、三重积分的对称性算法判别判别关于坐标面的对称性：关于坐标面的对称性：结束结束
