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第四章 曲线运动和万有引力定律第一单元 运动的合成和分解 平抛运动高考要求：1、知道什么是曲线运动，做曲线运动的条件； 2、知道曲线运动中速度方向及合外力的方向； 3、理解运动的合成和分解； 4、掌握平抛运动的处理方法。知识要点：一、 曲线运动1、 定义：轨迹是曲线的运动叫曲线运动。2、 速度方向：物体在某一点（某一时刻）的速度方向为曲线轨迹在这一点的切线方向。3、 特点：曲线运动是变速运动。因为曲线运动速度方向时刻在变化，故一定有加速度，也即有合外力，且合外力方向一定指向曲线的凹侧。4、 物体做曲线运动的条件：从运动学角度说，物体的加速度方向跟速度方向不在一条直线上时，物体就做曲线运动。从动力学角度说，物体所受的合外力的方向跟物体的速度方向不在一条直线上时，物体就做曲线运动。5、 种类：有匀变速曲线运动，如平抛运动；有非匀变速曲线运动，如匀速圆周运动。二、 运动的合成与分解1、 合运动与分运动的关系：1） 独立性：一个物体同时参与了几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。2） 等效性：各分运动合成起来与合运动有完全相同的效果。合运动可以代替所有分运动。3） 等时性：合运动和分运动是同时发生的，经历的时间相等。2、 运算法则：运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解。由于它们都是矢量，所以都遵从平行四边形定则。特别注意：合运动是实际运动。3、 几个结论：1） 两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。2） 一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动一定是曲线运动。3） 两个初速度为零的匀变速直线运动的合成 一定是初速度为零的匀变速直线运动。4） 两个初速度不为零的匀变速直线运动的合成，一定是匀变速运动，但不一定是直线运动。4、 小船渡河问题：设一条宽度为L的河，水流速度为vS，船在静水中的速度为vC。vSvCL1） 怎样渡河时间t最短？t？船渡河的位移大小和方向如何？如图1所示，设船头斜向上游与河岸成任意角，这时船速在垂直河岸方向的速度分量vyvCsin，渡河所需时间 tL/vyL/vCsin， 图1LvCv实vS可以看出：在L、vC一定时，t随sin增大而减小，当90°时，sin1，时间最短。故：船头与河岸垂直时，渡河的时间最短，且为tminL/vC，即最短时间与水的流速无关。 图2由图2可知位移大小为sL/ sinLvC2vS2 /vC，位移的方向与河岸下游方向夹角为：arctan vC / vS。2） 怎样渡河位移最小？ 其大小方向如何？所用时间为多少？ 当vCvS时，如图3所示，渡河的最小位移即河的宽度L，位移方向为垂直河岸方向。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度vSv实vCLv的方向与河岸垂直，这时船头应指向河的上游，并 与河岸成一定的角度，如图3所示， 由cosvS / vC，得：arc cos vS / vC， 图3所用时间tL/ v实L/vC2vS2。v实vCLvS 当vCvS时，即水流速度大于船在静水中的航行速度，如图4所示，沿平行河岸方向的速度vvSvCcos一定沿河岸向下游，小船不可能垂直河岸渡河，即不论 船的航向如何，总要被水冲向下游，轨迹比河宽要长，但也有最短航程。因vC、vS合成合速度v实，故可以vS 图4的矢尖为圆心，以vC大小为半径画圆弧，如图4所示，由图可知，当vCv实时，即船头与航线垂直时，实际轨迹最短，设此时船头与上游夹角为，则cosvC/vS，即arc cos vC/vS，最短位移大小sminL/cosLvS/vC，渡河时间tsmin/v实LvS/vCvS2vC2。三、 平抛运动1、 平抛运动的条件：1）物体具有水平的初速度v0；2）物体受到垂直v0的恒定外力F。2、 特点：做匀变速曲线运动，其加速度ag，轨迹为抛物线。见图5所示。3、 分析方法：平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。1） 水平方向：ax0，vxv0，xv0t；如图5所示。 O v0 x x2） 竖直方向：ayg，v ygt，ygt2/2。 3） 任意时刻的速度：vvx2v y2v02g2t2， S vxtanv y/vxgt/v0，为v与v0间的夹角。 