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重视数学史在中小学数学教育中的作用摘要：新课标中学数学课程与传统的数学课程相比出现了诸多发展和变化，在众多的发展变化中有一个变化是非常明显的，那就是在新课程中都十分注意数学史内容的渗透，甚至在高中的课程中还专门开设了一门数学史选修课程。那么，在新课程中为什么如此重视渗透数学史的内容呢？本文就从一个教材编写者的角度出发，谈一谈数学史在中学数学课程中的教育功能以及教师在教学时如何把握这些内容。 关键词：数学 数学史 教育功能 工具作用与人文作用作为一门学科，“数学史”一词对于广大中学教师来说也许并不熟悉，毕竟决大多数教师都未曾把它当作一个学科来研究或学习过。不过，如果把它作为一般的名词“数学的历史”来理解当然不会陌生。因为我们以前的老课程尽管在这方面并不是非常注重，但有些教师还是会有意无意地获得一些与数学知识本身发展的来龙去脉有关的知识。数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系的一门学科。在老教材中曾经出现过一些数学史的内容，但与新教材相比是不可同日而语的。在新教材中出现的数学史和数学文化内容为教师教学提供了新的发挥空间，为激发学生的学习兴趣提供了新的契机。人教版的中学教材已经使用了一年，根据回访时教师的反馈意见可以看出，大部分中学教师对新教材中出现的这一块内容普遍持支持态度，一方面数学史内容与数学知识的教学紧密结合有力地促进了学生对数学本质的掌握，另一方面数学史知识的适当渗透并没给老师的教学和学生的学习增加压力。但是也有一些教师对数学史内容持冷淡态度，对设置这块内容的目的不是很明确，还有一些教师尽管很欢迎这块内容，但教学时不知如何把握。本文中就从初中教材特别是高中数学史选修教材的编写者的角度出发，对数学史的设置目的、教育功能以及如何教学等方面谈一谈本人的看法。一、数学与数学史数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。与其他学科的知识相比，数学是一门历史性或者说积累性很强的学科。重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包容原来的理论。比如，小学时学了整数，到初中阶段就先后发展为有理数和实数，最后在高中又发展为复数，而数的每一次扩展都不会推翻原来的数的运算法则，而是包含了原来的法则，这就是“数的扩张的一致性”。而其他自然科学都不乏后来的理论推翻以前理论的例子，由此次可以看出数学不同于其他学科发展的独到之处，也许这也是数学称为基础科学而不是自然科学的一个原因。鉴于数学的这一特点，一百多年前，德国的数学史家汉克尔（H. Hankel，18391873）就形象地指出数学与其他自然科学的显著差异：“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所摧毁，一个人的创造被另一个人所破坏。惟独数学，每一代人都在古老的数学大厦上添加一层楼。”尽管汉克尔的话有些绝对，但还是形象地指出了数学这门学科的积累特性。从这个意义上说，不了解数学史就不可能全面了解数学科学。二、数学史的教育功能数学科学作为一种文化，不仅是整个人类文化的重要组成部分，而且始终是推进人类文明的重要力量，而作为教授数学的教师和学习数学的学生来说，数学史更是必读的篇章。在中学的课程中设置数学史的课程主要是因为数学史有如下的教育功能。1开阔学生视野，激发学习兴趣就大多中学数学生而言，数学与其他学科相比确实是比较抽象、枯燥和乏味的，这样如何把数学课讲得引人入胜、生动活泼就成为数学教师的一大挑战。教师都有这样的经验：学生如果能知道数学知识的来龙去脉，那么就能较好地掌握知识。