数学(理)全国II大联考(七).docx

全 国 大 联 考2015届高三第七次联考·数学试卷考生注意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:高考全部内容.第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A=x|-5<x<2,B=x|y=log2(x2-4),则AB等于A.x|x<-5或x>-2B.x|-5<x<-2C.x|x-3或x-1D.x|x<-3或x>12.若复数z满足z(2-i)=10+5i(i为虚数单位),则z的共轭复数对应点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(0,1时,f(x)=x+3,则f(-2log212)等于A.-72B.-32C.-2D.-524.已知an为正项等差数列,且a5+a7=12,则a4·a8的最大值为A.24B.36C.72D.485.已知过双曲线x2a2-y 2b2=1的右焦点F且垂直实轴的直线与双曲线的两个交点分别为A、B,如果A、B与双曲线的左焦点构成等边三角形,则该双曲线的渐近线方程为A.y=±2xB.y=±2xC.y=±3xD.y=±12x6.设变量x,y满足约束条件2x+y-20,x-2y+40,x-10,则目标函数z=3x-2y的最小值为A.-1B.3C.-4D.67.执行如图所示的程序框图,则输出s的值等于A.-10B.-15C.-13D.-178.已知函数f(x)=sin x·cos x+3cos2x-32(>0),直线x=x1,x=x2是y=f(x)图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为4.则函数f(x)在区间0,4上的值域为A.(-1,1)B.(32,1)C.-32,1D.(-1,329.一个边长为2的正方体截去两个角后所得几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为A.83B.163C.6D.20310.在ABC中,AB2=BA·BC,OA+OC+AB=0,且|OA|=|AB|=1,则CA·CB等于A.3B.3C.32D.2311.如图所示,已知椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),A为椭圆的左顶点,B,C在椭圆上,若四边形OABC为平行四边形,且OAB=45°,则椭圆的离心率等于A.22B.33C.63D.22312.设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数,f'(x)是f(x)的导函数,当x0,2时,0<f(x)<23;当x0,2且x1时,(x-1)f'(x)>0,则函数y=f(x)-x+13x3在-4,4上的零点个数为A.2B.3C.4D.6第卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.在(1-x)6的展开式中,含x4项的系数为(用数字作答). 14.某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数,并绘制成如图所示的频率分布直方图,样本数据分组为50,60)、60,70)、70,80)、80,90)、90,100.若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在80,100范围内的数据24个,则其中分数在90,100范围内的样本数据有个. 15.已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为6的正三角形,侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球的表面积为12,则该三棱柱的体积为. 16.已知ABC的三边长分别为5,6,7,点O是ABC三个内角的角平分线的交点.若BC=7,则OBC的面积为. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知等差数列an的公差大于0,且a2=3,a5=9,数列bn的前n项和为Sn,且Sn=1-bn2(nN*).(1)求数列an和bn的通项公式;(2)若cn=an·bn,设cn的前n项和为Tn,证明Tn<1.18.(本小题满分12分)某电视频道有一档闯关类节目,过关以后的奖品也颇为丰厚,已知在某次改版测试赛阶段选手通过一、二、三这三关的概率分别为23,23,12,所得分数分别记3分、3分、4分,若某关没有闯过,则该关记0分,各关之间互不影响.