七年级数学一元一次方程应用题教程文件.ppt

一、提出一、提出(t ch)(t ch)问题：问题：甲、乙两个班，原来甲班比乙班多20人现在(xinzi)学校从甲班抽调14人去乙班，则甲班人数正好是乙班人数的7/8，求甲、乙两个班的现有人数第一页，共36页。算术算术(sunsh)(sunsh)解法：甲班原比乙班多解法：甲班原比乙班多2020人，乙班现比甲班多人，乙班现比甲班多142-20142-20（人），相（人），相当于乙班现当于乙班现有人数的有人数的 .因此，乙班现有人数为因此，乙班现有人数为 ，甲班现，甲班现有人数为有人数为第二页，共36页。代数解法代数解法(ji f)(ji f)：设甲班现有：设甲班现有x x人，则乙人，则乙班现有班现有x+142-20=x+8x+142-20=x+8（人），因此，（人），因此，即甲班现有即甲班现有5656人，乙班现有人，乙班现有6464人人.第三页，共36页。对比两种解法可以看出：对比两种解法可以看出：算算术术解解法法是是把把未未知知量量置置于于特特殊殊地地位位，设设法法用用已已知知量量组组成成的的混混合合运运算算式式表表示示出出来来(在在条条件件较较复复杂杂时时，列列出出这这样样的的式式子子往往比较困难往往比较困难)；代代数数解解法法是是把把未未知知量量与与已已知知量量同同等等对对待待(使使未未知知量量在在分分析析问问题题的的过过程程中中也也能能发发挥挥作作用用)，找找出出各各量量之之间间的的等等量量关关系系，建立方程建立方程 因因此此，代代数数解解法法的的“直直截截了了当当”比比算算术术解解法法的的“拐拐弯弯抹抹角角”要要方方便便得得多多但但是是，在在由由算算术术解解法法向向代代数数解解法法转转化化的的过过程程中中，同同学学们们原原来来的的思思维维定定势势不不同同程程度度的的成成为为接接受受新新思思想想的的障障碍碍，算算术术解解法法的的思思想想会会时时隐隐时时现现要要充充分分发发挥挥代代数数解解法法的的优优越越性性，必必须须(bx)(bx)有有意意识识地地进进行行对对比比性性训训练练解解题题，使使同同学学们们从从思思想想上上认认识识到到学学习习代代数数解解法法的的必必要要性性，而而自自觉觉地运用地运用第四页，共36页。二、知识二、知识(zh shi)(zh shi)梳理：梳理：1 1、列方程解应用题、列方程解应用题:学学 习习 列列 方方 程程 解解 应应 用用 题题 是是 十十 分分 重重 要要(zhngyo)(zhngyo)的的，首首先先从从学学习习内内容容上上讲讲，中中学学数数学学的的学学习习离离不不开开方方程程，离离不不开开利利用用列列方方程程来来解解决决应应用用问问题题，特特别别是是我我们们已已经经明明确确了了这这样样一一种种思思想想：学学习习数数学学重重在在应应用用因因此此列列方方程程解解应应用用题题中中蕴蕴含含的的思思想想方方法法对对学学习习者者而而言言是是十十分分重重要要(zhngyo)(zhngyo)的的第第二二，通通过过列列方方程程解解应应用用题题可可以以培培养养和和提提高高分分析析问问题题和和解解决决问问题题的的能能力力这这对对于于一一个个人人的的发发展展也也是是十十分分重要重要(zhngyo)(zhngyo)的的第五页，共36页。列方程过程(guchng)的实质有多种说法：如“通过分析，找出等量关系，而列出方程”，或“把题目中蕴含的相等关系找出来，列出方程”这些说法都指明了列方程的方向找出相等关系一般步骤如下：(1)审题、弄清题意，分清哪些是已知量，哪些是未知量(2)设未知数，选一个适当的未知量设为未知数x(3)列方程(4)解所列的方程(5)根据题意，作出答案第六页，共36页。