数学知识的产生与发展必有其前因后果。作为数学教师不仅要透彻地了解他们所教的那一部分数学，而且从宏观上来认识数学知识的发生与发展。从而能够知其然也知其所以然，从而能教其所以然。事实证明，课堂授课时那些知识丰富、谆谆善诱的老师远较那些授课时简单乏味、就事论事的教师受学生欢迎。如果教师在教授数一些常见的数学概念、理论和方法时，能够指出它们的来源、典故及历史演变过程，将会使学生兴趣昂然。比如，教师在讲授“勾股定理”时，如果仅仅给出推导证明，学生也能够掌握。但是，如果教师给出中国古代的证明思路，或者提及古希腊毕达哥拉斯发现这个定理的经过，课堂气氛就会活跃起来。在教师教授数学知识的时候，如果能不失时机地、适当向学生渗透一些有关的典故、背景或名人趣事，学生一方面开阔了视野，知道了数学知识的取得是如此曲折动人，就会对知识点产生更深刻的认识。知道了知识的来龙去脉，学生的知识面会得到不同层次扩展。如果他知道，从古至今，“勾股定理”的证法已经超过300多种，甚至还曾经有一位美国总统醉心于这个定理的证明，学生们一定会产生旺盛的求知欲，努力从各方面去思考证明思路。教师虽然不是数学家，但却可以培养出数学家。许多数学家走上数学研究道路都与中学时代遇到一位善于激发学生兴趣的教师有密切关系，由此看来，教师对学生的影响是显而易见的，有些教师甚至成为发现千里马的伯乐。2感受前人严谨态度，增强自我探索精神数学是人类文明的重要组成部分，是人类智慧的结晶，数学的历史像一条大河几乎贯穿了人类的整个文明史，它时而波涛汹涌，时而风平浪静。数学今天的繁荣昌盛是千百年来无数数学先驱前仆后继，辛勤耕耘的结果。数学先贤们的严谨态度值得我们学习，他们的献身精神值得我们景仰，他们的经验教训值得我们去借鉴，许多数学家孜孜不倦、锲而不舍地追求真理的精神值得我们去感动。以继牛顿之后最伟大的数学家之一、18世纪数学界的灵魂人物欧拉（L. Euler， 17071783）为例，他在年近花甲的双目失明，不久，除了其本人和一些手稿幸免于难外，他的住所和财产全都在一场大火后荡然无存，正所谓祸不单行。尽管遭受一系列的不幸和沉重打击，欧拉仍然屹立没有倒下，他的科学活动丝毫没有减少。欧拉的记忆力和心算能力是罕见的。心算不仅限于简单的运算，高等数学同样可以用心去算。欧拉在完全失明前，还能朦胧地看到一些东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上写下他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生笔录。在失明后的17年里，欧拉还解决了许多数学问题、留下400多篇论文。由于欧拉身残志坚、百折不挠的毅力和孜孜不倦的探索精神及无与伦比的数学贡献，后人把他誉为“数学英雄”。再比如我国著名数学家华罗庚，他在十八岁那年不幸罹患伤寒，卧床达半年之久，后来病虽痊愈，但左腿却残疾了。左腿残疾后，走路时左腿要先画一个大圆圈，右腿再迈上一小步。华罗庚幽默地戏称这是“圆与切线的运动”。他的誓言是：“我要用健全的头脑，代替不健全的双腿！” 在数学史上，这样的的数学先贤不胜枚举，他们崇高的理想、顽强的意志、为真理献身的精神及高尚的道德情操，无不是后人应该继承的宝贵遗产。3了解祖国传统数学，培养学生爱国情怀中华文明源远流长，发展进程波澜壮阔。在世界的古老文明中，古埃及、古巴比仑文化早已湮灭在历史长河之中；古印度的文明屡受摧残而损失殆尽，希腊和罗马也早已失去了往日的荣耀与辉煌。惟有中华文明薪火相传，五千多年虽有起伏跌宕，但却连绵不绝，从未中断。就数学而言，中华民族有着光辉灿烂的过去，在元代以前，中国的许多成果处于世界领先位置。可以说，数学是中国古代最发达的基础科学之一。仅以现在的初中数学知识为例，十进位值制、线性方程组的解法，正负数运算、开平方开立方法则，圆周率的计算都是古代取得的辉煌成就，有些成就领先世界千年以上。