第二章 迭代法的一般原理.doc
第二章 迭代法的一般原理非线性方程组无论从理论上还是计算方法上,都比线性方程组复杂得多。一般的非线性方程组很难求出解析解,往往只能求出其数值解,且往往只能借助于迭代法。本章我们将讨论迭代法的一般原理、迭代法的一般构造及迭代收敛速度的衡量标准。2-1 迭代法与不动点定理设,考虑方程(2-1)若存在,使,则称为方程(2-1) 的解。用迭代法求解(2-1) ,先将(2-1)化为等价的方程(2-2)这里映象。方程(2-2)的解(即)称为映象g的不动点。因此用迭代法解方程(2-1),就是求(2-2)中映象g的不动点。这样以及g是否存在不动点自然就是我们关心的问题。定理2-1 若为有界闭集上的严格非膨胀映象,则g在内有唯一不动点。证 唯一性 设g在内至少有两个不动点,则因,所以由上式推得。唯一性得证。记,由g及泛数的连续性可知连续。因为有界闭集,故j在上有最小值。设为最小点,即则为g的不动点。因为若不然,则有,再由g严格非膨胀,可得这与为j的最小点相矛盾,故为g的不动点。注 定理中的有界闭性、g的压缩性和g映入自身,此3个条件缺一不可。例如,在上严格非膨胀,但它在中却没有不动点。下面我们介绍在应用上非常广泛的不动点定理。定理2-2 (Brouwer不动点定理) 设在有解闭凸集上连续,且,则g在至少有一个不动点。本定理在一维情形下叙述为: 则f在中至少有一个不动点。几何解释见图2-1。xybaab图2-1 一维Brouwer定理2-2 迭代格式的构造前一节我们谈到,用迭代法求解方程(2-1),是先将这个方程化为等价的方程(2-2),然后求映象g的不动点,通常(也是最简单的情形)构造如下迭代序列:,(2-3)我们希望这个迭代序列收敛到g的不动点,亦即方程的解。如果g是压缩的,可望迭代序列收敛。图2-2展示了一维迭代收敛的一种情形。xx0x2x1yy = g(x)图2-2 迭代序列收敛对于(2-3)形式的迭代形式,g可以有各种表示方式。g可能只依赖于f和。如果g不依赖于迭代步k只依赖于,则称迭代(2-3)为单步定常迭代。如果迭代还依赖于迭代步k,则迭代形式可表示为,(2-4)并称之为单步非定常迭代。有时得到新的近似除依赖外,还依赖前几次的得到信息,这时的迭代为多步迭代。例如,如获得依赖于则迭代可写为(2-5)称这种迭代为m步迭代。类似地有m步非定常迭代。通常称g或为迭代函数。用不同的方法构造的迭代函数可得到不同的得到法。设,如果一个迭代法得到的序列则称得到序列是适定的,适定性是迭代法的起码要求。若是方程(2-1)的解,且序列满足则称迭代序列收敛于。定义2-1 设,是方程的一个解。若存在的一个邻域,使对任何初始值(对于m步迭代法,初值为 ),迭代序列总是适定的且收敛于,则称是迭代序列的吸引点。不少迭代法都是设法使迭代函数g是压缩的,这时迭代序列的吸引点恰是g的不动点。有时候也可使g具有某种单调性,构成单调单调法。2-3 迭代法的收敛性与收敛阶前面谈到,一个迭代法,当其产生的迭代序列在适定和收敛时才有意义。单步迭代格式(2-3)在实际中被采用得最多,这里,我们不加证明地给出三个与(2-3)格式有关的收敛性定理。定理2-4 设是方程的解,。若存在一个开球S = 和常数,使得对一切,有(2-7)则对任意,是迭代序列(2-3)的一个吸引点。定理2-5 (Ostrowski) 设映象有一不动点,且在处F-可导,的谱半径(即特征值的最大模)(2-9)则存在开球,对任意初值,是迭代序列的一个吸引点。定理2-4与2-5都是指出迭代在解的小球中即解的充分小的邻域中收敛,这种收敛称为局部收敛,也就是说在已知方程(2-1)的解存在的情况下讨论的。如果在不知道方程(2-1)的解是否存在的情况下,只根据迭代初始近似满足的条件就能证明迭代序列收敛到方程的解,就称这种迭代法具有半局部收敛性。局部收敛性与半局部收敛性都要求初始近似充分接近解,这给实际计算带来很大的不便。如果一个迭代法对求解域D中任一点作为近似,迭代序列都能收敛到所求方程的解,这种收敛称为大范围收敛,这种收敛对实际计算很有意义。对于定理2-5中的g若是仿射的,即,则条件(2-9) 变为,它是用迭代法解线性方程组的收敛的充分必要条件,而对非线性方程组而言,条件(2-9) 仅为迭代(2-3)局部收敛的充分条件,这是线性和非线性的不同之处。下面我们给出一个非常实用的判断迭代全局收敛的定理。定理2-6设这里,()为常数,映象具有一阶连续偏导数,。若存在常数满足(2-10)这里为的第i个分量函数,则迭代序列(2-3)对于任意初始近似收敛于g的不动点,并且有估计对于一个迭代法,除了考虑其收敛性,研究其收敛速度对实际计算也是十分重要的。为了衡量收敛速度,我们这里引入收敛阶的概念。定义2-2 设迭代序列收敛到,如果存在及常数,使得当时有(2-13)则称序列至少p阶收敛。当时(这时必须有),称序列至少线性收敛。特别地,当,称序列至少平方收敛。如果“一收敛序列至少是p阶收敛的” 这一结论对都成立,而对都不成立,则称这个序列的收敛阶是。