4） 任意时刻相对抛出点的位移：sx2y2， y v y v tany/xgt/2v0tan/2，为s与v0间的夹角。 y5） 平抛运动的运动时间：t2h/g只取决于竖直下落的高度。 图56） 平抛运动的射程：xv02h/g取决于竖直下落的高度和初速度。7） 平抛运动中的速度变化： v1xv2xv0 x水平方向分速度vxv0保持不变。竖直方向分速度v ygt均 v1y v1v匀增大，从抛出点起，每隔t时间的速度的矢量关系如图6 v2y v2v所示，这一矢量关系有两个特点： v3y v3 v 任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0， y 任意相等时间间隔t内的速度改变量均竖直向下，且 图6 vv ygt。8） 平抛运动过程中，由于只有重力对物体做功，故机械能守恒。四、 类平抛运动：物体运动可看成是某一方向的匀速直线运动和垂直此方向的初速度为零的匀加速直线运动，这类运动的处理方法与平抛运动类似。bABvac典型例题：例1、如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受的力方向反向而大小不变（即由F变为F）。在此力作用下，物体以后的运动情况，下列说法正确的是（ ）A体不可能沿曲线Ba运动； B物体不可能沿直线Bb运动；C物体不可能沿曲线Bc运动； D物体不可能沿原曲线由B返回A。 例1图例2、在抗洪战斗中，一摩托艇要到正对岸抢救物质，关于该摩托艇能否到达正对岸的说法中正确的是（ ）A 只要摩托艇向正对岸行驶就能到达正对岸；B 由于水流有较大的速度，摩托艇不能到达正对岸；C 虽然水流有较大的速度，但只要摩托艇向上游某一方向行驶，一定能到达正对岸；D 有可能不论摩托艇怎么行驶，他却不能到达正对岸。例3、如图所示，为一空间探测器的示意图，P1、P2、P3、P4是四个喷 P4 y气发动机，P1、P3的连线与空间一固定坐标系的x轴平行，P2、P4 P1 x的连线与y轴平行。每个发动机开动时，都能向探测器提供推力， P3 O但不能使探测器转动。开始时，探测器以恒定的速率v0向正x轴 P2 方向平动。要使探测器改为正x偏负y60°的方向以原来的速率v0 例3图平动。则可（ ）AP1适当时间，再开动P4适当时间； B先开动P3适当时间，再开动P2适当时间；uvC开动P4适当时间； D先开动P3适当时间，再开动P4适当时间。例4、如图所示，在水平高台上有一辆汽车以速度u向右运动，并通过绳拉着水平地面上的小车，使车沿着地面向右运动，当绳与地面成角时，小车的速度v_。若汽车匀速运动，则小车做_速运动（填写“加”或“减”或“匀”）。若要使小车匀速运动，则汽车做_速运动（填写“加”或“减”或“匀”）。 例4图ABh例5、如图所示，跨过同一高度处的光滑定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，细线与水平杆的夹角53°。定滑轮离水平杆的高度为h0.2m。当由静止释放后，A所能获得的最大速度为_m/s。 例5图解析：物体A在绳的拉力作用下向右做加速运动，B向下加速运动，当A运动到滑轮的正下方时，速度达最大值，此时A沿绳方向速度为零，故B的速度为零。对A、B组成的系统，由机械能守恒定律有：mg(h/sinh)mvA2/2， vA1m/s2。例6、某人划船在静水中划行速度v11.8m/s，若他在水速v23m/s的、河宽为9m的河中匀速划行，则：他怎样划行才能使他在最短时间内到达对岸，最短时间为多少？若要使船的实际轨迹最短，他应怎样划行？最短轨迹多长？解析：当他船头垂直河岸方向划行时，渡河时间最短，最短时间为tmind/v15svv1dv2因v1v2，所以当v1v时，即船头与航线垂直时，实际轨迹最短。设此时，船头与上游夹角为，如图4-10所示， 则： cosv1/v20.6，53°图4-10最短轨迹：sd/cosdv2/v115m。例7、做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是（ ）A大小相等，方向相同； B大小不等，方向不同；C大小相等，方向不同； D大小不等，方向相同。例8、如图所示，排球场总长为18m，设球网高2m，运动员站在离网3m 2m的线上，正对网前跳起将球水平击出（不计空气阻力，g取10m/s2）。设击球点在3m线正上方的高度为2.5m处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网又不越界？ 3m 若击球点在3m线正上方的高度过低，则无论水平击出的速度多大， 18m 球不是触网就是越界，试求此高度的范围。 