数学解题方法与技巧数学思想方法总结.doc

数学解题方法技巧一、换元法 “换元”的思想和方法，在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题，有助于数量关系明朗化，变繁为简，化难为易，给出简便、巧妙的解答。 在解题过程中，把题中某一式子如f(x)，作为新的变量y或者把题中某一变量如x，用新变量t的式子如g(t)替换，即通过令f(x)=y或x=g(t)进行变量代换，得到结构简单便于求解的新解题方法，通常称为换元法或变量代换法。 用换元法解题，关键在于根据问题的结构特征，选择能以简驭繁，化难为易的代换f(x)=y或x=g(t)。就换元的具体形式而论，是多种多样的，常用的有有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换，三角式代换，反三角式代换，复变量代换等，宜在解题实践中不断总结经验，掌握有关的技巧。 例如，用于求解代数问题的三角代换，在具体设计时，宜遵循以下原则：（1）全面考虑三角函数的定义域、值域和有关的公式、性质；（2）力求减少变量的个数，使问题结构简单化；（3）便于借助已知三角公式，建立变量间的内在联系。只有全面考虑以上原则，才能谋取恰当的三角代换。 换元法是一种重要的数学方法，在多项式的因式分解，代数式的化简计算，恒等式、条件等式或不等式的证明，方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解，函数表达式、定义域、值域或最值的推求，以及解析几何中的坐标替换，普通方程与参数方程、极坐标方程的互化等问题中，都有着广泛的应用。例1 分解因式：(x2-x-3)(x2-x-5)-3例2 在实数集上解方程：例3 设sinx+siny=1，求cosx+cosy的取值范围.例4 设x,yR，且，求函数f(x,y)=x2+2xy+y2+x+2y的最小值和最大值。二、消元法 对于含有多个变数的问题，有时可以利用题设条件和某些已知恒等式（代数恒等式或三角恒等式），通过适当的变形，消去一部分变数，使问题得以解决，这种解题方法，通常称为消元法，又称消去法。 消元法是解方程组的基本方法，在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中，也有着重要的应用。 用消元法解题，具有较强的技巧性，常常需要根据题目的特点，灵活选择合适的消元方法。例1 解方程组： x+1=y x-y-z=6 例2 解方程组： y-z-x=0 z-x-y= -12例3、设a,b,c均为不等于1的正数，若 ax=by=cz 求证： abc=1三、待定系数法 按照一定规律，先写出问题的解的形式（一般是指一个算式、表达式或方程），其中含有若干尚待确定的未知系数的值，从而得到问题的解。这种解题方法，通常称为待定系数法；其中尚待确定的未知系数，称为待定系数。 确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。一、 比较系数法 比较系数法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数的若干关系式（通常是多元方程组），由此求得待定系数的值。 比较系数法的理论根据，是多项式的恒等定理：两个多项式恒等的充分必要条件是对应项系数相等，即a0xn+a1xn-1+ +anb0xn+b1xn-1+ +bn 的充分必要条件是 a0=b0, a1=b1, an=bn 。 二、 特殊值法 特殊值法，是指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数的若干关系式，由此求得待定系数的值。 特殊值法的理论根据，是表达式恒等的定义：两个表达式恒等，是指用字母容许值集内的任意值代替表达式中的字母，恒等式左右两边的值总是相等的。 待定系数法是一种常用的数学方法，主要用于处理涉及多项式恒等变形问题，如分解因式、证明恒等式、解方程、将分式表示为部分分式、确定函数的解析式和圆锥曲线的方程等。例1 设二次函数的图象通过点A（-1，0），B（7，0），C（3，-8），求此二次函数的解析式。例2 以x-1的幂表示多项式 x3-x2+2x+2。例3 分解因式：6x2+xy-2y2+x+10y-12.四、判别式法 实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0) 的判别式=b2-4ac具有以下性质： 0，当且仅当方程有两个不相等的实数根 0，当且仅当方程有两个相等的实数根； 0，当且仅当方程没有实数根。对于二次函数 y=ax2+bx+c (a0)它的判别式=b2-4ac具有以下性质： 0，当且仅当抛物线与x轴有两个公共点； 0，当且仅当抛物线与x轴有一个公共点； 0，当且仅当抛物线与x轴没有公共点。 利用判别式是中学数学的一种重要方法，在探求某些实变数之间的关系，研究方程的根和函数的性质，证明不等式，以及研究圆锥曲线与直线的关系等方面，都有着广泛的应用。 在具体运用判别式时，中的系数都可以是含有参数的代数式。例1 已知关于x的二次方程x2+px+q=0有两正根求证：对于一切实数r0，方程qx2+(p-2rq)x+1-p=0也必有两正根。例2、 x,y,zR, aR+，且 x+y+z=a, x2+y2+z2=a2 试确定x,y,z的取值范围。例3、 已知a,x为实数，|a|<2,求函数 y=f(x)=的最大值与最小值。从总体上说，解答数学题，即需要富有普适性的策略作宏观指导，也需要各种具体的方法和技巧进行微观处理，只有把策略、方法、技巧和谐地结合起来，创造性地加以运用，才能成功地解决面临的问题，获取良好的效果。五、 分析法与综合法 分析法和综合法源于分析和综合，是思维方向相反的两种思考方法，在解题过程中具有十分重要的作用。