高斯散度定理中期报告.docx

科研中期报告课题名称：高斯散度定理及其应用小组成员：南京理工大学数学与应用数学系组长申炜5组员姬杰8指导老师：刘芳散度一、 定义散度（divergence）可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源（发散源）；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当div F=0，表示该点无源。对于一个矢量场而言，散度有两种不同的定义方式。第一种定义方式和坐标系无关：div F=limV01VVFdS第二种定义方式则是在直角坐标系下进行的：div F=F=Fxx+Fyy+Fzz可以证明，在极限存在的情况下，两种定义是等价的。因此也常直接用代表 的散度。由散度的定义可知，表示在某点处的单位体积内散发出来的矢量 的通量，所以描述了通量源的密度。举例来说，假设将太空中各个点的热辐射强度向量看做一个向量场，那么某个热辐射源（比如太阳）周边的热辐射强度向量都指向外，说明太阳是不断产生新的热辐射的源头，其散度大于零。从定义中还可以看出，散度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是一个封闭区域表面的通量。二、 运算法则aF+bG=aF+bG (a,b为常数) (线性运算)F=F+F ( 为标量场)F×G=×FG-(×G)F×F=0(旋度场无源)高斯散度定理一、定义既然向量场某一处的散度是向量场在该处附近通量的体密度，那么对某一个体积内的散度进行积分，就应该得到这个体积内的总通量。可以证明这个推论是正确的，称为高斯(Gauss)散度定理，或高斯公式。其用数学语言表示为：VFdV=SFdS高斯公式说明，如果在体积内的向量场拥有散度，那么散度的体积分等于向量场在的表面的面积分。下面给出不同表示方式下的高斯散度定理设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数，则有(Px+Qy+Rz)dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy或(Px+Qy+Rz)dv=(Pcos+Qcos+Rcos)dS这里是的整个边界曲面的外侧，cos 、cos 、cos 是在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦用散度表示高斯公式用散度表示为：divAdv=AndS其中是空间闭区域的边界曲面，而An=An= Pcos+Qcos+Rcosn是向量A在曲面的外侧法向量上的投影。用向量表示令V代表有一间单闭曲面S为边界的体积，是定义在V中和S上连续可微的矢量场。如果dS是外法向矢量面元，则SfdS=VfdV 根据散度的运算法则有如下推论· 对于标量函数g和向量场F的积，应用高斯公式可得：VFg+gFdV=VgFdS· 对于两个向量场的向量积，应用高斯公式可得：VG×F-F×GdV=V(F×G)dS· 对于标量函数f和非零常向量的积，应用高斯公式可得：VfdV=VfdS· 对于向量场F和非零常向量的向量积，应用高斯公式可得：V×FdV=VdS×F二、例子假设我们想要计算SFndS,其中S是由x2+y2+z2=1所定义的单位球，F是向量场F=2xi+y2j+z2k直接计算这个积分是相当困难的，但我们可以用高斯公式来把它简化：SFndS=WFdV =2W(1+y+z)dV =2WdV+2WydV+WzdV由于函数和是奇函数，我们有：WydV=WzdV=0因此：SFndS=2WdV=83三、应用电磁学、电动力学中静电场的散度不为零、旋度为零，是有源无旋场。静磁场的散度为零、旋度不为零，是有旋无源场。气象学中散度可以表示流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。散度值为负时为辐合，此时有利于气旋等对流天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于反气旋等天气系统的发展。往往，气象学中应用最多的是风速的“水平散度”。水平散度的表达式是：其中u是x轴方向的风速大小，v是y轴方向的风速大小。一般来说，x轴表示纬圈切线方向(自西向东为正)，y轴表示经圈切线方向(自南向北为正)。流体力学散度等于零的矢量场称为无源场或管形场。流体力学中，散度为零的流体称为不可压缩流体，也就是说此流体中不会有一部分凭空消失或突然产生，每个微小时间间隔中流入一个微小体元的流体总量都等于在此时间间隔内流出此体元的流体总量。3 对于可压缩的流体，有下述方程成立：