具体可从以下三条具体可从以下三条(sn tio)(sn tio)途径出发研途径出发研究解决：究解决：(1)(1)图解分析：图解分析：分析问题中的数量分析问题中的数量(shling)(shling)关系关系时，借助图形，可以使抽象的关系直观时，借助图形，可以使抽象的关系直观化、简单化，根据题意画图列式是对同化、简单化，根据题意画图列式是对同学们的思维能力的有效培养这里，应学们的思维能力的有效培养这里，应要求要求“图要达意图要达意”，避免图上发生错误，避免图上发生错误而造成列式错误而造成列式错误第七页，共36页。(2)(2)列表分析：列表分析：列列表表法法的的优优点点是是通通过过列列表表归归类类使使对对应应量量之之间间关关系系较较为为(jio(jio wi)wi)清清晰晰，往往往往有有利于运用比例分析法显示解题思路利于运用比例分析法显示解题思路(3)(3)框图分析：框图分析：框框图图分分析析是是由由文文字字语语言言、符符号号语语言言及及长长方方格格通通过过题题中中相相等等关关系系确确立立而而成成，容容易易操作，不拘一格。操作，不拘一格。第八页，共36页。例例1 1、某某连连队队从从驻驻地地出出发发前前往往某某地地执执行行任任务务行行军军速速度度是是6 6千千米米/时时，1818分分钟钟后后，驻驻地地接接到到紧紧急急命命令令，派派遣遣(piqin)(piqin)通通讯讯员员小小王王必必须须在在一一刻刻钟钟内内把把命命令令传传达达给给连连队队小小王王骑骑自自行行车车以以1414千千米米/时时的的速速度度沿沿同同一一路路线线追追赶赶连连队队问问是是否否能能在在规规定时间内完成任务定时间内完成任务第九页，共36页。例例2 2、汽汽船船从从甲甲地地顺顺水水开开往往乙乙地地，所所用用时时间间比比从从乙乙地地逆逆水水开开往往甲甲地地少少1.51.5小小时时已已知知此此船船在在静静水水中中速速度度为为1818千千米米(qin(qin m)/m)/时时，水水流流速速度度为为2 2千千米米(qin(qin m)/m)/时时求甲、乙两地间的距离求甲、乙两地间的距离第十页，共36页。2 2、抓住、抓住“不变量不变量(binling)”(binling)”解应用题解应用题 列方程解应用题的关键是寻找数量间列方程解应用题的关键是寻找数量间的相等的相等(xingdng)(xingdng)关系，这要从分析题中关系，这要从分析题中的基本量入手去寻找一般说来，一个问的基本量入手去寻找一般说来，一个问题中有几种基本量就可以找出几种相等题中有几种基本量就可以找出几种相等(xingdng)(xingdng)关系但有些应用题中的相等关系但有些应用题中的相等(xingdng)(xingdng)关系不外露，如能抓住问题中关系不外露，如能抓住问题中的的“不变量不变量”即可得到相等即可得到相等(xingdng)(xingdng)关关系，从而列出方程，甚至能找出多种解法，系，从而列出方程，甚至能找出多种解法，拓宽解题思路拓宽解题思路 第十一页，共36页。例例3 3、某某工工人人在在一一定定时时间间内内加加工工一一批批零零件件，如如果果每每天天加加工工4444个个就就比比规规定定(gudng)(gudng)任任务务少少加加工工 2020个个；如如果果每每天天加加工工5050个个，则则可可超超额额1010个个求求规规定定(gudng)(gudng)加加工工的的零零件数和计划加工的天数件数和计划加工的天数分分析析：本本题题每每天天加加工工的的零零件件数数是是变变量量，实实际际做做的的工工作作总总量量也也随随着着变变化化，但但有有两两个个不不变变量量，即即计计划划加加工工的的时时间间不不变变，规规定定(gudng)(gudng)任任务务不不变变，这这就就是是题题目目中中的的等等量关系，故可得到两种解法量关系，故可得到两种解法第十二页，共36页。