(1)如果闯关得分不低于6分则获奖,求获奖的概率;(2)记闯关成功的个数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.19.(本小题满分12分)如图所示,在四棱锥ABCDE中,AE面EBCD且四边形EBCD是菱形,BED=120°,AE=BE=2,F是BC上的动点.(1)当F是BC的中点时,求证:平面AEF平面ABC;(2)当F在由B向C移动的过程中能否存在一个位置使得锐二面角FADC的余弦值是870.若存在,求出BF的长;若不存在,请说明理由.20.(本小题满分12分)已知抛物线P:x2=2py (p>0).(1)若抛物线上点M(m,2)到焦点F的距离为3,求抛物线P的方程;(2)设过焦点F的动直线l交抛物线于A,B两点,连结AO,BO并延长分别交抛物线的准线于C,D两点,求证:以CD为直径的圆过焦点F.21.(本小题满分12分)已知f(x)=x2-ax,g(x)=ln x,h(x)=f(x)+g(x).(1)若f(x)g(x)对于公共定义域内的任意x恒成立,求实数a的取值范围;(2)设h(x)有两个极值点x1,x2,且x1(0,12),若h(x1)-h(x2)>m恒成立,求实数m的最大值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,O是ABC的外接圆,D是AC的中点,BD交AC于E.(1)求证:CD2=DE·DB;(2)若CD=23,O到AC的距离为1,求O的半径r.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知圆C:x=3+3cos,y=3sin(为参数),直线l过点(-1,-3),且倾斜角的余弦值为45.(1)求圆C的普通方程.若以原点为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,写出圆C的极坐标方程;(2)写出直线l的参数方程,判断直线l与圆C的位置关系,并说明理由.若相交,请求出弦长.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|+|2x-2|.(1)解不等式f(x)>5;(2)若关于x的方程1f(x)-5=t的解集为空集,求实数t的取值范围.2015届高三第七次联考·数学试卷参考答案1.B因为A=x|-5<x<2,B=x|y=log2(x2-4)=x|x2-4>0=x|x>2或x<-2,所以AB=x|-5<x<-2.2.Dz(2-i)=10+5i,z=10+5i2-i=3+4i.z的共轭复数为3-4i.3.Af(-2log212)=f(-12)=-f(12)=-(12+3)=-72.4.B由题知a4>0,a8>0,由基本不等式可得a4·a8(a4+a82)2=(a5+a72)2=36,当且仅当a4=a8=6时等号成立.5.B依题意,当x=c时,y=±b2a,由双曲线定义得2b2a-b2a=2aba=2,所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.6.C作出不等式对应的可行域如图,由z=3x-2y得y=32x-z2,由图象可知当直线y=32x-z2经过点C(0,2)时,直线y=32x-z2的截距最大,而此时z=3x-2y取最小值为-4.7.A第一次运行,满足条件循环s=2-1=1,k=2.第二次运行,满足条件循环s=2×1-2=0,k=3.第三次运行,满足条件循环s=2×0-3=-3,k=4.第四次运行,满足条件循环s=2×(-3)-4=-10,k=5.此时不满足条件,输出s=-10.8.Cf(x)=12sin 2x+3·(1+cos2x2)-32=12sin 2x+32cos 2x=sin(2x+3),由题意知,最小正周期T=2×4=2,T=22=2,所以=2,所以f(x)=sin(4x+3),当x0,4时,34x+343,-32sin(4x+3)1.9.B根据三视图可以还原直观图如右图正方体截去以A,C为顶点的三棱锥余下的多面体,其体积为23-2×13×(12×2×2)×2=163.10.AAB2=BA·BC,AB2+AB·BC=AB·(AB+BC)=AB·AC=0,即ABAC.由OA+OC+AB=0OB+OC=0,即O为BC的中点,|OA|=|OB|,又|OA|=|AB|=1,BC=2,则AC=3,ACB=30°,CA·CB=2×3cos 30°=3.11.C令椭圆的右端点为M,连接CM,由题意四边形OABC为平行四边形,且OAB=45°,B,C在椭圆上,由椭圆的对称性知,B、C关于y轴对称,可得COM=CMO=OAB=45°,则有OCM=90°,由图形知|BC|=a,且BCOA,故C的横坐标为12a,代入椭圆方程得a24a2+y2b2=1,y=±32b,结合图形知C(a2,32b),COM为等腰Rt,a=3b,可得c2=23a2,所以e2=23,e=63.12.B当x(0,2)且x1时,由(x-1)f'(x)>0,知x0,1)时,f'(x)<0,f(x)为减函数;当x(1,2时,f'(x)>0,f(x)为增函数.