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概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计随机事件及其概率随机事件及其概率 随机现象的结果称为随机现象的结果称为事件事件.描述事件发生可能性的大小的描述事件发生可能性的大小的数称为数称为概率概率.概率论就是研究随机事件的概率概率论就是研究随机事件的概率.如何求随机事件的概率如何求随机事件的概率（二）运用概率模型（二）运用概率模型（一）运用频率方法（一）运用频率方法 求事件概率求事件概率对随机现象进行大量重复试验，则试验的结果是有规律的对随机现象进行大量重复试验，则试验的结果是有规律的试验者试验者抛掷次数抛掷次数 正面次数正面次数 正面频率正面频率Buffon404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005计算机计算机2400001199280.4997计算机计算机2400000 1200065 0.50002概率论与数理统计概率论与数理统计正面概率：正面概率：0.5MenuMenu 概率论与数理统计概率论与数理统计 当随机试验的每一种可能出现的结果出现的可能性相当随机试验的每一种可能出现的结果出现的可能性相等时，那么关于该试验的事件的概率容易确定。等时，那么关于该试验的事件的概率容易确定。MenuMenu 古典概型（等可能概型）古典概型（等可能概型）古典概型的两个基本特点古典概型的两个基本特点:（1 1）所有可能的结果只有有限个）所有可能的结果只有有限个;（有限性）（有限性）（2 2）每个可能的结果发生都是等可能的）每个可能的结果发生都是等可能的.（等可能性）（等可能性）古典概型的经典案例：古典概型的经典案例：抛硬币、抛骰子抛硬币、抛骰子古典概型的概率公式古典概型的概率公式:P(A)=事件事件A包含的结果数包含的结果数/试验可能出现的所有结果数试验可能出现的所有结果数 排列数与组合数排列数与组合数概率论与数理统计概率论与数理统计MenuMenu 从从n个不同的元素中，任取个不同的元素中，任取k个元素，按照一定的顺序个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从排成一列，叫做从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出k个元素的一个个元素的一个排列排列。从从 n 个不同元素中，任取个不同元素中，任取 k 个元素并成一组，叫做从个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m 个元素的一个个元素的一个组合组合 写出从标记有写出从标记有a,b,c,da,b,c,d 四个球中任取三个球的所四个球中任取三个球的所有组合及排列有组合及排列.组合组合排列排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb概率论与数理统计概率论与数理统计MenuMenu 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度长度(面积或体积面积或体积)成比例成比例,则称这样的概率模型为则称这样的概率模型为几何概型几何概型.概率论与数理统计概率论与数理统计MenuMenu 几何概型几何概型 一海豚在水池中自由游弋，水池为长一海豚在水池中自由游弋，水池为长3030m m，宽为宽为2020m m的长方形。求此海豚嘴尖离岸边不超过的长方形。求此海豚嘴尖离岸边不超过2 2m m的概率的概率.30m2mA20m概率论与数理统计概率论与数理统计 现在假如有人看了一眼骰子，并告诉你，骰子出现的点现在假如有人看了一眼骰子，并告诉你，骰子出现的点数是数是偶数偶数，这信息对你的判断是否重要？这时你有多少把，这信息对你的判断是否重要？这时你有多少把握断定它是握断定它是2 2点？点？抛掷一颗质量均匀的骰子抛掷一颗质量均匀的骰子 ，那么押中，那么押中2 2的概率是多少？的概率是多少？NextNext 条件概率的定义条件概率的定义设设A A、B B是两个事件，且是两个事件，且P P(A A)0,)0,则称则称 为在事件为在事件A A发生的条件下事件发生的条件下事件B B发生的条件概率。发生的条件概率。概率论与数理统计概率论与数理统计BackBack 概率论与数理统计概率论与数理统计 1010件产品中有件产品中有7 7件正品，件正品，3 3件次品，件次品，7 7件正品中有件正品中有3 3件一等件一等品，品，4 4件二等品件二等品.