数学是璀璨夺目的中国古代文化的重要组成部分，古代伟大的数学贡献不仅是当今进行爱国注意教育的绝佳材料，而且古代数学家实事求是，敢于坚持真理、勇于攀登高峰的高尚品德，也可以激励后人振兴中华，为实现中华民族伟大复兴的而奋斗的自强精神。回顾以往，我们的数学教材中的数学知识完全是西方式的，中国的传统数学在里面已经没有立足之地，当然这也无可厚非，毕竟从19世纪中叶以后，中国的数学就已经完全西化了，中国传统数学已经淡出并被人们逐渐遗忘。以至于近百年来，决大多数的中国人甚至一些数学家都不知道中国古代的数学曾经有过的辉煌，真可谓数典忘祖。从元代中叶开始，中国的古代数学逐渐衰落，即而被西方数学赶超。尤其在鸦片战争之后，在帝国主义列强的欺凌和压迫下，在长期压抑的气氛中，许多国人几乎完全丧失了民族自信心，结果许多人崇洋媚外，觉得自己一无是处，直至今日这种现象也可说是不胜枚举。但当今世界已经进入电脑时代，更应该唤醒国人对中国传统数学的重视。因为中国古代的数学思想主要以算法为中心，而古希腊的数学思想则是以演绎推理为中心，这两种倾向各有优缺点。而电脑解题要尽可能算法化，这与中国古代数学的思想不谋而合。毕竟，现在的数学已经世界大同，已不可能用中国古代的方法去学习数学。不过应该给学生的数学学习作一个有益的补充，让学生在学习数学的时候能够知道，这些数学知识我们的先人都已经知晓。对中国古代数学的创造过程的了解可以使我们从前人的探索与奋斗中汲取营养，获得鼓舞、增强信心。正是考虑到上述的情况，在新的课程标准指导下，在编写新的教材的时候，我们从弘扬祖国优秀文化，提高民族自豪感，增强民族自信心，从小培养学生的爱国情怀，在教材中安排了一些数学史的内容。但教材在这方面只是做出了一些努力或榜样，更多的工作要一线教师去努力。4鉴过去而知未来，感悟数学与社会 在过去的数学课程中很少涉及数学与社会的内容，除了数学书上一些数学应该题外，似乎看不到数学与社会有什么密切联系。新课标教材试图使学生对数学与社会的关系的认识方面做出努力。数学的发展与社会的进步息息相关，互相促进。一方面，数学的发展依赖于社会环境，受社会经济、政治和文化等诸多因素的影响；两一方面，数学的发展又反过来对人类社会的进步起推动作用，不管是物质文明还是精神文明。对物质文明的影响数学对人类物质文明的影响，突出的反映在它与能够改变人类生活方式的产业革命上。人类历史上有三次重大的产业革命，这三次产业革命的主体技术都与数学的新理论、新法方法的应用有直接或间接的联系。牛顿和莱布尼茨发明的微积分作为一种强有力的新工具，推动了以机械运动为主题的17、18世纪整个科学技术的高涨，成为18世纪下半叶开始的第一次产业革命的重要先导。19世纪60年代，第二次产业革命开始，这次产业革命发电机、电动机以及电气通信为标志，这些技术当然依靠了电磁理论的发展，而电磁理论的研究是与数学分析的应用分不开的。第三次产业革命发生在上世纪40年代，主要以电子计算机的发明使用、原子能的利用以及空间技术、生产自动化等为标志。这这些技术发展的每一个关头都记载着数学家的不可磨灭的功勋。对精神文明的影响作为教授数学的教师，学生或者你自己是否提出过这样的问题：我们为什么学数学？对于这个问题你是怎样思考和回答的？有些教师会回答，我们所学习的数学是有用的，小到我们个人生活中有些问题需要用到数学知识，大到计算机技术、自动化技术、航空航天，军事等等领域都要应用数学。这样的回答无疑是正确的，但却并不全面，它只提到了数学的两个作用的一个作用。数学有两大作用，一个是工具作用，像现实问题到应用数学这是它的工具作用，也就是上述的对物质文明所起的作用；另一个作用就是人文作用，也就是对人类的精神文明所起的作用，数学对人类精神文明的影响极为深刻。某种程度上，对于大多数人来说数学的人文作用比其工具作用更具意义。