例8图例9、甲、乙两球位于同一竖直直线上的不同位置，甲比乙高出h，将甲、乙两球以v1、v2速度沿同一水平方向抛出，不计空气阻力，下列条件中有可能使乙球击中甲球的是（ ） A同时抛出，且v1v2； B甲迟抛出，且v1v2；sBAV0V0hBhA C甲早抛出，且v1v2； D甲早抛出，且v1v2。例10、如图所示，小球A、B离地高度分别为hA9.8m，hB19.6m，相距的水平距离s20m，相向水平抛出一初速度均为v010m/s，为使两球能在空中相遇，问：应先抛哪个球？两球相遇的位置在哪里？ 例10图解析：因B球比A球高，要想让两球在空中相遇，应先抛B球；设A球抛出t时间，B球抛同tt时间后两球在空中相遇，则：v0tv0(tt)s(hBhA)gt2/2g0(tt)2/2解以上两式得：t0.5s，t1s故相遇处在A点右边Lv0t5m，下方hgt2/21.225m处。 例11、如图所示，房间左上方距地面高为H的A点处放一白炽灯Q（点 QA v M光源），A与墙角B的水平距离为s，今从A处以水平速度v抛出一 C小球，恰好投射到墙角B处，不计空气阻力。 H P小球在墙上投影P的运动性质？ s BQP vLb写出影P的速度表达式。 例11图例12、如图所示，光滑斜面长为L，宽为b，倾角为，一物块沿斜面左上方顶点P水平射入，而从右下方顶点Q离开斜面，求入射初 速度。 例12图答案：例1、ABD；例2、D；例3、D；例4、u/cos，加，减；例5、1 m/s；例6、船头垂直河岸划行时，渡河时间最短，最短时间为5s，船头与上游夹角为53°方向划行时实际航程最短。最短为sv2d/v115m。例7、A；例8、310 m/sv0122 m/s即9.5 m/sv017m/s；H2.13m；例9、D；例10、先抛B球，A球抛出点右边5m，下方1.225m处。例11、P的运动是竖直向下的匀速直线运动，vPgs/2v；例12、vLgsin/2b练习题：1、下列关于运动的合成的判断错误的是（ ）A 两个直线运动的合运动一定是直线运动；B 两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动；C 两个匀加速直线运动的合运动一定是直线运动；D 两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动。2、下列说法正确的是（ ）A 竖直上抛运动可看做是竖直向上的匀速直线运动和自由落体运动的合运动；B 平抛运动可看做水平方向的匀速直线运动和自由落体运动的合运动；C 飞机斜向上加速起飞可看做是水平方向和竖直方向的直线运动的合运动；D 匀速圆周运动可看做是两个相互垂直方向的简谐运动的合运动。3、一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内（ ）A 速度一定在不断地改变，加速度也一定不断地改变；B 速度一定在不断地改变，加速度可以不变；C 速度可以不变，加速度一定不断地改变；D 速度可以不变，加速度也可以不变。4、一带电小球下落一段时间后进入一个水平向 O X O X O X O X右的匀强电场中，那么小球在电场中的运动 y y y y轨迹是图中的哪一个（ ） 4题图 A B C D5、太阳从东边升起，西边落下，是地球上的自然现象，但在某些条件下，如在纬度较高地区的上空飞行的飞机上，旅客可以看到太阳从西边升起的奇妙现象，这些条件是（ ）A 时间必须是在清晨，飞机正在由东向西飞行，飞机的速度必须较大；B 时间必须是在清晨，飞机正在由西向东飞行，飞机的速度必须较大；C 时间必须是在傍晚，飞机正在由东向西飞行，飞机的速度必须较大；D 时间必须是在傍晚，飞机正在由西向东飞行，飞机的速度必须较大。6、在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为（ ）Adv2/v22v12； Bdv22v12 /v2； Cdv1/v2； Ddv2/v1；7、划速为4m/s的小船在宽100m，水速为3m/s的小河中，用最短时间由一岸划向另一岸，下列渡河方案和最短时间正确的是（ ）A应斜向上游划，使船对岸的速度与河岸垂直；B应斜向下游划，使船对岸的速度尽可能大；C应垂直河岸划，渡河需25s；D应垂直河岸划，这时船对岸的速度为5m/s，所以渡河时间为20s。FBA8、如图所示，物体A和B质量均为m，分别与轻绳连接跨过定滑轮（不计绳与滑轮之间的摩擦）。当用水平变力F拉物体B沿水平方向向右做匀速直线运动时，下列判断中正确的是（ ）A 物体A也做匀速直线运动； B 绳子拉力始终大于物体A所受的重力； 8题图C 物体A的速度小于物体B的速度；D 物体A的速度大于物体B的速度。9、如图所示，半径为R的大圆盘以角速度旋转，一人站在盘边缘P点随盘转动，他想用枪击中圆盘中心的目标。