现从这现从这1010件中任取一件件中任取一件,若知道它是正品，若知道它是正品，那它是一等品的概率是多少？那它是一等品的概率是多少？解：记解：记A A=取到一等品取到一等品，B B=取到正品取到正品，则，则P(A)=3/10，P(A|B)=P(AB)/P(B)=3/7.概率论与数理统计概率论与数理统计乘法公式乘法公式由条件概率的定义：由条件概率的定义：若已知条件概率若已知条件概率,可以反求可以反求P(AB).即即 若若P(B)0,则则 P(AB)=P(B)P(A|B)(2)若若P(A)0,则则 P(AB)=P(A)P(B|A)(3)(2)(2)和和(3)(3)式都称为式都称为乘法公式乘法公式,利用它们可利用它们可通过条件概率计算两个事件同时发生的概率通过条件概率计算两个事件同时发生的概率.一场精彩的足球赛将要举行一场精彩的足球赛将要举行,5个个球迷好不容易才搞到一张入场券球迷好不容易才搞到一张入场券.大家大家都想去都想去,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决.入场入场券券5张同样的卡片张同样的卡片,只有一张上写有只有一张上写有“入场券入场券”,其余的什么也没其余的什么也没写写.将它们放在一起将它们放在一起,洗匀洗匀,让让5个人依次抽取个人依次抽取.后抽比先抽的确实吃亏吗？后抽比先抽的确实吃亏吗？“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”概率论与数理统计概率论与数理统计NextNext 到到底底谁谁说说的的对对呢呢？让让我我们们用用概概率率论论的的知知识识来来计计算算一一下下,每每个个人人抽抽到到“入场券入场券”的概率到底有多大的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到按次序来，谁抽到入场券入场券的机会都的机会都一样大一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”概率论与数理统计概率论与数理统计我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券”i1,2,3,4,5.显然显然，P(A1)=1/5，P()4/5第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，也就是说，则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”概率论与数理统计概率论与数理统计因为若第因为若第2个人抽到个人抽到了入场券，第了入场券，第1个人个人肯定没抽到肯定没抽到.也就是要想第也就是要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1个人未个人未抽到，抽到，由于由于由乘法公式由乘法公式 P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5计算得：计算得：概率论与数理统计概率论与数理统计BackBack 这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序问题的正确解答.同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须第，必须第1、第第2个人都没有抽到个人都没有抽到.因此因此=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现继续做下去就会发现,每个人抽到每个人抽到“入场券入场券”的概率都是的概率都是1/5.也就是说，也就是说，概率论与数理统计概率论与数理统计抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后 某某一一事事件件A的的发发生生有有各各种种可可能能的的原原因因Bi(i=1,2,n),如如果果A是是由由原原因因Bi所所引引起起，则则A发生的概率是发生的概率是 每一原因每一原因Bi都可能导致都可能导致A发生，故发生，故A发发生的概率是各原因引起生的概率是各原因引起A发生的概率的总发生的概率的总和，即和，即全概率公式全概率公式.全概率公式全概率公式：概率论与数理统计概率论与数理统计 为了了解一只股票在一定时期内的价格变化为了了解一只股票在一定时期内的价格变化,常常常会去分析影响价格的基本因素常会去分析影响价格的基本因素,如利率的变化。假设如利率的变化。假设利率下调利率下调的概率为的概率为6060,利率不变利率不变的概率为的概率为4040。