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矩阵位移法习题课 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望EA l6EI l2 6EI l2 EA l12EI l3 12EI l34EI l2EI l局部坐标系下的单元刚度矩阵局部坐标系下的单元刚度矩阵e 矩阵元素物理意义：单元杆端单位位移下所产生的杆端力。矩阵元素物理意义：单元杆端单位位移下所产生的杆端力。e=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0000006EI l206EI l20EA l6EI l2 6EI l2 EA l12EI l3 12EI l34EI l2EI l0000006EI l206EI l20 只与杆件本身性质只与杆件本身性质有关而与外荷载无关有关而与外荷载无关exyX1Y1X2Y2eeeee座标转换矩阵座标转换矩阵单元座标转换矩阵单元座标转换矩阵目的：将局部坐标系中的杆端力目的：将局部坐标系中的杆端力 和杆端位移统一在整体坐和杆端位移统一在整体坐 标系中。标系中。正交矩阵正交矩阵T-1=TT或或 TTT=TT T=I存在：存在：eeee在局部座标系中杆端力与杆端位移的关系式：在局部座标系中杆端力与杆端位移的关系式：在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式：在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式：整体坐标系下的单元刚度矩阵整体坐标系下的单元刚度矩阵单元定位向量单元定位向量由单元结点位移总码组成的向量。由单元结点位移总码组成的向量。是单元刚度矩阵各元素在整体刚度矩阵中的位置指针向量。是单元刚度矩阵各元素在整体刚度矩阵中的位置指针向量。注意注意：对结点编号时，应尽量使每一个单元的两端结点编号差值最小。：对结点编号时，应尽量使每一个单元的两端结点编号差值最小。目的是使结构体系的整体刚度矩阵的带宽达到最小。目的是使结构体系的整体刚度矩阵的带宽达到最小。整体刚度矩阵整体刚度矩阵 K 的性质的性质(1)整体刚度系数的物理意义：整体刚度系数的物理意义：Kij：j=1(其余其余=0)时产生的结点力时产生的结点力Fi；(2)K是对称矩阵；是对称矩阵；(3)对几何不变体系，对几何不变体系，K是可逆矩阵，即存在：是可逆矩阵，即存在：F=K=K-1F(4)K是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续梁：是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续梁：123F1F2F3123nnFnn+1Fn+10000000000000000000000000000000000004i12i12i12i22i24i2+4i34i1+4i24in2i32in例例1 如图所示连续梁结构，试求在图示荷载作用下的各单元杆端力和支座反力。如图所示连续梁结构，试求在图示荷载作用下的各单元杆端力和支座反力。已知已知 1.未知量编号未知量编号 连续梁可动结点自左向右连续编号，被约束的位移编号为连续梁可动结点自左向右连续编号，被约束的位移编号为0。2.单元刚度矩阵单元刚度矩阵 对单元对单元1、单元、单元2有：有：(1)(1)(2)(2)(0)(0)(1)(1)xy1231243ABCD2.单元定位向量单元定位向量 单元单元1：(2)(3)(4)(2)(3)(4)单元单元2：单元单元3：3.集成总体刚度矩阵集成总体刚度矩阵（1）（1）（2）（2）（3）（3）（4）（4）4.等效荷载向量等效荷载向量 单元单元2：单元单元3 3：荷载向量：荷载向量：5.解方程：解方程：求结点位移求结点位移例例2 试求图示门式刚架的总体刚度矩阵。已知各杆件截面特征如图所示，且不试求图示门式刚架的总体刚度矩阵。已知各杆件截面特征如图所示，且不 考虑轴向变形的影响。考虑轴向变形的影响。1.体系基本未知量分析体系基本未知量分析2.单元刚度矩阵单元刚度矩阵 整体坐标系下的单刚矩阵整体坐标系下的单刚矩阵单元单元1：单刚单刚元素元素简记简记(1)(1)(2)(2)(0)(0)(0)(0)00000000(3)(3)(1)(1)(0)(0)(0)(0)单元单元2：123321x1234y1单元单元3：(1)(1)(2)(2)(3)(1)(3)(1)00000000单元单元1：单元单元2：(1)(1)(2)(2)(0)(0)(0)(0)00000000(3)(3)(1)(1)(0)(0)(0)(0)3.集成总体刚度矩阵集成总体刚度矩阵未知量未知量编编 号号（1）（1）（2）（2）（3）（3）注意注意：集成总刚时必须将所有单元刚度矩阵相应位置上的元素全：集成总刚时必须将所有单元刚度矩阵相应位置上的元素全部按单元定位向量的指向装配到总刚矩阵中。部按单元定位向量的指向装配到总刚矩阵中。