在数学中，又把分析看作从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法，而综合被看成是从原因推导到由原因产生的结果的另一种思维方法。通常把前者称为分析法，后者称为综合法。具体的说，分析法是从题目的等证结论或需求问题出发，一步一步的探索下去，最后达到题设的已知条件；综合法则是从题目的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证的结论或需求问题。例1：设a,bR+，且ab，求证：a3+b3a2b+ab2例2：已知A1,A2,An为凸多边形A1A2An的内角，且lgsinA1+lgsinA2+lgsinAn=0 ， 试确定凸多边形的形状。例3：设，(0,)，x的一元二次方程f(x)=x2+4ax+3a+1=0的两个根为tg,tg，求a的取值范围。六、 数学模型法例（哥尼斯堡七桥问题）18世纪东普鲁士哥尼斯堡有条普莱格河，这条河有两个支流，在城中心汇合后流入波罗的海。市内办有七座各具特色的大桥，连接岛区和两岸。每到傍晚或节假日，许多居民来这里散步，观赏美丽的风光。年长日久，有人提出这样的问题：能否从某地出发，经过每一座桥一次且仅一次，然后返回出发地？数学模型法，是指把所考察的实际问题，进行数学抽象，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使实际问题得以解决的一种数学方法。 利用数学模型法解答实际问题（包括数学应用题），一般要做好三方面的工作：（1） 建模。根据实际问题的特点，建立恰当的数学模型。从总体上说，建模的基本手段，是数学抽象方法。建模的具体过程，大体包括以下几个步骤： 1o考察实际问题的基本情形。分析问题所及的量的关系，弄清哪些是常量，哪些是变量，哪些是已知量，哪些是未知量；了解其对象与关系结构的本质属性，确定问题所及的具体系统。 2o分析系统的矛盾关系。从实际问题的特定关系和具体要求出发，根据有关学科理论，抓住主要矛盾，考察主要因素和量的关系。 3o进行数学抽象。对事物对象及诸对象间的关系进行抽象，并用有关的数学概念、符号和表达式去刻画事物对象及其关系。如果现有的数学工具不够用，可以根据实际情况，建立新的数学概念和数学方法去表现数学模型。（2）推理、演算。在所得到的数学模型上，进行逻辑推理或数学演算，求出相应的数学结果。（3） 评价、解释。对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价和解释，返回到原来的实际问题中去，形成最终的解答。例1：把一根直径为的圆木，加工成横截面为矩形的柱子，问何锯法可使废弃的木料最少？例2：有一隧道处于交通拥挤、事故易发地段，为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距d正比于车速v（千米/时）的平方与车身长（米）的积，且车距不得小于半个车身长。假定车身长为l（米），当车速为60（千米/时）时，车距为1.44个车身长，在交通繁忙时，应规定臬的车速成，可使隧道的车流量最大？例3、（1998年保送生综合试题）渔场中鱼群的最大养殖为m吨。为保证鱼群生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量。已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲的乘积成正比，比例系数为K（K>0）（1） 写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域。（2） 求鱼群年增长量的最大值。例4：某公司有资金100万元，董事会决定全部投资到甲、乙两工厂，投资甲厂可获得的利润为投资额的20%；投资乙厂可获得的利润由公式M=(M为利润额，x为投资额，单位均为万元)确定，问公司如何分配100万元资金投资这两个工厂，使获得利润最大？最大利润是多少？作业：1、 设x的二次方程x2-2x+lg(2a2-a)=0有一正根和一负根，求a的范围。2、（1994年高考题）在测量某物理的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1,a2, an共n 个数据。我们规定所测物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a1 ,a2 , an，推出的a的值。3、 塑料厂销售科计划出售一种塑料鞋，经营人员不是仅仅根据估计的生产成本来确定塑料鞋的销售价格，而是通过对经营塑料鞋的零售商进行调查，看看在不同的价格下会进多少货。通过一番调查，确定的需求关系是p=-750x+15000（p为零售商进货的总数量，x为每双鞋的出厂价）， 并求得工厂生产塑料鞋固定成本是7000元，估计生产每双塑料鞋的材料和劳动生产费用为4元，为了获得最大利润，工厂应把每双鞋的出厂价定为多少元？4、建筑一个容积为2400米，深为6米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a元，池底每平方米粉的造价为2a元，则如何建造才能使总造价为最小。4、 某一信托公司，考虑投资1600万元建造一座涉外宾馆。经预测，该宾馆建成后，每年年底可获利600万元，假设银行每年复利计息，利率为10%。若需要在三年内收回全部投资，每年至少应该收益多少万元（结果保留一位小数）？七、试验法 解答数学题，需要多方面的信息。数学中的各种试验，常常能给人以有益的信息，为分析问题和解决问题提供必要的依据。 