想一想，绝大多数的学生未来都不会从事与数学有关的工作，对这些学生来说小学的四则运算几乎就足够他们应付日常的生活问题了，甚至连开方都用不到，如果仅从学以致用的角度来看，他们从小学到高中要学习12年的数学，不是浪费生命吗？事实上并非如此。数学本身就是一种精神，一种探索精神。这种精神包含的两个要素，即对真理和完美的追求，千百年来对人们的思维方式、教育方式以及世界观、艺术观都有着毋庸质疑的影响。数学对人类精神文明的意义，也突出地表现在历次重大思想革命的关系上。由于其不可抗拒的逻辑说服力和无可争辩的计算精确性，数学往往成为解放思想的决定性武器，尤其在文艺复兴之后科学与神学的斗争中表现的更为突出。中学数学课程中，对数学知识本身的学习还不足以使学生感受到数学与社会之间的深刻的关系，为此要在数学课程中加入一些数学史的内容，当然，教材中的这些内容仅仅是冰山一角，教师应该应该提高自己对数学发展历程的了解，只有这样才能更好地促进数学教学。二、如何把握数学史的教学新课标数学教材中出现了较多的数学史知识，相对来说，以往的数学教材中这类知识是无足轻重甚至是没有的。这种情况就给教师的教学提出了崭新的课题：如何把握数学史知识，如何进行数学史的教学。这个问题可从如下几方面加以注意。1努力提高教师的数学史素养总体来说，广大教师的数学史知识是非常缺乏的，对数学史的了解是极其不足的，甚至可以说绝大多数教师根本就不知道有“数学史”这一学科，造成这个现象有许多原因。首先，决大多数教师在大学期间都没有机会把数学史作为一门学科来系统地学习，因为就国内的大学来说，即使是师范院校开设数学史课程的学校是很少的。另一方面，在以往的教材中很少涉及到数学发展的来龙去脉的内容，教师即使知道一些数学史的知识在过去的教学中也不会主动提及甚至完全没有意识到的。最后，广大教师的教学任务繁重，升学压力巨大，面对这样的现实情况，教师也就只能全身心地把精力放在如何让学生掌握数学知识本身，如何让学生考出好成绩，而对数学知识以外的知识是无暇顾及的。许多教师在任教后，就没有了再学习再充电的欲望，在他们的思想中，自己的数学知识已经足够应付现实的教学需要，尤其是在中学阶段的数学知识难度不高的情况下。为了适应新课标数学课程的教学要求，广大教师应该努力改变数学史知识严重缺乏的现状。鉴于上述造成教师数学史知识缺乏的原因，应该努力从下面的几个方面提高教师的数学史素养，扩大知识面。由于广大教师以往并没有这类知识的教学经验，新教材中出现的这类知识，教师也许会感到陌生，所以要首先掌握教材中的这类知识，并能灵活的加以运用。这是最起码的要求。仅仅掌握教材中的数学史知识还是不够的，广大教师应该努力增加与数学史有关的课外阅读量。尽管数学史作为一门学科开设的并不多，但这方面的书籍还是很充足的。就笔者所知，很多数学史书的内容都是相近的，所以只要找到一两部有代表性的数学史著作，里面的内容就基本够老师的使用了。因为考虑到广大教师主要是数学知识的传授者而不是数学知识的研究者，所以教师在阅读数学史书籍时不要以研究者的方式，而仅以开卷有益的心态就足够了，这样就不需要花费更多时间。2正确把握教学要求教师提高了自身的数学史素养以后面临的一个问题就是，如何在教学中处理这些知识。中学阶段的数学史主要有两种呈现方式，一个是在数学教材中以各种方式的渗透，这在初高中的数学教材中都有体现；再就是开设专门的选修课程，这是在高中阶段。由于在初高中的数学教材中，数学史知识出现的方式不同，所以教师在教学时也要相应采取不同的教学方式。渗透部分要潜移默化适可而止对于数学教材中数学史的渗透部分要把握好教学的“度”。以人教版新课标初中数学教材为例，书中是以选修的方式在“阅读与思考”栏目中呈现数学史的内容的。这些内容教师可以作为课外阅读材料让学生自学，教师也可以在教学时把它作为增强学生学习兴趣、启迪学生数学思维的材料加以灵活运用。