又x0,2时,0<f(x)<23,在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数,在同一坐标系中作出y=-13x3+x和y=f(x)草图如下,由图知y=f(x)-x+13x3在-4,4上的零点个数为3.13.15因为(1-x)6的展开式的第r+1项为Tr+1=(-1)rC6rxr,(1-x)6的展开式中含x4的项为C64x4=15x4,所以系数为15.14.9分数段在80,100范围内占所有分数段的百分比为(0.025+0.015)×10=0.4,其中分数在90,100范围内的人数占所有分数段的百分比为0.015×10=0.15,因此分数在90,100占分数在80,100范围内的百分比为0.150.4=38,因此分数在90,100范围内的样本数据有24×38=9(个).15.33设三棱柱的外接球的球心为O,正三棱柱的高为2h,则O为此正三棱柱上下底面中心的连线的中点.O'为底面ABC的中心,易知AO'=2,则该三棱柱的外接球的半径AO=2+h2,由题意可得4(2+h2)2=12,故h=1,从而三棱柱的体积为34×(6)2×2=33.16.763因为点O是ABC三个内角的角平分线的交点,故点O到三边的距离相等,设为r,则ABC的面积SABC=12×(5+6+7)r=9r,设BAC=,则由余弦定理得cos =52+62-722×5×6=15,所以sin =1-cos2=265,则ABC的面积SABC=12×5×6sin =66,故r=263,因此SOBC=12×7×263=763.17.解:(1)因为等差数列an中a2=3,a5=9.所以d=a5-a25-2=2.所以an=a2+(n-2)d=2n-1(nN*).当n=1时,有b1=S1=1-b12,解得b1=13;当n2时,有bn=Sn-Sn-1=12(bn-1-bn),所以bnbn-1=13(n2),所以数列bn是首项b1=13,公比q=13的等比数列,所以bn=b1qn-1=13n(nN*).6分(2)证明:由(1)知cn=an·bn=2n-13n,则Tn=131+332+533+2n-13n,13Tn=132+333+534+2n-33n+2n-13n+1,-得23Tn=13+232+233+23n-2n-13n+1=-13+2(13+132+133+13n)-2n-13n+1,化简得Tn=1-n+13n.因为nN*,所以n+13n>0,故Tn<1.12分18.解:(1)记一、二、三这三关通过分别为事件A,B,C,则事件“得分不低于6分”表示为ABC+AB-C+ABC-+A-BC.因为ABC,AB-C,ABC-,A-BC为互斥事件,且A,B,C彼此独立,所以P(ABC+AB-C+ABC-+A-BC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B-)P(C)+P(A)P(B)P(C-)+P(A-)P(B)P(C)=23×23×12+23×13×12+23×23×12+13×23×12=23所以获奖的概率为23.6分(2)该闯关成功的个数X的取值为0,1,2,3,P(X=0)=P(ABC)=P(A-)P(B-)P(C-)=13×13×12=118,P(X=1)=P(ABC)+P(A-BC-)+P(ABC)=23×13×12+13×23×12+13×13×12=518,P(X=2)=P(ABC-)+P(AB-C)+P(A-BC)=23×23×12+23×13×12+13×23×12=49,P(X=3)=P(ABC)=23×23×12=29,所以随机变量X的分布列为X0123P1185184929随机变量X的数学期望为E(X)=518+1618+1218=116.12分19.解:(1)当F为中点,在BEF中,BF=1,BE=2,EBF=60°,由余弦定理可得EF=3,BF2+EF2=BE2,EFB=90°,EFBC,又AEBC且AEEF=E,BC平面AEF,又BC平面ABC,平面AEF平面ABC.5分(2)取BC的中点M,由(1)知EMED,建立如图空间直角坐标系,四边形EBCD是菱形,BED=120°,C(3,1,0),D(0,2,0),A(0,0,2).设F(3,b,0)(其中-1b1),DF=(3,b-2,0),DC=(3,-1,0),DA=(0,-2,2),设面ACD的法向量是n1=(x,y,z),则n1·DC=0,n1·DA=03x-y=0,-2y+2z=0,令y=3得x=1,z=3,故n1=(1,3,3).