例例4 4、一一艘艘轮轮船船从从甲甲地地顺顺流流而而下下(shn(shn li li r r xi)8xi)8小小时时到到达达乙乙地地，原原路路返返回回要要1212小小时时，才才能能到到达达甲甲地地，已已知知水水流流速速度度是是每小时每小时3 3千米，求甲、乙两地的距离千米，求甲、乙两地的距离分分析析：本本题题中中甲甲、乙乙两两地地间间的的距距离离与与轮轮船船本本身身的的速速度度(静静水水速速度度)是是“不不变变量量”，分分别别抓抓住住这这两两个个“不不变变量量”即即得得两两种种不不同同的的等等量量关关系系可可从从两两个个不不同同方方面面设设出出未知数未知数第十三页，共36页。3 3、用整体、用整体(zhngt)(zhngt)思想解应用思想解应用题题 数学崇尚简捷初中数学崇尚简捷初中(chzhng)(chzhng)不少数不少数学应用题若能着眼于整体结构，往往能触学应用题若能着眼于整体结构，往往能触及问题的本质，从而获得简捷明快的解法及问题的本质，从而获得简捷明快的解法把整体思想解题用于教学不但可以培养把整体思想解题用于教学不但可以培养学生着眼于整体的意识，而且有利于培养学生着眼于整体的意识，而且有利于培养学生思维的敏捷性学生思维的敏捷性 第十四页，共36页。例例9 9、甲甲、乙乙两两人人分分别别从从A A、B B两两地地同同时时相相向向出出发发，在在离离B B地地6 6千千米米处处相相遇遇后后又又继继续续前前进进，甲甲到到B B地地，乙乙到到A A地地后后，都都立立即即返返回回(fnhu)(fnhu)，又又在在离离A A地地8 8千千米米处相遇，求处相遇，求A A、B B两地间的距离两地间的距离第十五页，共36页。分分析析：用用常常规规方方法法解解决决本本题题具具有有一一定定难难度度(nd)(nd)，若若把把两两个个运动过程一起处理，便可使问题迎刃而解运动过程一起处理，便可使问题迎刃而解解解：如如图图，第第一一次次相相遇遇，甲甲、乙乙两两人人合合走走一一个个全全程程，对对应应乙走乙走6 6千米千米(qin m)(qin m)；第第二二次次相相遇遇，甲甲、乙乙两两人人合合走走了了三三个个全全程程，故故乙乙共共走走了了1818千米千米(qin m)(qin m)，设设A A、B B两两地地间间的的距距离离为为x x千千米米(qin(qin m)m)，第第二二次次相相遇遇时时乙乙走了走了(x+8)(x+8)千米千米(qin m)(qin m)，所以所以x+8=18x+8=18，x=10 x=10答：答：A A、B B两地间距两地间距离为离为1010千米千米(qin m)(qin m)第十六页，共36页。例例1010、甲甲、乙乙两两人人分分别别从从A A、B B两两地地相相向向而而行行，若若两两人人同同时时出出发发(chf)(chf)，则则经经4 4小小时时相相遇遇；若若甲甲先先出出发发(chf)3(chf)3小小时时后后乙乙再再出出发发(chf)(chf)，则则经经2 2小小时时相相遇遇，问甲、乙单独走完问甲、乙单独走完ABAB这段路程各需几小时？这段路程各需几小时？解解：由由两两人人同同时时出出发发(chf)(chf)经经4 4小小时时相相遇遇，知知两两人人2 2小时走全程的一半；小时走全程的一半；又又由由甲甲出出发发(chf)3(chf)3小小时时后后乙乙再再出出发发(chf)(chf)，经经2 2小小时相遇，知甲时相遇，知甲3 3小时走完全程的一半小时走完全程的一半故甲走完全程需故甲走完全程需6 6小时小时因因甲甲走走5 5小小时时，乙乙走走2 2小小时时可可走走完完全全程程，而而甲甲6 6小小时时走走完完全全程程，故故甲甲走走1 1小小时时的的路路程程乙乙需需走走2 2小小时时，故故乙乙走走完全程需完全程需1212小时小时答：单独走完全程，甲需答：单独走完全程，甲需6 6小时，乙需小时，乙需1212小时小时第十七页，共36页。