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排列、组合和概率教材全解动态1. P283/例3 如图所示的5×3方格中矩形有 90 个。2. P283/例4 三边长均为整数，且最大边为11的三角形有 36 个。ABDC3. P285/例9 用五种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，有 320 种不同的涂色方法。4. P285/例10 求4320的不同的正约数的个数 48 个。5. P286/例12 王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读，（1）若他从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？ 12 （2）若带外语、数学、物理参考书各一本，有多少种不同的带法？ 60 （3）若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？ 47 12346. P287/例13 在中有四个编号为1、2、3、4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑5种颜色，使有相邻边的小三角形颜色不同，共有 260 中不同涂法。7. P287/例14 在直角坐标平面上点的坐标满足，且都是集合，又点P到原点的距离，求点P的个数。 20个 8. P288/例15 某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1,2,3，.，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令，其中，且，则同时同意第1,2号同学当选的人数为 。9. P288/例16 现在1角币3枚，5角币2枚，1元币6张，2元币4张，5元币3张，10元币3张，则它们可组成 483 中不同的币值。10. P288 师问：我有5本书要全部借个3名学生，有多少种不同的借法？ 生甲：第一个人借5本中的一本，共有5种借法；第二个人借剩下4本中的一本，有4种借法；第三个人借剩下3本中的一本，有3种借法；还剩下的两本书借给三个人中任何一人即可，故共有54333=540种借法。 生乙：不对，借书时，并没有要求每人必须把书借完即可，再按上述借法还有重复的，如果将这5本书编号为1，2，3，4，5，三个人不妨设为A、B、C，设开始A借1号书，而剩下的两本书（4，5号）中4号书借给A；反过来，开始A借4号书，而后来1号书借给A，那么这两件事实质上都是A借了，因而它是同一件事（B，C借的书一样），并且这其中重复的次数又不好计算，不过由此可受到启发：我们可以反过来以“书”为主进行分析，即每本书应借给三个人的一个，按1，2，3，4，5号书的顺序依次借出这五本书，则共有33333=243种不同的借法。 师问：不错，如果是三个人分配到某工厂的5个车间去参加社会实践，则有多少种分配方案？ 生甲：三个人分到5个车间，可能有的车间没有人，而人必须分完，因此应以“人”为它进行分析，即每个人可得到5个车间中的一个，有5种分法，因而共有555 = 种分配方案。 师问：不错，因此我们在解这类问题时，关键在于搞清楚以谁为主，那么对于具体问题我们应该如何确定以谁为主呢？ 生乙：恩，借书时是以书必须借完，因此以书为主；而人员分配是人必须分配完，因此以人为主，啊！我知道了，那类元素必须用完，就以那类元素为主。 师评：很对！解决这类元素可重复选取问题，我们可用分步计数原理来求解，分步时，看哪类元素必须用完，就以该类元素为分步的依据进行分步。11. P289/例17 （1）5名学生从3项体育项目中选择参赛，若每一位学生只能参加一项，则有 种不同的参赛方法；（2）若5名学生争夺3项比赛冠军（每一名学生参赛项目不限），则冠军获得者有 种不同情况（没有并列冠军）。12. P289/例18 有4名学生参加3项不同比赛，（1）每名学生必须参加一项竞赛，有 81 种不同结果；（2）每项竞赛只许一名学生参加，有 64 种不同结果。13. P290/3 某团支部进行换届选举，从甲、乙、丙、丁4人中选出3人分别担任书记、副书记、组织委员，规定上届任职的甲、乙、丙3人不能连任原职，则不同的任职方案有 11 种。14. P290/6 5位教师去听同时上的4节课，每位教师可任选其中的一节课，求不同的听法种数。15. P290/10 正八边形有八个顶点，在由这8个顶点连成的三角形中，有 40 个与正八边形有公共边。16. P290/11 关于自然数2160，回答以下两个问题：（1）它有 40 个正因数；（2）它的所有正因数的和为 7440 。17. P295/例10 沪宁铁路上有6个大站，即上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门为沪宁线上的这六个大站应准备（这六个大站间）多少种火车票？ 30 18. P295/例11 一条铁路原有个车站，为适应客运需要，新增加了个车站（），客运车票增加了62种，问：原来有多少个车站？ 15个 现在有多少个车站？ 17 个 19. P296/例12 六个人按下列要求站成一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站在右端，也不站在左端； 480种 （2）甲、乙站在两端； 48种 （3）甲不站在左端，乙不站在右端。 