清华大学微积分高等数学课件第讲常微分方程二.ppt

作业作业 P236 P236 习题习题8.28.2 9.11.13.25.26.28.9.11.13.25.26.28.35.39.41.47.35.39.41.47.11/13/20221 第二十二讲第二十二讲 常微分方程常微分方程（二）（二）一、一阶线性方程一、一阶线性方程三、可利用微分形式求解的方程三、可利用微分形式求解的方程二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)方程方程四、积分因子四、积分因子11/13/20222一、一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程11/13/20223性质性质1：性质性质2：性质性质3：11/13/20224性质性质4：性质性质5：11/13/20225(1)如何解齐次方程？如何解齐次方程？非非齐齐次次齐齐次次可分离型！可分离型！标准形式：标准形式：什麽类型？什麽类型？一阶线性微分方程一阶线性微分方程11/13/20226分离变量分离变量是是p(x)一个原函数不一个原函数不是不定积分！是不定积分！齐次通解齐次通解解得解得注意：注意：齐次通解的结构：齐次通解的结构：11/13/20227(2)(2)用常数变异法解非齐次方程用常数变异法解非齐次方程假定假定(1)的解具有形式的解具有形式将这个解代入将这个解代入(1),经计算得到经计算得到11/13/20228化简得到化简得到即即11/13/20229积分积分从而得到非齐次方程从而得到非齐次方程(1)的通解的通解非齐次通解非齐次通解或或11/13/202210非齐次通解的结构：非齐次通解的结构：特解特解非齐次特解非齐次特解11/13/20221111/13/202212这是线性方程吗？这是线性方程吗？是关于函数是关于函数 x=x(y)x=x(y)的一阶线性方程！的一阶线性方程！解解 变形为：变形为：第一步第一步:先求解齐次方程先求解齐次方程齐次方程通解是齐次方程通解是11/13/202213第二步第二步:用常数变异法解非齐次方程用常数变异法解非齐次方程假设非齐次方程的解为假设非齐次方程的解为代入方程并计算化简代入方程并计算化简积分得积分得通解通解11/13/202214证证11/13/20221511/13/202216Bernoulli Bernoulli 方方 程程二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)方方程程11/13/202217Bernoulli 方方 程程线性线性方程方程11/13/202218 解解 11/13/202219解线性方程解线性方程相应的齐次方程相应的齐次方程(2)的通的通解解设设(1)的解的解为为代入代入(1),(1),计算化简得到计算化简得到11/13/20222011/13/202221 三、三、可利用微分形式求解的方程可利用微分形式求解的方程 利用熟悉的微分公式，通过凑微分的方利用熟悉的微分公式，通过凑微分的方法将微分方程变为某些函数的微分形式法将微分方程变为某些函数的微分形式.例如例如11/13/20222211/13/202223解解通解通解凑微分凑微分11/13/202224通解为通解为 解解 改写为改写为11/13/202225通解为通解为 解解 11/13/202226 问问:能否直接通过凑微分求解？能否直接通过凑微分求解？不能不能 问问:能否变为可通过凑微分求解的方程？能否变为可通过凑微分求解的方程？试试看试试看11/13/202227(六六)积分因子积分因子11/13/202228通解通解积分积分因子因子 可能会丢解！可能会丢解！解解11/13/202229解解通解通解11/13/202230 小结小结1.解、通解、特解、定解问题解、通解、特解、定解问题2.一阶微分方程可积类型一阶微分方程可积类型 可分离型、可分离型、一阶线性、一阶线性、利用微分形式、利用微分形式、思想：方程变形思想：方程变形变量代换变量代换可化为可分离、可化为可分离、伯努利方程、伯努利方程、积分因子积分因子11/13/202231