注注意意：用用常常规规方方法法解解题题是是必必要要的的，但但本本题题运运用用整整体体思思想想求求解解不不但但看看透透了了本本质质，而而且且利利于于培培养养学学生生的的逻逻辑辑思思维维(lu(lu j j s wi)s wi)能力能力第十八页，共36页。4 4、合理、合理(hl)(hl)设元巧解一元一次方程应用题：设元巧解一元一次方程应用题：列方程解应用题在初中代数中既是重点，又是难点怎样列方程解应用题，除了找出题中的相等关系外，关键还在于如何设元在列方程解应用题时，大多时候(sh hou)是将要求的量设为未知元(设直接元)而有时设直接元时，不易找出题目中的相等关系，此时则应恰当选择题目中要求的未知量外有关的某个量为未知元(设间接元)，求出这些量后，再用这些量求出要求的量还有些时候(sh hou)除了设直接元或间接元，还要设辅助列方程的量为未知元(设辅元)，它在方程中，不需求出或不能求出，但便于建立相等关系列方程 第十九页，共36页。（1 1）不同）不同(b tn)(b tn)的设元有不的设元有不同同(b tn)(b tn)的方程的方程 应用题一般有多个未知量，因而有多种设元方法，从而有多种不同的方程例11、从A地到B地，先下山然后走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，而以每小时9千米的速度通过(tnggu)平路，到达B地共用55分钟回来时以每小时8千米的速度通过(tnggu)平路而以每小时4千米的速度上山，回到A地共用1.5小时，从A地到B地有多少千米？第二十页，共36页。（2 2）直接）直接(zhji)(zhji)设元与间接设元与间接设元设元 一一般般情情况况下下采采用用直直接接设设元元，即即问问什什么么就就设设什什么么，但但有有时时根根据据(gnj)(gnj)问问题题的的性性质质，选选设设适适当当的的间间接接未未知知量量，就就可可能能使使数数量量之之间间的的复复杂杂关关系系变变得得比比较较简简单单，容容易易列列出出关关于于间间接接未未知知量量的的方程来方程来第二十一页，共36页。例例1212、从从家家里里骑骑车车到到火火车车站站，若若每每小小时时行行3030千千米米，则则比比火火车车开开车车时时间间早早到到1515分分；若若每每小小时时行行1818千千米米，则则比比火火车车开开车车时时间间迟迟到到1515分分现现要要求求(yoqi)(yoqi)在在火火车车开开车车前前1010分分钟钟到到达达火火车车站站，骑骑车车的速度应是多少？的速度应是多少？第二十二页，共36页。例例1313、设设有有五五个个数数，其其中中每每四四个个数数之之和和分分别别是是1515、2222、2323、2424、3232，求这五个数，求这五个数分分析析：这这个个题题目目如如果果设设直直接接(zhji)(zhji)元元，就就应应设设五五个个未未知知元元，涉涉及及几几个个未未知知数数的的问问题题，须须列列出出几几个个方方程程，不不易易解解出出因因此此，我我们们想想到到设设间间接接元元的的方方法法，题题中中已已知知五五个个数数中中四四个个数数之之和和，若若设设五五个个数数总总和和为为x x，则则这这五五个个数数分分别别是是：x-15x-15，x-22x-22，x-23x-23，x-24x-24，x-32x-32，它它们们的的和和等等于于x x解：解：(设间接元设间接元)设这五个数的和是设这五个数的和是x x则则(x-15)+(x-22)+(x-23)+(x-24)+(x-32)=x(x-15)+(x-22)+(x-23)+(x-24)+(x-32)=x解方程得解方程得x=29x=29这这五五个个数数分分别别为为：29-15=1429-15=14，29-22=29-22=7 7，29-23=629-23=6，29-29-24=524=5，29-32=-329-32=-3答：这五个数是答：这五个数是1414，7 7，6 6，5 5，-3-3第二十三页，共36页。