504种 解题规律：解答这类有限制条件的排列问题，常用的方法有“直接法”和“间接法”（即剔除不符合条件限制的情况）。如果问题的正面分的类较多或正面问题计算较复杂， 而反面问题分的类较少或计算较方便，则用“直接法”较麻烦，往往采用“间接法”。 用“直接法”来解决这类有限制条件的排列问题基本的方法有：元素分析法即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素；位置分析法即以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置。“在”与“不在”问题是排列问题中的常见类型，常用“元素分析法”、“位置分析法”。当题目中有两个约束条件时，往往考虑一个约束条件的同时，还需要考虑另一种约束条件，这就需要进行正确的分类，如本题中的问题，有时“分的类”较多，用直接较麻烦，往往采用“间接法”。20. P297/例13 用0，1，2，3，4五个数字：（1）可组成个五位数；（2）可组成个无重复数字的五位数；（3）可组成个无重复数字的且是3的倍数的三位数；（4）可组成个无重复数字的五位奇数；（5）在没有重复数字的五位数中，按由小到大的顺序排，42130是第个数，第61个数是；（6）可以组成个无重复数字的且奇数在奇数位上的五位数。21. P297/例14 高三年级某班星期一的课程表（每天排6节课）要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课，如果第一节不排体育，第六节不排数学，一共有种不同的排法。22. P298/例15 从数字0，1，3，5，7中取出不同的3个作系数，可以组成个不同的一元二次方程，其中有实根的方程的有个。23. P298/例16 2名教师和6名学生排成一排，使2名教师之间有3名学生，这样的排法有种。解题规律：解决这类“集团”（有些元素必须组成一个整体）排列问题的基本方法是“捆绑法”，即先排集团内部的排列，再把它看作一个元素，与其他元素合在一起再排列。24. P299/例17 5名男生和2名女生排成一排，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，共有种不同排法。25. P299/例18 5名男生和3名女生排成一排，则女生不站在一起的不同排法种。解题规律：解决这类“间隔”问题（有些元素不相邻）排列问题的基本方法是“插空法”，即先排不需要的间隔元素，再将需要间隔的元素插进来即可。26. P299/例19 某次文艺晚会上，共演出8个节目，其中2个独唱、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法：（1）一个独唱开头，另一个压台；（2）两个独唱不相邻；（3）两个独唱相邻且3个舞蹈节目不相邻。27. P299/例20 4名男生和3名女生排成一排：（1）一共有 种不同排法；（2）甲站在正中间的不同排法有 种；（3）甲、乙两人必须站在两端的排法有 种；（4）甲、乙两人不能站在两端的排法有 种；（5）甲不站在排头，乙不站排尾的排法有 种；（6）4名男生站在一起，3名女生站在一起有 种排法；（7）男女相间的排法有 种；（8）女生不想邻的排法有 种；（9）甲、乙两人中间间隔两人的排法有 种；（10）甲排在乙的右边有 种不同的排法。28. 圆排列就是把个不同元素放在圆周的个无编号的位置上的排列，顺序（如按顺时针）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首尾之分，它可以把某个元素（如）去掉，把圆排列看作普通排列，并把该元素的左边看作首，右边看作尾，于是个元素的圆排列有种不同的排法。P301/例21 8个女孩、25个男孩围成一圈，任何两个女孩间至少站在两个男孩有 种不同的排法。（把旋转一下就重合的排法认是相同的）29. P301 师问：写出字母的所有排列。 甲生：有6种： 师问：如果设由字母的所有排列种数为，并用代替上面排列中的两个，用代替上面排列中的两个，则如何求出？ 乙生：代替后，相当于4个元素全排列，有种，而在这种排法中其他元素位置不变，使与交换位置，有2！种排法，类似与交换有2！排法，由分步计数原理可知：2！2！，种。 师问：将4本相同的练习本，3本相同的作文本，3本相同的英语本排成一排有多少种不同的排法？ 甲生：设其排法种数为，将4本相同的练习本看作不同的练习本，并设其他本子的位置不动，则有种排法；同样3本作文本有种排法，3本英语本有种排法，而10本不同的练习本有种排法，因而有，即种，故共有4200种不同的排法。 师问：推广到一般，结论如何？乙生：有个元素，其中有个元素相同，又有个元素相同又有个元素相同，则这个元素的排列种数为。高考题与“四色定理”30. P302/1 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现在要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种。（以数字作答） 2第31题第30图651433145231. P302/2 如图，一个地区分为5个行政区，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种。