设子弹射出速度为v，则子弹的方向应是（ ） Av方向正对准目标O； Bv与PO连线向左偏，cosR/v；Cv与PO连线向左偏，sinR/v； PDv与PO连线向左偏，tanR/v。 9题图10、某海军陆战队员在“浪板”上练习射击。在“浪板”摆动过程中，该队员始终瞄准岸上静止的靶心，B为“浪板”的最低位置。A、C为 前、后的最高位置，如图所示，问： A C “浪板”在哪些位置或哪些区域时，该队员扣动板机进行射击，可 B击中靶心？ 10题图若“浪板”离靶的距离为100m，子弹出枪口速度为500m/s。假设“浪板”向左摆到30°时的速率为1.0m/s，恰在此时，该队员开枪射击，子弹击中何处（忽略重力和空气阻力的影响）？11、质量m2kg的物体在光滑平面上运动，其分速度vx和vy随时间变化的图线是如图所示，求：vym/svx/m/s84422002244668t/st/s物体受的合力；物体的初速度；t8s时物体的速度；t8s时物体的位移；轨迹方程。 11题图12、如图所示，物体做平抛运动时，描述物体 vy vy vy vy 在竖直方向的分速度vy(取向下为正)随时 0 t 0 t 0 t 0 t间变化的图线是（ ） 12题图 A B C D13、飞机以150m/s的水平速度匀速飞行，某时刻让A球落下，相隔1s又让B球落下，不计空气阻力，在以后运动中关于A球与B球的相对位置关系，正确的是（ ）AA球在B球的前下方； BA球在B球的后下方；CA球在B球的正下方5m处； D以上说法都不对。14、在一次“飞车过黄河”的表演中，汽车在空中飞经最高点后在对岸着地，已知汽车从最高点至着地点经历时间约0.8s，两点间的水平距离约为30m，忽略空气阻力，则汽车在最高点时的速度约为_ m/s。最高点与着地点间的高度差约为_ m（取g10 m/s2）15、如图所示，小球的初动能为6J，从斜面上某点被平抛，不计空气阻力， v0 它能落到斜面上时的动能为（ ） 30° A14J； B10J； C12J； D8J 15题图v0MN16、如图所示，从倾角为的斜面上的M点水平抛出一个小球，小球的初速度为v0，最后小球落在斜面上的N点，则不正确说法是（ ） A可求M、N之间的距离； B可求小球落到N点时速度的大小和方向； C可求小球到达N点时的动能； 16题图 D可以断定，当小球速度方向与斜面平行时，小球与斜面间的距离最大。17、如16题图所示，从倾角为的斜面上的M点以速度v0平抛一个小球，小落在斜面上N点，则小球抛出后经多长时间距斜面最远？经多长时间落到斜面上的N点？18、一架飞机在距地面高H500m高度水平飞行，其飞行速度为v1100m/s，追击一辆速度为v220m/s同向行驶的汽车，欲使投弹击中汽车，飞机应在距汽车多远处投弹？（g10 m/s2）19、如图所示，物体甲从高H处以速度v1平抛，同时乙从距甲水平方向s v1 处由地面以初速度v2竖直上抛，不计空气阻力，则两物体在空中相遇 甲 v2 的叙述正确的是（ ） H A从抛出到相遇所用时间为H/ v2； s 乙 B若要在物体乙上升过程中相遇，必须使s/v1H/v2，v2gH； C若要在物体乙下降过程中相遇，必须使s/v1H/v2，v2gH/2； 19题图 D若相遇点离地高度为H/2，则v2gH。20、图为频闪摄影方法拍摄的研究物体做平抛运动规律的照片，图中A、B、 C B A AC为三个同时由同一点出发的小球，AA为A球在光滑水平面上以速度v运动的轨迹；BB为B球以速度v被水平抛出后的运动轨迹；CC为C球自由下落的运动轨迹。通过分析上述三条轨迹可得出结论：_ C B _。 20题图答案：1、BD；2、ABCD；3、B；4、B；5、C；6、C；7、C；8、BD；9、C；10、ABC三位置，靶心上方1m处（脱靶）；11、1N，3m/s，+x方向，5m/s，与x轴夹角53°， 81328.8m，与x轴夹角arctan2/3，x236y；12、D；13、D；14、37.5，3.2；15、A；16、C；17、t1v0tan/g，t22v0tan/g；18、800m；19、ABD；20、平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合成。第二单元 匀速圆周运动与向心力公式的应用高考要求：1、知道匀速圆周运动的概念； 2、理解线速度、角速度和周期的概念； 3、理解向心加速度和向心力以及与各物理量间的关系； 4、会用牛顿第二定律求解圆周运动问题。知识要点：一、 描述匀速圆周运动快慢的物理量1、 线速度：1） 物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。