求函数值域的方法归类.docx

求函数值域的方法归类在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。1. 观察法 对于一些简单的函数，可在定义域及函数对应关系基础上确定函数的值域，这叫观察法。 由于函数值域是对应于函数定义域的函数值集合，因此首先要考察函数结构。在此基础上，从定义域出发，逐步推断出函数的值域。 例1：求函数y=（x-3）的值域。 解：函数定义域为-1x1，又0，x-30，y0，即函数值域y（-，0。 2.反函数法 如果函数在定义域内存在反函数，而求函数值域又不易求解时，可在通过求反函数的定义域的过程中而使问题获解，叫反函数求函数值域的方法。 即由y=f（x），反解出求函数x=f（x），原函数值域包含在f（y）的定义域中。然后分析二者的关系以确定函数值域。此法的成功取决于反解成立，分析正确，并注意在反解过程中保持同解性。 例2：求函数y=+，x（0，1的值域。 错解一：y=+2，函数值域y2，+）。 剖析：当x=（0，+时，结论x=2，+）才是正确的。但当x（0，1），这个结论就不可靠了。 错解二：y=+?圳x-2yx+4=0， xR，4y-160，解得y-2或y2。 函数值域为（-，-22，+）。 剖析：以上求出的结果，只能是x（-，0）（0，+）时函数的值域，解法二同样忽略了0x1了这一限制条件，而x（0，1的值域用“判别式法”是无法解决的。 正解：（反函数法）y=+?圳x-2yx+4=0， x（0，1，y2，y+2（1），方程（1）的根只能是x=y-，由0y-1，解得y，函数值域为，+）。 3.转化法 利用已知值域的函数或所给函数的定义域，作为“媒介”，将待求值域的函数式变形。通过适当的运算，求得所给函数的值域。将所求函数值域问题转化为熟知的基本初等函数的值域问题，常能化难为易。 例3：求函数y=的值域。 解：由函数表达式得：2sinx+ycosx=3-y?圳sin（x+）=3-y，其中由sin和cos=确定。 |sin（x+）|1，（）（3-y）?圳y，即原函数值域y，+）。 4.不等式法 运用不等式的性质，特别是含等量的不等式，分析等号成立的条件，以确定函数值域，叫不等式求函数值域的方法。 例4：已知（0，），求函数y=sin+的值域。 错解：（0，），sin0，0，sin+2=2，函数值域为2，+）。 剖析：由于忽略了“当且仅当sin+时上式才能取等号”，但因|sin|1故sin，因此上式不能取等号，至少应有y2。 正解：（0，），sin0，0，sin+=sin+33。 当且仅当sin=，即sin=1时，上式能全取等号。 小结：用“不等式法”求函数值域，主要是利用“几个正数的算术平均值不小于其几何平均值”，但须注意取等号时条件是否能得到满足。 5.最值法 由于初等函数在其定义域内是连续的，所以我们可以通过求函数在定义区间内的最大值，最小值的办法，并求函数的值域。 例5：求函数y=的值域。 解：由函数定义域知，cosx-1，-）（-，1。 （1）当cosx-1，-）时，y=x+=1-（-1），（）=-1，注意到cosx?邛（-），y?邛-y-1。 （2）当cosx（-，1时，（1+2cosx）=-1，（）=，注意到cosx?邛（-），y?邛+，y+。 故函数值域为（-，-1，+）. 一般二次函数的值域常用此法求解。有些高次整函数也可用此法。 6.判别式 根据一元二次方程ax+by+c=0有实根时，=b-4ac0。的性质，求函数值域的方法叫做判别式法。 例6：求函数y=2x-7x+3的值域。 解：2x-7x+3-y=0，且xR，=b-4ac=49-8（3-y）0，y，该函数值域为，+）. 此法可用于行如：y=（A，P不同时为零，分子分母无公因式）的函数的值域。但必须强调：（1）是既约公式；（2）验证端点值是否能取到；（3）整理成行如一元二次方程的形式后，若平方项系数含字母要讨论；（4）若定义域人为受限，则判别式法失效。 7.换元法 通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数求函数值域的方法叫换元法。 例7：已知函数f（x）的值域是，求y=f（x）+的值域。 解：f（x），f（x），故。令t=，则t，。有f（x）=（1-t），y=g（t）=（1-t）+t=-（t-1）+1，由于g（t）在t，时单调递增 当t=，y=，当t=，y=， y=f（x）+的值域是，. 8.图像法（数行结合法） 通过分析函数式的结构、定义域、单调性、奇偶性、极值等。确定若干有代表性的点，勾画出函数的大致图形，从而确定函数的值域。 例8：求函数y=|x-1|+x的值域。 解：原函数可以表达成：当x-1或x1，y=|x-1|+x=（x+2）-；当-1x1，y=|x-1|+x=-（x+）+。 作出函数图像（见图1） 由图像知函数值域为-1，+）。 9.单调性法 利用函数单调性，先求出函数的单调区间，再求每个区间上函数的值域，最后取其并集即得函数值域。 例9：求y=x-的值域。 解：y=x和y=-均为单调增函数， y=y+y=x-为增函数，由定义域x知y=，故y. 10.