（以数字作答）32. P303/1 若个学生排成一排为，这个学生排成三排，每排人，排法种数为，则 。（）33. P303/2 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有 种。34. P304/3 要排一个由5个独唱节目和3个舞蹈节目单，如果舞蹈节目不排第一，并且任何2个舞蹈节目不连排，则不同的排法种数是 种。35. P304/9 用0，1，2，3，4五个数字组成的无重复数字的五位数中，其依次从小到大的顺序排列，（1）第49个数字是 30124 ；（2）23140是第个数。36. P304/10 6人排成一排，（1）其中A、B、C三人必须相邻，且D不站在排头和排尾；（2）其中A、B都不能与C相邻，问各有几种排法？（1）共有种；（2）共有288种37. P304/11 在集合中取出三个数排成一列，使他们构成等差数列，一共可以构成 个等差数列。38. P304/12 8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录1人，（1）若正、副组长相邻而坐，有 种坐法；（2）若记录坐于正、副组长之间，有 种坐法。39. P310/例12 200件产品中有5件次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同抽法（只要求列式）（1）都不是次品；（2）至少有一件次品；解题规律：（1）解答这样的有限制组合问题像排列问题一样，其基本方法仍然是直接法和间接法（剔除法），其中用直接法求解，则应坚持“特殊元素优先选取”的原则。（2）正确理解“都不是”、“不都是”、“至多”、“至少”等词语的确切含义是解决有些组合问题的关键。（3）“至多”或“至少”问题是组合问题的常见类型，可分成几类的用直接法，也可用间接法，当正面所分的类较多时，用间接法更简捷。40. P311/例13 从7名男生和5名女生种选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？（1）A、B必须当选；（2）A，B必不当选；（3）A，B不全当选；（4）至少有2名女生当选；（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任。41. P311/例14 假设在200件产品中，有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 种。解题规律：（1）解复杂的组合问题的基本思路是“整体分类，局部分步”，分类时，要注意确定一个分类标准，否则就难免会出现重复和遗漏。（2）解复杂的组合问题的常用方法有“直接法”和“间接法”，选择间接法的原则是“正难则反”，也就是正向问题分的类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反向问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及到“至多”、“至少”等组合问题时更是如此。42. P312/例15 在12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品任意抽出3件，（1）共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件种恰好有1件次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？43. P312/例16 在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人既能当钳工又能当车工，现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问有多少种不同的选法？524解题规律：（1）对有多个限制条件的组合问题，要以其中的某个条件为主取去进行分类，然后再考虑其余的限制条件。如本例中也可以以5个只能当钳工的人，或4个只能当车工的人进行分类，对于需要分类的问题，注意分类的过程中标准要统一。（2）对于较复杂的分类问题，可以借助集合图示法来确定分类标准，如本例利用右图很容易确定一个分类标准。44. P313/例18 甲、乙、丙3人值日，从周一到周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可排出多少种不同的值日表。45. P313/例19 （1）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？（2）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？易错点提示：易忽视正方体对角面上四个点共面这一情况。解题规律：解答几何组合应用问题的思考方法与一般的组合应用题基本一样，只要把图形中隐含的条件视为有限制条件的组合应用题来解答即可。计算时可用直接法，也可用间接法。要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数。46. P313/例20 （1）四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同取法？（2）四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法？