高考数学总复习经典测试题解析版2.3 函数的奇偶性与周期性.doc
2.3 函数的奇偶性与周期性一、选择题1设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)等于()A3 B1 C1 D3解析由f(0)f(0)，即f(0)0.则b1，f(x)2x2x1，f(1)f(1)3.答案D2已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为 ()A1 B0 C1 D2解析(构造法)构造函数f(x)sin x，则有f(x2)sinsin xf(x)，所以f(x)sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)sin 30，故选B.答案B【点评】 根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数，是解答抽象函数选择题的常用方法，充分体现了由抽象到具体的思维方法.3已知函数yf(x)是定义在R上的任意不恒为零的函数，则下列判断：f(|x|)为偶函数；f(x)f(x)为非奇非偶函数；f(x)f(x)为奇函数；f(x)2为偶函数其中正确判断的个数有()A1个 B2个 C3个 D4个解析 对于，用x代替x，得f(|x|)f(|x|)，所以正确；对于，用x代替x，得f(x)f(x)f(x)f(x)，所以错误；对于，用x代替x，得f(x)f(x)f(x)f(x)，所以正确；易知错误答案B4已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x0,1)时，f(x)4x1，则f(5.5)的值为()A2 B1 C D1解析 f(5.5)f(5.56)f(0.5)40.511.答案D5.设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(2,1上的图像，则f(2 011)f(2 012)()A3 B2C1 D0解析：由于f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 011)f(2 012)f(670×31)f(671×31)f(1)f(1)，而由图像可知f(1)1，f(1)2，所以f(2 011)f(2 012)123.答案：A6设偶函数f(x)对任意xR，都有f(x3)，且当x3，2时，f(x)4x，则f(107.5)()A10 B. C10 D解析 由f(x6)f(x)知该函数为周期函数，周期为6，所以f(107.5)ff，又f(x)为偶函数，则ff.答案：B7 已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)f(x1)，则f(2009)f(2011)的值为()A1 B1C0 D无法计算解析 由题意得g(x)f(x1)，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，f(x)的周期为4，f(2009)f(1)，f(2011)f(3)f(1)，又f(1)f(1)g(0)0，f(2009)f(2011)0.答案：C二、填空题8若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)_.解析f(x5)f(x)且f(x)f(x)，f(3)f(35)f(2)f(2)2，f(4)f(1)f(1)1，故f(3)f(4)(2)(1)1.答案19设奇函数f(x)的定义域为5,5，当x0,5时，函数yf(x)的图象如图所示，则使函数值y0的x的取值集合为_解析由原函数是奇函数，所以yf(x)在5,5上的图象关于坐标原点对称，由yf(x)在0,5上的图象，得它在5,0上的图象，如图所示由图象知，使函数值y0的x的取值集合为(2,0)(2,5)答案(2,0)(2,5)10 设f(x)是偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)f的所有x之和为_解析 f(x)是偶函数，f(2x)f，f(|2x|)f，又f(x)在(0，)上为单调函数，|2x|，即2x或2x，整理得2x27x10或2x29x10，设方程2x27x10的两根为x1，x2，方程2x29x10的两根为x3，x4.则(x1x2)(x3x4)8.答案 811已知函数f(x)满足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，则f(2 013)_.解析法一当x1，y0时，f(0)；当x1，y1时，f(2)；当x2，y1时，f(3)；当x2，y2时，f(4)；当x3，y2时，f(5)；当x3，y3时，f(6)；当x4，y3时，f(7)；当x4，y4时，f(8)；.f(x)是以6为周期的函数，f(2 013)f(3335×6)f(3).法二f(1)，4f(x)·f(y)f(xy)f(xy)，构造符合题意的函数f(x)cos x，f(2 013)cos.答案12设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时f(x)1x，则2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数f(x)的最大值是1，最小值是0；当x(3,4)时，f(x)x3.其中所有正确命题的序号是_解析由已知条件：f(x2)f(x)，则yf(x)是以2为周期的周期函数，正确；当1x0时0x1，f(x)f(x)1x，函数yf(x)的图象,如图所示：当3<x<4时，1<x4<0，f(x)f(x4)x3，因此正确不正确答案三、解答题13对任意实数x，给定区间(kZ)，设函数f(x)表示实数x与x的给定区间内整数之差的绝对值(1)当x时，求出函数f(x)的解析式；(2)当x(kZ)时，写出用绝对值符号表示的f(x)的解析式，并说明理由；(3)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论解析 (1)当x时，0为给定区间内的整数，故由定义知，f(x)|x|，x.(2)当x(kZ)时，k为给定区间内的整数，故f(x)|xk|，x(kZ)(3)对任意xR，函数f(x)都存在，且存在kZ，满足kxk，f(x)|xk|，由kxk，得kxk，此时k是区间内的整数，因此f(x)|x(k)|xk|xk|f(x)，即函数f(x)为偶函数14已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(xy)f(x)f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值(1)证明令xy0，知f(0)0；再令yx，则f(0)f(x)f(x)0，所以f(x)为奇函数(2)解任取x1x2，则x2x10，所以f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)0，所以f(x)为减函数而f(3)f(21)f(2)f(1)3f(1)6，f(3)f(3)6.所以f(x)maxf(3)6，f(x)minf(3)6.15.已知函数f(x)是(，)上的奇函数，且f(x)的图象关于x1对称，当x0,1时，f(x)2x1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x1,2时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2013)的值解析 (1)证明函数f(x)为奇函数，则f(x)f(x)，函数f(x)的图象关于x1对称，则f(2x)f(x)f(x)，所以f(4x)f(2x)2f(2x)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数(2) 当x1,2时，2x0,1，又f(x)的图象关于x1对称，则f(x)f(2x)22x1，x1,2(3) f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)f(1)1又f(x)是以4为周期的周期函数f(0)f(1)f(2)f(2013)f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)1.16.设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(，)内函数f(x)的单调增(或减)区间解析 (1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，f()f(1×4)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得：f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB4×4.(3)函数f(x)的单调递增区间为4k1,4k1(kZ)，单调递减区间4k1,4k3(kZ)