设面DAF的法向量是n2=(x,y,z),n2·DA=0,n2·DF=0-2y+2z=0,3x+(b-2)y=0,令y=3得z=3,x=2-b即n2=(2-b,3,3),设面DAF和面ADC所成二面角为,|cos |=|cos<n1·n2>|=|(1,3,3)·(2-b,3,3)|7·(2-b)2+6=870,即|8-b|7·b2-4b+10=870,解得b=0.即BF=1时,使得锐二面角FADC的余弦值是870.12分20.解:(1)由抛物线定义可知,抛物线上点M(m,2)到焦点F的距离与到准线距离相等,即M(m,2)到y=-p2的距离为3,p2+2=3,解得p=2. 抛物线P的方程为x2=4y.4分(2)直线l的斜率显然存在,设l:y=kx+p2,设A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=2py,y=kx+p2消y得x2-2pkx-p2=0,且>0.x1+x2=2pk,x1x2=-p2.A(x1,y1),直线OA:y=y1x1x,与y=-p2联立可得C(-px12y1,-p2),同理得D(-px22y2,-p2). 焦点F(0,p2),FC=(-px12y1,-p),FD=(-px22y2,-p),FC·FD=(-px12y1,-p)·(-px22y2,-p)=px12y1px22y2+p2=p2x1x24y1y2+p2=p2x1x24x122px222p+p2=p4x1x2+p2=p4-p2+p2=0.以CD为直径的圆过焦点F.12分21.解:(1)由题意知x2-axln x(x>0),ax2-lnxx=x-lnxx(x>0),设(x)=x-lnxx(x>0),则'(x)=x2+lnx-1x2,y=x2+ln x-1在(0,+)上是增函数,且x=1时,y=0.当x(0,1)时,'(x)<0;当x(1,+)时,'(x)>0;(x)在(0,1)单调递减,在(1,+)单调递增.min(x)=(1)=1,a1,即a的范围为(-,1.5分(2)由题意知h(x)=x2-ax+ln x(x>0),则h'(x)=2x2-ax+1x(x>0),方程2x2-ax+1=0(x>0)有两个不相等的实根x1,x2,且x1(0,12),又x1x2=12,x2=12x1(1,+),且ax1=2x12+1,ax2=2x22+1,而h(x1)-h(x2)=(x12-ax1+ln x1)-(x22-ax2+ln x2)=x12-(2x12+1)+ln x1-x22-(2x22+1)+ln x2=x22-x12+ln x1-ln x2=x22-14x22-2ln x2-ln 2(x2>1).9分设(x)=x2-14x2-2ln x-ln 2(x>1),则'(x)=(2x2-1)22x3>0,(x)在(1,+)上是增函数,(x2)>(1)=34-ln 2,即h(x1)-h(x2)>34-ln 2,m34-ln 2,m的最大值为34-ln 2.12分22.(1)证明:ABD=CBD,ABD=ECD,CBD=ECD,又CDB=EDC,BCDCED,DEDC=DCDB,CD2=DE·DB.5分(2)连接OD,OC,设OD交AC于点F,D是AC的中点,ODAC,OF=1,在RtCOF,OC2=CF2+OF2,即CF2=r2-1.在RtCFD,DC2=CF2+DF2,(23)2=r2-1+(r-1)2,解得r=3.10分23.解:(1)依题意,消去x=3+3cos,y=3sin中的参数得(x-3)2+y2=9,以原点为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,其极坐标方程为=6cos .5分(2)依题意,设直线l倾斜角为,因为cos =45,所以sin =35,因此直线l的参数方程为x=-1+45ty=-3+35t(t为参数),化为普通方程为l:3x-4y-9=0,圆心到直线的距离d=|9-9|32+(-4)2=0<r,所以直线与圆相交,且直线l过圆心(3,0),所以弦长为6.10分24.解:(1)f(x)=|x+1|+|2x-2|=-3x+1(x<-1),-x+3(-1x1),3x-1(x>1).当x>1时,由3x-1>5,解得x>2;当-1x1时,由-x+3>5,解得x<-2(舍去);当x<-1时,由-3x+1>5,解得x<-43.所以原不等式解集为x|x<-43或x>2.5分(2)由(1)中分段函数f(x)的解析式可知:f(x)在区间(-,1)上单调递减,在区间(1,+)上单调递增.并且f(x)min=f(1)=2,所以函数f(x)的值域为2,+).从而f(x)-5的取值范围是-3,+),进而1f(x)-5(f(x)-50)的取值范围是(-,-13(0,+).根据已知关于x的方程1f(x)-5=t的解集为空集,所以实数t的取值范围是(-13,0.10分