AB47. P314/例21 空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面，这12个点可决定多少个不同的平面？48. P314/例22 某区有7条南北向街道，5条东西向街道（如右图），（1）图中共有多少个矩形？（2）从A点走向B点最短的走法有多少种？解题规律：要从实际问题中建立组合模型，这就需要抓住特例进行分析，如在本例（1）中，注意一个矩形可由题图中的两条横线和两条纵线所围成，因而只要从5条横线中选2条，再从7条纵线中选2条即可，从而建立组合模型；而在（2）中，观察分析每条最短路线均有10段组成，其中6段为由西向东的方向，而另4段由南向北方向组成。DAPCB49. P315/例23 在一个圆周上有个点，用线段将它们彼此相连，若这些线段中的任意3条在圆内共点，那么这些线段在圆内共有多少交点？50. P315/例24 有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全放入盒内，（1）有几种放法？（2）恰有1个空盒，有几种放法？（3）恰有2个盒子不放球，有几种放法？51. P316/例25 8人排成一排，其中甲、乙、丙3人中，有两人相邻，但这3人不同时排在一起的排法有多少？52. P316/例26 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品一一进行测试，直到测出所有的产品为止，若所有的次品都是在第5次测试时被发现，则这样的测试方法有多少种可能？53. P316/例27 从6名运动员中选出4人参加接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑最后一棒，那么共有多少种不同的参赛方法？54. P316/例28 用0，1，2，3，.，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个？ 55. P317/1 分组问题常见形式及处理方法：（1）非均匀不编号分组：n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数为。（2）均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号m组，假设其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种类（其中A为非均匀不编号分组中分法数），如果再有k组均匀分组再除以。（3）非均匀编号分组：n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为。（4）均匀编号分组：n个不同元素分m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为。56. P317/2 分配问题的处理途径：将n个元素按一定要求分给m人，称为分配问题。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不可区分点；而后者则即使两人元素个数相同，但因人不同，仍然是可区分的，对于这类问题必须遵循先分组后排列。57. P317/例29 将12本不同的书分成三组：（1）若一组3本，一组4本，一组5本，有多少种分法？（2）若平均分成三组，即每组4本，有多少种分法？（3）若平均分成甲、乙、丙三组，每组4本，有多少种分法？（4）若一组2本，其余两组各5本，有多少种分法？解题规律：在具体问题中，要准确把握各组之间是否有区别，如在本例第（3）小题虽然各组的本数相等，但由于各组的名称不同，即三个组是有区别的，而第（2）小题的三个组是无区别的。58. P318/例30 现有5名学生要插入某工厂的四个车间去实习，每个车间至多去2人有多少种不同的方法？59. P318/例31 不定方程的正整数解有多少组？60. P318/例32 不定方程的非负整数解有多少组？61. P319/例33 某校高一年级有6个班级，现要从中选出10人组成高一女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少选1人参加，这10个名额有多少种不同的分配方法？62. P319/有趣的更列问题 同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方案有 9 种。得出结论：一教师把6本不同书分给6名学生，等学生看完后收回，之后再分给这6个学生，学生希望自己得到的书不是刚才所看过的，问有多少种方式分配这些书使得每名学生都能如愿以偿！63. P322/12 有若干名棋手参加的单循环制象棋比赛，其中有2名选手各比赛了三场就退出了比赛，且这两个选手之间未进行比赛，这样到比赛全部结束时共赛了84场，问原来有多少人参加了比赛。64. P322/13 蚂蚁由点移动到N*，而且规定必须沿坐标轴正方向移动，只许在坐标均为整数的处改变移动方向，问蚂蚁移动的最短路线有多少条？65. P322/14 将7个完全相同的小球任意投放到4个不同的盒子中，使得每个盒子都不空的投法有多少种？66. P322/15 6本不同的书分给甲、乙、丙三人：（1）甲一本，乙二本，丙三本，共有 种分法；（2）一人一本，一人二本，一人三本，共有 种分法；（3）每人两本，共有 种分法。