配方法 如果给定一个复合函数，y=fg（x），若g（x）或f（x）可以视为一元二次多项式，则要用配方法求其函数值域。 例10：求y=x+的值域。 解：y=x+=1-（-1），在定义域x内，显然有（-1）0，y1，函数值域为（-，1。 十一利用多项式的除法例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。解：y=(3x+2)/(x+1)=31/(x+1)。1/(x+1)0，故y3。函数y的值域为y3的一切实数。点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x1)的值域。（答案：y2）本文仅从求函数值域的十种常用方法谈起，在不同的文献中可能会有与本文有出入的其它不同的方法，但解法大致相同，如构造法、极限法、解析法、复数换元法、三角代换法、恒等变换法、有理化法等。当然，本论文求函数值域的方法不是一成不变的，应在多次解题过程中综合并灵活应用这几种方法。   2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。  例3. 求函数的值域。解：将函数配方得：由二次函数的性质可知：当x=1时，当时，故函数的值域是：4，8   3. 判别式法  例4. 求函数的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程（1）当时，解得：（2）当y=1时，而故函数的值域为   例5. 求函数的值域。解：两边平方整理得：（1）解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。   4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。  例6. 求函数值域。解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：   5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。  例7. 求函数的值域。解：由原函数式可得：解得：故所求函数的值域为   例8. 求函数的值域。解：由原函数式可得：，可化为：即即解得：故函数的值域为   6. 函数单调性法  例9. 求函数的值域。解：令则在2，10上都是增函数所以在2，10上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：   例10. 求函数的值域。解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然，故原函数的值域为   7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。   例11. 求函数的值域。解：令，则又，由二次函数的性质可知当时，当时，故函数的值域为   例12. 求函数的值域。解：因即故可令故所求函数的值域为   例13. 求函数的值域。解：原函数可变形为：可令，则有当时，当时，而此时有意义。故所求函数的值域为   例14. 求函数，的值域。解：令，则由且可得：当时，当时，故所求函数的值域为。   例15. 求函数的值域。解：由，可得故可令当时，当时，故所求函数的值域为：   8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。  例16. 求函数的值域。解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为：   例17. 求函数的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，故所求函数的值域为   例18. 求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），在x轴的同侧。   9. 不等式法利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。  例19. 求函数的值域。解：原函数变形为：当且仅当即当时，等号成立故原函数的值域为：   例20. 求函数的值域。解：当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为：   10. 一一映射法原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。  例21. 求函数的值域。解：定义域为由得故或解得故函数的值域为   11. 多种方法综合运用  例22. 求函数的值域。解：令，则（1）当时，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法   例23. 求函数的值域。解：令，则当时，当时，此时都存在，故函数的值域为注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。