2） 方向：质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的切线方向。3） 大小：vs/t，s为质点在t时间内通过的弧长。2、 角速度：1） 物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢。2） 大小：/t（rad/s），是连接质点和圆心的半径在t时间内转过的角度。3、 周期和频率：1） 周期：做圆周运动的物体运动一周所用的时间做周期。用T表示。2） 频率：做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速。用f表示。4、 线速度、角速度、周期和频率的关系：T1/f，2/ T2f，v2r/ T2rfr注意：T、f、三个量中任一个确定，其余两个也就确定了。5、 向心加速度：1） 物理意义：描述线速度方向改变的快慢。2） 大小：av2/r2r42f2r42r/T2v。3） 方向：总是指向圆心。所以不论a的大小是否变化，它都是个变化的量。6、解圆周运动的运动学问题关键在于熟练掌握各物理量间的关系。二、 圆周运动中的向心力1、 向心力1） 意义：描述速度方向变化快慢产生原因向心力。2） 方向：总是指向圆心。3） 大小：Fmamv2/rm2rm42f2rm 42r/T2mv。4） 产生：向心力是效果力，不是性质力。向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，要根据物体受力的实际情况判定。5） 求解圆周运动动力学问题关键在于分析清楚向心力的来源，然后灵活列出牛顿第二定律关系式。2、 向心力的特点：1） 匀速圆周运动：向心力为合外力，其大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。2） 变速圆周运动：因速度大小发生变化，其向心力和向心加速度都在变化，其所受的合外力不仅大小随时间改变，方向也不沿半径指向圆心。合外力沿半径方向的分力提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向，合外力沿轨道方向切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。3） 当沿半径方向的力Fmv2/r时，物体做离心运动； 当沿半径方向的力Fmv2/r时，物体做向心运动； 当沿半径方向的力Fmv2/r时，物体做圆周运动； 当沿半径方向的力F0时，物体沿切线做直线运动。三、 竖直平面内圆周运动中的临界问题1、 “绳、杆、轨道”的区别：1） “绳”对物体只能产生拉力或不产生力，但不可能产生推力；2） “杆”对物体既可产生拉力，也可产生推力，还可不产力；VV绳轨道3） “轨道”对物体只能产生推力或不产生力，但不可能产生拉力。2、 “绳”、“内轨道”上的物体做圆周运动在最高点时的临界条件： v v物体达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，物 绳体的重力提供其做圆周运动的向心力。即：mgmv2临界/r，其中v临界是物体通过最高点的最小速度，叫做临界速度v临界gr。圆管轨道VV杆 当在最高点vv临界时，物体将做完整的圆周运动。3、 “轻杆”、“圆管轨道”上的物体做圆周运动在最高点时的临界条件：由于杆和管壁的支承作用，物体恰能达最高点的临界速度v临界0。1） 当v0时，轻杆对物体有竖直向上的支持力N，其大小等于物的重力，即Nmg。2） 当0vgr时，杆对物体的弹力的方向竖直向上，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mgN0，因mgNmv2/r。3） 当vgr时，N0。4） 当vgr时，杆对物体有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，因mgNmv2/r。V管内物体情况杆的弹力情况类似。4、 “外轨道”上的物体做圆周运动在最高点时的临界条件：物体到达最高点时对轨道的压力刚好等于零，物体的重力提供其做圆周运动的向心力，即：mgmv2临界/r，其中v临界是物体通过最高点的最大速度，叫做临界速度v临界gr。当在最高点vv临界时，物体将做完整的圆周运动。典型例题：crabr2r4rd例1、如图所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上若在传动过程中，皮带不打滑，则（ ）Aa点与b点线速度大小相等；Ba点与c点角速度大小相等； 例1图Ca点与d点向心加速度大小相等；Da、b、c、d四点，加速度最小的是b点。