第一章 概率论与数理统计.doc
概 率 论第一章 随机事件与概率例1 设为随机事件，已知，求1) 2) 3) 4) 5) 例2 6个不同的球，投入编号为1到7的7个空盒中，求下列事件的概率：1) 1号到6号盒中各有一个球 2) 恰有6个盒中各有1个球 3) 1号盒内有2个球例3 袋中有两个5分的，三个贰分的，五个1分的钱币。任取其中5个，求钱额总数超过壹角的概率。例4 验收一批共有60件的可靠配件，按验收规则，随机抽验3件，只要3件中有一件不合格就拒收整批产品，假设，检验时，不合格品被误判为合格品的概率为0.03 ，而合格品被判为不合格品的概率为0.01，如果在60件产品中有3件不合格品，问这批产品被接收的概率是多少？例5 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有2件残品，且含0，1和2件残品的箱各占80%，15%和5%。现随意抽取一箱，从中随意检验4只，若未发现残品则通过验收，否则逐一检验并更换。试求：1）一次通过验收的概率 2）通过验收的箱中确无残品的概率。例6 一个医生已知某疾病的自然痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定10人中至少有4人治好，则认为这种药有效，反之，则无效，求：1）虽然新药有效，且把痊愈的概率提高到35%，但经过验收被否定的概率；2）新药完全无效，但经过试验被认为有效的概率。例7 设是两个事件，且，证明：例8 已知，求全不发生的概率。例9 在长度为的线段内任取两点，将其分成三段，求它们能构成三角形的概率。例10 设有三门炮同时对某目标射击，命中的概率分别为0.2，0.3，0.5，目标命中一发被击毁的概率是0.2，命中两发被击毁的概率为0.6，命中三发被击毁的概率为0.9，求三门炮在一次射击中击毁目标的概率。例11 假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品而不能出厂。现该厂生产了台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：1） 全部能出厂的概率； 2）其中恰好有两件不能出厂的概率； 3）其中至少有两件不能出厂的概率。例12 某型号的高炮，每门炮发射一发击中飞机的概率是0.6。现若干门炮各发射一发，问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机至少需配置几门炮？ 习 题一 填空题 1 设为随机事件， 则 2 设事件相互独立，已知 则3 设是两个任意不相容的事件，则4 设是两个随机事件，已知，则5 设，则 P(恰好发生一个)=_ P(至多出现一个)= _ 6 一射手对同一目标射击4次，假设每次是否命中目标是相互独立的，已知至少命中一次的一射手对同一目标射击4次，假设每次是否命中目标是相互独立的，已知至少命中一次的概率是，则该射手的命中概率是_7 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是_8 通信渠道传递15个信号，假设每个信号在传递过程中失真的概率为，若分别表示：无一信号失真；：恰有一信号失真；：两个以上信号失真，则 9 两封信随机地投入已标号为1，2，3，4，5的五个信筒内，则第3号信筒刚好只投入一封信的概率为_10 有个袋子，每个袋内均有张卡片，分别编有号码1，2，。现在从每个袋中各取1张卡片，则取到卡片上的最大编号不超过，且不小于的概率为_ 11 在一张打上方格的纸上投一枚直径为1的硬币，方格边长为_时，才能使硬币不与线相交的概率不小于1%12 甲、乙两射手对同一目标进行射击，甲射手的命中率为，乙射手的命中率为，。规定甲先开始每人一次轮流进行，直到目标被击中为止，要使甲先命中，则， 应满足关系_二 选择题1 设为任意两个事件，且，则下列成立的是（ ） A） B） C） D）2 设满足，则（ ）A）是必然条件 B） C） D）3 对事件，下列命题正确的是（ ） A) 事件互不相容，则事件也互不相容。 B) 如果相容，则也相容。 C) 如果互不相容，且则相互独立。 D)若相互独立，则也独立。4 设是两两独立且不能同时发生的随机事件，且则的最大值为（ ） A) B ) 1 C) D) 5 已知为任意三个随机事件，则等于（ ） A) B) C) D) 6 10张奖券中有3张中奖的奖券，每人购买一张，则前三个购买者中恰有一个中奖的概率为（ ） A) B) C) D) 三、解答题1 袋中有8蓝2白共10个球，从中无放回地任取2次 ，每次任取一球。求下列事件的概率1） 两次都是蓝球 2）两次中恰有一次取得蓝球 3）至少一次取得白球 4）第2次取到白球2 现有编号为1，2，3的3个盒子，1号盒中有1红一黑2个球，2号盒中有4白4蓝共8个球，3号盒中有6白2蓝共8个球；先从1号盒中任取一球，如取得红球，则再从2号盒中任取一球；如取得黑球，则再从3号盒中任取一球，求：1）取得白球的概率 2）从3号盒中取得白球的概率。3）若取得的是白球，求它是从3号盒中取出的概率。3 一个自动报警装置由雷达和计算机两部分构成，两部分有任何一个失灵，这个报警装置就失灵，若使用100个小时后，雷达部分失灵的概率为，计算机部分失灵的概率为。若两部分失灵与否相互独立，求这个报警装置使用100个小时而不失灵的概率。4 从n双不同的鞋子中任取只，求下列事件的概率 1）没有成对的鞋子 2）只有一对鞋子 3) 恰有两对鞋子 4）有r对鞋子5 有朋友从远方来，他乘火车，轮船，汽车，飞机的概率依次为,，如乘火车，轮船，汽车来的话，迟到的概率分别为，而乘飞机则不迟到，求 1）他迟到的概率 2）已知他迟到了，他是乘火车来的概率有多大？6 设每一个飞机引擎在飞行中出故障的概率为1，且各引擎是否出故障是相互独立的，如果至少有50%的引擎能正常运行，飞机就能成功地飞行，问对多大的而言，4引擎比2引擎更为可取？7 某商场有灯管若干箱，每箱内20只灯管，其中有0，1，2只残次品的概率分别为,。一顾客从其所购的一箱中任取4只察看，有残次品则退货，否则买下，求下列事件的概率： 1）买下； 2）在该顾客买下的这一箱中，恰有1只残次品； 3）在该顾客退货的这箱中，恰有2只残次品。8 两人约定上午9点到10点在公园会面，试求一人要等另一人以上的概率。9 若已知时，某分子与另一分子碰撞，又知任何和，若不管该分子在时刻以前是否遭受碰撞，在中遭受碰撞的概率等于，试求该分子在时刻还没有再受碰撞的概率。10 若每蚕产n个卵的概率为，而每个卵变为成虫的概率为，且各卵是否变成成虫彼此间没有关系。 1）求每蚕养出只小蚕的概率 2）若某蚕养出了只小蚕，求它产了n个卵的概率。四、证明题1 证明下列等式1)； 2）；2 若互相独立，证明也相互独立。3 假设,互相独立，证明：与,都相互独立。4 证明下列等式1）2）答 案一、二、1 B 2 D 3 D 4 A 5 D 6D 三、1（ 21) 4 1) 6 9 10