用试验法处理数学问题时，必须从问题的实际情形出发，结合有关的数学知识，恰当选择试验的对象和范围；在制定试验方案时，要全面考虑试验的各种可能情形，不能有所遗漏；在实施试验方案时，要讲究试验技巧，充分利用各次试验所提供的信息，以缩小试验范围，减少试验次数，尽快找出原题的解答。 任何试验都和观察相联系。观察依赖于试验，试验离不开观察。因此，要用好试验法，必须勤于观察，善于观察，有目的、有计划、有条理地进行观察。 例1：在正整数集N+上解方程：xy+3x-5y=3 例2、已知方程x2+(m+1)x+2m-1=0的两个根都是整数，求m的整数值。例3、求所有的实数k，使得方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数。八、分类法 分类法是数学中的一种基本方法，对于提高解题能力，发展思维的缜密性，具有十分重要的意义。 不少数学问题，在解题过程中，常常需要借助逻辑中的分类规则，把题设条件所确定的集合，分成若干个便于讨论的非空真子集，然后在各个非空真子集内进行求解，直到获得完满的结果。这种把逻辑分类思想移植到数学中来，用以指导解题的方法，通常称为分类或分域法。 用分类法解题，大体包含以下几个步骤： 第一步：根据题设条件，明确分类的对象，确定需要分类的集合A； 第二步：寻求恰当的分类根据，按照分类的规则，把集合A分为若干个便于求解的非空真子集A1，A2，An; 第三步：在子集A1，A2，An内逐类讨论； 第四步：综合子集内的解答，归纳结论。以上四个步骤是相互联系的，寻求分类的根据，是其中的一项关键性的工作。从总体上说，分类的主要依据有：分类叙述的定义、定理、公式、法则，具有分类讨论位置关系的几何图形，题目中含有某些特殊的或隐含的分类讨论条件等。在实际解题时，仅凭这些还不够，还需要有较强的分类意识，需要思维的灵活性和缜密性，特别要善于发掘题中隐含的分类条件。 例1：求方程的实数解，其中a为实参数。例2：ABC中，ADBC于点D，M是BC的中点，且B=2C。求证：DM=AB例3：解方程：2|x+2|-|2x+1-1|=2x+1+1九、数形结合法 数形结合，是研究数学的一个基本观点，对于沟通代数、三角与几何的内在联系，具有重要的指导意义。理解并掌握数形结合法，有助于增强人们的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。 数和形这两个基本概念，是数学的两块基石。数学就是围绕这两个概念发展起来的。在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化。 数形结合的基本思想，是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。 中学数学中，数形结合法包含两个方面的内容：一是运用代数、三角知识，通过对数量关系的讨论，去处理几何图形问题；二是运用几何知识，通过对图形性质的研究，去解决数量关系的问题。就具体方法而论，前者常用的方法有解析法、三角法、复数法、向量法等；后者常用的方法主要是图解法。例：方程sinx=解的个数为 A、1 B、2 C、3 D、4 例：已知实数x,y满足3x+4y-1=0，求的最小值。例：设xR，求的最小值。例：对每个实数x，记-x,x2,x+2三者中的最大者为F(x)，求F(x)及F(x)的最小值。例：如果方程|x2-4x+3|=px有四个不同的实数根，求p的取值范围十、反证法与同一法 反证法和同一法是间接证明的两种方法，在解题中有着广泛的应用。（一）反证法是一种重要的证明方法。这里主要研究反证法的逻辑原理、解题步骤和适用范围。 反证法的解题步骤： 第一步：反设。假设命题结论不成立，即假设原结论的反面为真。 第二步：归谬。由反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果。这里所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、定义、定理、公式矛盾，与已知条件矛盾，与临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形。 第三步：存真。由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。反证法的三个步骤是互相联系的。反设是前提，归谬是关键，存真是目的。只有正确地作出反设，合乎逻辑地进行推导，才能间接地证出原题。例1：已知A1，A2，An是凸n边形的n(n>3)个内角。求证：这n个内角中至多有3个内角是锐角。例2：设平面平面，直线l平面=A。求证：直线l与平面相交。例3：求证：方程 x=qsinx+a (0<q<1,aR) 的解是唯一的。十一、同一法 互逆的两个命题未必等效。但是，当一个命题条件和结论都唯一存在，它们所指的概念是同一概念时，这个命题和它的逆命题等效。这个道理通常称为同一原理。 对于符合同一原理的命题，当直接证明有困难时，可以改证和它等效的逆命题，只要它的逆命题正确，这个命题就成立。这种证明方法叫做同一法。 同一法常用于证明符合同一原理的几何命题。应用同一法解题，一般包括下面几个步骤： 第一步：作出符合命题结论的图形。 第二步：证明所作图形符合已知条件。 第三步：根据唯一性，确定所作的图形与已知图形重合。第四步：断定原命题的真实性。例1：在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DEBC例2：矩形ABCD中，AB=BC，E是AD上一点，且DCE=15°。求证：BE=BC作业：1、 已知函数f(x)的定义域是2，10，求函数F(x)=f(x+a)+f(x-a)的定义域，其中a>0.2、 已知，（0，），且sin(+)=2sin。求证：3、 在梯形ABCD中，E为一腰BC上的一点，已知AED的面积是梯形ABCD的面积的一半，求证：CE=EB