解析：由图可知，a点和c点是与皮带接触的两点点，所以在传动过程中二者的线速度相等，即vavc，又vR，所以arc2r，即a2c。而b、c、d三点在同一轮轴上，它的角速度相等，则bcda/2，所以B错，又vbbrar/2va/2，所以A错，向心加速度：a aa2r，a bb2r(a/2)2ra2r/4a a/4，a cc2·2r(a/2)2·2ra2r/2a a/2，a dd2·4r(a/2)2·4ra2ra a。所以C、D正确。baO答案：CD。例2、如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ ）Aa处为拉力，b处为拉力；Ba处为拉力，b处为推力；Ca处为推力，b处为拉力； 例2图Da处为推力，b处为推力。解析：小球以O点为圆心在竖直面内做圆周运动，在最低点时，小球受力除重力外，还有杆的作用力，只有杆对小球向上拉时，小球才能绕O点作圆周运动，故在a点杆对小球只能是拉力。在最高点，杆对小球可以向下拉，也可以向上推，当小球速度gL时，杆对小球向上推，当小球的速度大于gL时，杆对小球向下拉，选项A、B正确。例3、在高速公路的拐弯处，路面修得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为。设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零，应等于（ ）Aarcsinv2/Rg； Barctanv2/Rg；C(arcsin2v2/Rg)/2； Darccotv2/Rg。例4、在原长为L0的轻弹簧，劲度系数为k，一端系一质量为m的物体， 另一端固定在转盘上的O点，如图所示。物块随转盘一起以角速度转动，物块与转盘间的最大静摩擦力为fm，求物块在转盘上的位置范围。 例4图mOr例5、如图所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的铁块，电机启动后，铁块以角速度绕轴O匀速转动。则电机对地面的最大压力和最小压力之差为_。 例5图解析：铁块在竖直面内做匀速圆周运动，其向心力是重力mg与轮对它的力F的合力，由圆周运动的规律可知：当m转到最低点时F最大，当m转到最高点时F最小。设铁块在最高点和最低点时，电机对其作用力分别为F1和F2，且都指向圆心，根据牛顿第二定律有：在最高点：mgF1m2r，在最低点：F2mgm2r，设电机质量为M，电机对地面的最小压力N1和最大压力N2分别出现在铁块m位于最高点和最低点时，对电机用平衡条件有：在最高点：MgN1F1，在最低点：MgF2N2，故压力差的大小为：NN2N1F1F22m2r，AB例6图例6、如图所示，水平转台上放有质量均为m的两小物块A、B，A离转轴距离为L，A、B间用长为L的绳线相连，开始时，A、B与轴心在同一直线上，线被拉直，A、B与水平转台间摩擦因数均为，当转台的角速度达到多大时，线上出现张力？当转台的角速度达到多大时，A物块开始滑动？ 解析：绳上开始出现张力时，B受的最大静摩擦力刚好充当向心力，即：mgm2·2L，g/2L，当A所受摩擦力达到最大静摩擦力时，A开始滑动，此时，mgFm12·L，Fmgm12·2L，2mg3m12·L，12g/3L。ROBAv例7、一个半径为R的纸质圆筒，绕其中心轴匀速转动，角速度为，一粒子弹沿AO方向打进纸筒，如图所示，从纸筒上的B点穿出，若A、B所对的圆心角为，则子弹的速度为多少？ 例7图OMP例8、一质量为m的金属小球用L长的细线拴起，固定在一点O，然后将线拉至水平，在悬点O的正下方某处P钉一光滑钉子，如图所示，为使悬线从水平释放碰钉后小球仍做圆周运动，则OP的最小距离是多少？（g10m/s2） 例8图解析：要使悬线碰钉后小球做圆周运动，即能使小球到达以P点为圆心的圆周最高点M，而刚能到达M点的条件是到M点的的小球所需向心力刚好由自身重力mg提供，此时悬线拉力为零，即有：mgmv高2/R， 其中R为以P点为圆心的半径，vm为小球到达M点的最小速度，而根据机械能守恒定律，有：mg(L2R)mv高2/2， 解得R2L/5即为小球以P点为圆心的最小半径，所以OPLR3L/5为OP间的最小距离。故OP段的最小距离是3L/5。例9、在张家界市国际特技表演赛上，一飞行员做半径为50m的特技表演，设飞行员质量为60kg，飞机做竖直平面上的圆周运动，在最高点时他对座椅的压力与重力相同，他关掉发动机做圆周运动，在最低点时，他对座位的压力多大？在圆周运动的过程中分曾有眼睛“黑视”的情况发生，“黑视”在何处最严重？（不考虑空气阻力，g10m/s2）（g10m/s2）解析：在最高点时向心力为2mg，速度为v1，2mgmv12/R，v12gR1010m/s，在最低点，mv12/2mghmv2