根据根据经验，在利率下调时该股票价格上涨的概率为经验，在利率下调时该股票价格上涨的概率为8080,在在利率不变时该股票价格上涨的概率为利率不变时该股票价格上涨的概率为4040,求该股票上求该股票上涨的概率涨的概率.解：设设A A=利率下调利率下调,B B=股票价格上涨股票价格上涨,则则 P(A)=0.6,P(B|A)=0.8.P(A)=0.6,P(B|A)=0.8.由全概率公式，得由全概率公式，得概率论与数理统计概率论与数理统计两个事件的独立性两个事件的独立性 在某些特殊情形，有在某些特殊情形，有P P（B BA A）=P=P（B B），即事件，即事件A A的发生的发生与否并不影响到与否并不影响到B B发生的概率，有一种发生的概率，有一种“独立独立”的意味。的意味。为此，引进事件的为此，引进事件的独立性独立性概念。概念。概率论与数理统计概率论与数理统计 把一枚硬币任意的抛掷两次，事件把一枚硬币任意的抛掷两次，事件A=“第一次出现第一次出现正面正面”，事件，事件B=“第二次出现正面第二次出现正面”。问。问P(B|A)和和P(B)相等吗？相等吗？甲、乙两人向同一目标射击，甲、乙两人向同一目标射击，问问P(B|A)和和P(B)相等吗？相等吗？若两事件若两事件A A、B B 满足满足 P P(ABAB)=)=P P(A A)P P(B B)则称则称A A、B B 相互独立相互独立.在实际应用中在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.概率论与数理统计概率论与数理统计事件事件 A 与与 B 相互独立相互独立,是指事件是指事件 A 的的发生与事件发生与事件 B 发生的概率无关发生的概率无关.炮兵营的两名战士同时向敌炮兵营的两名战士同时向敌机机炮击炮击,已知已知甲击中敌机的概率为甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为乙击中敌机的概率为0.5,求敌机被击中的概率求敌机被击中的概率.解解设设 A=甲击中敌机甲击中敌机 B=乙击中敌机乙击中敌机 C=敌机被击中敌机被击中 依依题设题设,概率论与数理统计概率论与数理统计由于由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以响乙击中敌机的可能性，所以 A与与B独立独立,故有故有 概率论与数理统计概率论与数理统计多个事件的独立性多个事件的独立性概率论与数理统计概率论与数理统计从直观上讲从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事件个事件相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响.概率论与数理统计概率论与数理统计设随机试验只有两种可能结果：事件设随机试验只有两种可能结果：事件A A 发生发生或事件或事件A A不发生，则称这样的试验为不发生，则称这样的试验为伯努利试伯努利试验验.将伯努利试验在相同条件下独立地重复进行将伯努利试验在相同条件下独立地重复进行n n次，称这一串重复的独立试验为次，称这一串重复的独立试验为n n重伯努利试重伯努利试验验（伯努利概型）（伯努利概型）.抛硬币抛硬币10001000次次.抛骰子抛骰子24次，每次观察次，每次观察1是否出现是否出现.如果在一次试验中，事件如果在一次试验中，事件A出现出现的概率为的概率为p(0p1),则在则在n重伯努利重伯努利试验中，试验中，A恰好出现恰好出现 k 次的概率为：次的概率为：概率论与数理统计概率论与数理统计伯努利定理伯努利定理现在抛一枚质量均匀的硬币现在抛一枚质量均匀的硬币3次，求次，求出现正面出现正面2次的概率。次的概率。概率论与数理统计概率论与数理统计 一个医生知道某种疾病患者自然痊愈率为一个医生知道某种疾病患者自然痊愈率为0.25，为试验一种新药是否有效，把它给，为试验一种新药是否有效，把它给10个病个病人服用，且规定人服用，且规定10个病人中至少有个病人中至少有4个痊愈才认个痊愈才认为该新药有效。求为该新药有效。求 虽然新药有效，且使病人的痊愈率提升为虽然新药有效，且使病人的痊愈率提升为0.35，但却被试验否定的概率，但却被试验否定的概率.新药完全无效，但通过试验被认为有效的新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率概率.作业题作业题:姚明罚篮的命中率为姚明罚篮的命中率为80.9%,若姚明在某次比中若姚明在某次比中获得获得4次罚球机会次罚球机会,假设每次投篮都互不影响假设每次投篮都互不影响,那么他投中那么他投中3次的可能性有多大次的可能性有多大?概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计