利用空间向量求空间角.doc
高二二部数学学案NO.29立体几何中的向量方法利用空间向量求空间角设计人：李凤英 审核人：苏瑞娟 时间：12.31【课程标准】能用向量法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用【学习目标】1、使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；2、使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；3、使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.【自主学习】1. 异面直线所成的角、线面角、二面角的范围分别是什么？2.两向量的夹角的范围是什么？3、向量的有关知识（1）两向量数量积的定义：（2）两向量夹角公式：（3）什么是直线的方向向量？什么是平面的法向量？【典型例题】例1.在RtAOB中，AOB=90°，现将AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到A1O1B1的位置，已知OA=OB=O O 1，取A1B1 、A1O1的中点D1 、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。 ABOB1O1F1A1D1 例2正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、DD1的中点， (1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;(2)求二面角F-AE-D的余弦值。 AA1C1B1DCBD1EF 例3 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和b,CD的长为c , AB的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值. ACBD 巩固练习：如图，已知：直角梯形OABC中，OABC，AOC=90°，SO平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求异面直线SA和OB所成的角的余弦值； OS与平面SAB所成角的正弦值； 二面角BASO的余弦值. OABCS ACBD教学过程一、复习引入1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）二、知识讲解与典例分析知识点1、异面直线所成的角（范围： ）（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´ 所成的不大于90°的角 ，叫做异面直线a与b 所成的角。a´b´oab（2）用向量法求异面直线所成角设两异面直线a、b的方向向量分别为 和 ， 问题1 当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b 所成的角 与 和 的夹角的关系？ 相等问题 2 当与的夹角大于90°时，异面直线a、b 所成的角 与和 的夹角的关系？ 互补所以，异面直线a、b所成的角的余弦值为=nm,coscosq典型例题1：在RtAOB中，AOB=90°，现将AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到A1O1B1的位置，已知OA=OB=OO1，取A1B1 、A1O1的中点D1 、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。 解：以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，并设OA=1,则A(1,0,0) B(0,1,0) F1( ,0,1) D1( , ,1)所以，异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值为知识点2、直线与平面所成的角（范围： ）BAOnBAOn据图分析出直线与平面所成的角的正弦值为 = 典型例题2:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、DD1的中点， A1zC1AD (1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;D1 (2)求二面角F-AE-D的余弦值。B1yBCx解： (1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，则：A(0,0,0) B1(1,0,1) C(1,1,0) C1(1,1,1)设平面AB1C的法向量为n =(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y1=0取x1=1,得y1=z1=-1故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为n1n23、二面角（范围： ）n1n2典型例题2 (2)点E、F分别为CD、DD1的中点，求二面角F-AE-D的余弦值。解：(2)由题意知设平面AEF的法向量为m=(x2,y2,z2),故m=(-2, 1,-2)取y2=1,得x2=z2=-2所以又平面AED的法向量为AA1=(0,0,1) 观察图形知，二面角F-AE-D为锐角，所以所求二面角F-AE-D的余弦值为典型例题3 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为c , AB的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值. 解：如图根据向量的加法法则, 于是，得设向量 与 的夹角为，就是库与水坝所成的二面角.因此 所以 库底与水坝所成二面角的余弦值是OABCS三、巩固练习如图，已知：直角梯形OABC中，OABC，AOC=90°，SO平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求 异面直线SA和OB所成的角的余弦值；直线OS与平面SAB所成角的正弦值； 二面角BASO的余弦值.四、课堂小结 1、异面直线所成的角 2、直线和平面所成的角 3、二面角 或五、布置作业 课本第112页A组第6题
