新课标人教版高考数学立体几何1空间几何体知识点及题型精选总结.doc

立体几何初步本章知识结构与体系立体几何体知识点：（1）空间几何体 （2）点、直线、面的位置关系 （3）空间直角坐标系（1）空间几何体的知识点：（2） 点、直线、面的位置关系： （3） 空间直角坐标系: 一、空间几何体知识点梳理：一、常见空间几何体定义：1 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，(1) 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱，直棱柱的侧棱即为棱柱的高(2) 底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱，两底面中心的连线即为棱柱的高 2 棱锥：有一个面是多边形 ，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥(1) 如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面，这样的棱锥称为正棱锥正棱锥具有性质：正棱锥的顶点和底面中心的连线即为高线；正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做这个正棱锥的斜高(2) 底边长和侧棱长都相等的三棱锥叫做正四面体(3) 依次连结不共面的四点构成的四边形叫做空间四边形3 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台4 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱5 圆锥：以直角三角形 的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥6 圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台7 球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球二、空间几何体的三视图和直观图 空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图注：1、球的三视图都是圆，长方体的三视图都是矩形 2、圆柱的正视图、侧视图都是全等矩形，俯视图是圆 3、圆锥的正视图、侧视图都是全等的等腰三角形，俯视图是圆及圆心 4、圆台的正视图、侧视图都是全等的等腰体性，俯视图是两个同心圆。 表示空间图形的平面图形 ，叫做空间图形的直观图可用 斜二测画法画空间图形的直观图 二、简单几何体的表面积与体积知识点梳理：1旋转体的表面积 (1) 圆柱的表面积S 2r22rl( 其中r 为底面半径，l 为母线长) (2) 圆锥的表面积S r2rl（其中r 为底面半径，l 为母线长) (3) 圆台的表面积公式S 其中r 、r 为上、下底面半径，l 为母线长) (4) 球的表面积公式S 4( 其中R 为球半径) 2几何体的体积公式 (1)柱体的体积公式VSh(其中S为底面面积，h为高) (2)锥体的体积公式VSh(其中S为底面面积，h为高) (3)台体的体积公式V(SS)h(其中S、S为上、下底面面积，h为高) (4)球的体积公式V(其中R为球半径) 题型总结： 一、空间几何体题型精选讲解题型一 空间几何体的基本概念的考察1、下列命题中正确的是 ( ) A 以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B 以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆台 C 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 D 圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的半径等于圆锥底面圆的半径解析：A符合圆锥的定义B不符合圆台的定义C中圆柱、圆锥、圆台的底面是圆面，不是圆D中圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长所以选A.答案 ：A题型二 三视图的考察1、(2009·海南、宁夏) 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积( 单位：cm2) 为（ ) A4812 B4824 C3612 D3624解析：根据三视图可知，这个三棱锥的一个底面为等腰直角三角形、一个侧面垂直于底面其直观图如图所示，其中PD平面ABC，D为BC中点，ABAC，EDAB.连结PE，由于ABPD，ABDE，故ABPE，即PE为PAB的底边AB上的高在直角三角形PDE中，PE5，侧面PAB，PAC的面积相等，故这个三棱锥的全面积是2××6×5×6×6×6×44812.故选A.答案：A2、 (2011·辽宁) 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2 ，它的三视图中的俯视图如下图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( ) A4 B2 C2 D.解析：设正三棱柱底面边长为a，利用体积为2，容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是2，所以底面正三角形的高为，故所求矩形的面积为2.答案：B题型三 平面图的直观图（斜二测面法）1、 如图所示的直观图，其平面图形的面积为（ ） A3B.C6D3解析：由斜二测作图法，水平放置的OAB为直角三角形，且OB2OB4，OAOA3，则S×4×36.答案：C2、如图所示为一平面图形的直观图，则这个平面图形可能是 （ ）解析：由平行于x、y轴的直线仍然平行知C正确答案 ：C题型四 其他类型：展开、投影、截面、旋转体等1、面积为的等边三角形绕其一边中线旋转所得圆锥的侧面积是_解析：设等边三角形的边长为l，则旋转所得的圆锥的母线长为l，底面圆的半径为，如图a，图b.因为S正三角形，所以l2，即l2.所以圆锥侧面积为S侧l22.答案 ：22、 如图，长方体ABCD A1B1C1D1 中，交于顶点A 的三条棱长分别为AD 3 ，AA1 4 ，AB 5 ，则从A 点沿表面到C1 的最短距离为( )A5B. C4 D3解析：长方体可分别沿三条边B1B、A1B1、BC展开，展开后为三个不同矩形，对角线为最短距离，分别为4，3，因此，此题选B.3、已知半径为5 的球的两个平行截面的周长分别为6 和8 ，则两平行截面间的距离为 ( ) A 1 B 2 C 1 或7 D 2 或6解析：由截面周长为6和8，知两截面圆半径分别为3和4，所以两截面可在某条直径的同侧或异侧同侧时，所求距离为1；异侧时，所求距离为7. 二、简单几何体的表面积与体积题型精选讲解题型一 与三视图相结合1、(2010· 天津) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_解析：由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，由正视图和俯视图可知该几何体的高为1，结合三个视图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积为(12)×2×13.2、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积是：A. B2C. D.解析：这个几何体是一个底面半径为1，高为2的圆锥和一个半径为1的半球组成的组合体，故其体积为×12×2××13. 故选A题型二 内接与外接的知识1、(2008·福建)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是_解析：考查空间想象能力和创新能力以已知三棱锥的三个侧面为侧面，可作一个棱长为的正方体已知三棱锥的外接球即为正方体的外接球，易求半径和表面积2、(2011·全国新课标)已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_解析：本题考查球内接圆锥问题，属于较难的题目由圆锥底面面积是这个球面面积的，得所以，则小圆锥的高为R，大圆锥的高为RR，所以比值为.题型三 表面积与体积综合问题1、(2010·全国)已知正四棱锥SABCD中，SA2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 ()A1B.C2D3解析：设底面边长为a，则高h.所以体积Va2h.设y12a4a6，则y48a33a5，当y取最值时，y48a33a50，解得a0(舍去)或a4时，体积最大，此时h2.2、如图，一个几何体的正视图和侧视图是腰长为1 的等腰三角形，俯视图是一个圆及其圆心，当这个几何体的体积最大时，圆的半径是 ( ) A.B.C.D.解析：本题考查三视图及锥体的体积计算设底面半径为r，高为h，又r2h21，则VShr2h(1h2)h，当h，即r时，体积最大，故选C.补充知识：1平行于棱锥底面的截面的性质 棱锥与平行于底面的截面所构成的小棱锥，有如下比例性质：对应线段(如高、斜高、底面边长等)的平方之比注：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积的比时，会大大简化计算过程；在求台体的侧面积、底面积的比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式2 有关棱柱直截面的补充知识 在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的上、下底面就是直截面棱柱的侧面积与截面周长有如下关系：S棱柱侧 c直截l( 其中c直截 、l 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长) 3圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算(1) 圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原几何体的关系是掌握它们的面积公式及解决相关问题的关键(2) 计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件求出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题