在教师灵活把握数学教材中的数学史部分外，教师还应该充分发挥自己的主观能动性，恰到好处地适时向学生渗透一些与所学数学内容有关，而教材中又没有呈现出来的数学史内容，这就需要教师本人有较好的数学史素养。教材中的数学内容几乎每一部分都有引人入胜的历史典故，比如负数的、无理数以及复数的产生背后都有许多有趣的故事，而在以往教师是不会注意渗透这些知识的产生背景的。关键是，许多教师自己对这些知识的来龙去脉都不了解。比如对于复数，绝大多数教师只能就事论事知道复数如何进行运算，对于复数的产生的原因以及实际用处都不甚了了，不能不说是一个遗憾。毕竟我们的数学教材主要是教授数学知识的，数学史的渗透要恰到好处，不必系统，以防止出现喧宾夺主的结果，这类内容的教学最好能够达到润物细无声的境界。选修部分要注意适度的系统性和完整性新课标的高中数学课程较传统的数学课程在设置上发生了巨大的变化。新课程分必修和选修，对于选修课程，学生可以根据自己的兴趣、爱好以及对未来发展的愿望自由选择。选修课程由4个系列组成，其中系列3中有若干个专题，而“数学史选”讲就是专题之一。作为一门独立的学科，数学史的讲授就与前面以渗透目的安排的数学史的讲授方式大相径庭，渗透部分讲究潜移默化、不求甚解，不求数学史知识的系统与完整，而数学史选修课程的讲授则恰好相反。既然把数学史作为一个独立的选题，它就应该与教材中对以渗透方式出现的数学史内容的要求有所区别。学生既然选择了这个选题，那么就应该在学习之后获得对整个数学发展脉络的一个全新认识，而不应该仅仅停留在知道一些名人佚事，几个历史典故这个层次上面。所以，尽管高中新数学课标在本专题的说明与建议中提到：本专题不必追求数学发展历史的系统性和完整性。但是，笔者在编写这一专题的时候还是有意识地注意了数学发展的系统性和完整性。在课程标准提供的11个参考选题中，笔者选择了了9个，而课标要求选择不少于6个即可，所以人教版高中数学教材中的“数学史选修”应该说为教师教学提供了较大的回旋余地，教师可以根据自己的实际情况在教材中选择适宜的专题进行教学。在编写教材时，笔者尽可能把古代数学的主流部分的主要成果系统地呈现给学生，通过对“数学史选修”的学习，学生必将对自己所学习过的数学知识产生全新的认识，并且对中国乃至数学的发展脉络有了一个总体的概观。“数学史选修”这门课程对教师提出了更高层次的要求。有许多人认为，数学史不是数学，内容文理参半并不像纯数学知识那样艰深，所以一定好教，事实却并非如此。教师本人如果对数学史没有更加系统的了解，是不可能把握好这部分内容的教学的，最多只能做到照本宣科，以其昏昏，使人昭昭。而数学史作为一个独立的学科，教授的难度就在于如何使学生在学习后对数学的历史产生一个系统的、完整而清晰的印象。从这个角度出发，教授本门课程的教师一定要不失时机地提高自己的数学史水平。最大限度地占有材料是教授本专题的重要法宝当然，上述的系统性与完整性是相对于在数学教材中出现的那些数学史内容而言的。并且教师也不是数学史专业的研究者，上述的系统性与完整性也远远达不到专业研究者的深度与广度。即便如此，为了圆满完成“数学史选修”的教学，教师应该最大限度地占有材料，比如数学家、与数学有关的历史建筑、各种发明创造的图片，等等。笔者在编写本专题的时候，已经在教材的正文中尽可能实现图文并茂，但从教学角度来说这些突破还是不够的。有一点必须说明，“数学史选修”作为选修课程的第4系列，不必考试而只需记录学分，实事求是地说，这给教师和学生都减轻了压力，希望教师和学生在轻松的气氛中教学相长。总体来说，在新课标数学课程中数学史内容的出现是一个崭新的现象，我们应该予以充分的重视。数学史的教学的一个终极目的就是提高学生学习数学的积极性，使学生加深对数学本质的理解，增长知识面，扩大视野。事实上，教师又何尝不是如此呢？