（3 3）加设辅助）加设辅助(fzh)(fzh)元元 有些应用题中，常隐含一些未知的常有些应用题中，常隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接量，这些量对于求解无直接(zhji)(zhji)联系，但如果不指明这些量的存在，联系，但如果不指明这些量的存在，则难求其解因而常把这些未知的常则难求其解因而常把这些未知的常量设为参数，作为桥梁帮助思考，这量设为参数，作为桥梁帮助思考，这就是加设辅助元就是加设辅助元 第二十四页，共36页。例例1414、一一轮轮船船从从重重庆庆到到武武汉汉需需5 5昼昼夜夜，从从武武汉汉到到重重庆庆需需7 7昼昼夜夜，试试问问一一木木排排从从重重庆漂流到武汉需要多少时间？庆漂流到武汉需要多少时间？分分析析：该该题题若若设设直直接接元元，即即木木排排漂漂流流所所需需时时间间，很很难难找找到到相相等等关关系系来来列列方方程程，但但由由题题意意知知轮轮船船从从重重庆庆到到武武汉汉为为顺顺水水航航行行，从从武武汉汉到到重重庆庆为为逆逆水水(n(n shu)shu)航航行行，轮轮船船在在静静水水中中速速度度不不变变，木木排排漂漂流流速速度度为为水水流流速速度度，引引入入辅辅助助元元：重重庆庆到到武武汉汉轮轮船船行行驶驶路路程程为为s s，水水流流速速度度为为v v，由由轮轮船在静水中速度不变可列方程船在静水中速度不变可列方程第二十五页，共36页。说说明明：在在列列出出一一元元一一次次方方程程解解应应用用题题时时，因因为为方方程程中中只只有有一一个个未未知知数数，所所以以(suy)(suy)不不管管应应用用题题中中有有几几问问，都都只只能能设设一一个个未未知知数数，但但有有时时只只设设出出一一个个未未知知数数，有有关关的的等等量量关关系系很很难难表表达达，这这样样就就需需要要在在方方程程中中引引入入一一个个辅辅助助元元，便便于于列列出出方方程程表表达达等等量量关关系系，这这个个辅辅助助元元在在解解的的过过程程中中，常常常常被被约约掉，实际上还是一个未知数掉，实际上还是一个未知数第二十六页，共36页。例例1515、某某人人上上午午8 8时时乘乘装装有有竹竹杆杆的的船船逆逆流流而而上上，1010时时半半发发现现一一捆捆竹竹杆杆掉掉入入河河中中，他他立立即即掉掉头头顺顺流流去去追追，用用3030分分追追上上了了竹竹杆杆竹杆是何时掉入河中的？竹杆是何时掉入河中的？注注：在在以以上上求求解解中中，我我们们(w(w men)men)是是以以河河岸岸为为参参照照物物来来设设定定船船速速V V和和水水流流速速度度v v的的并并且且，我我们们(w(w men)men)发发现现船船速速和和水水速速实实际际上上对对结结果果都都无无影影响响可可以以说说这这里里的的参参数数V V、v v是是设设而而不不求求，只只起起到到一一个个中中间间过渡作用过渡作用第二十七页，共36页。例例1616、一一组组割割草草人人要要把把两两块块到到处处长长得得一一样样密密的的草草地地里里的的草草割割完完，大大的的一一块块比比小小的的一一块块大大一一倍倍，上上半半天天全全部部(qunb)(qunb)人人在在大大草草地地割割草草；下下半半天天一一半半人人仍仍留留在在大大草草地地上上，到到晚晚上上把把草草割割完完，另另一一半半人人去去割割小小草草地地的的草草，到到晚晚上上还还剩剩下下一一小小块块，最最后后由由一一人人再再用用一一天天的的时时间间刚刚好好割割完完如如果果这这组组割割草草人人每每天天割割草草速速度度是是相相等等的的，问他们共有多少人？问他们共有多少人？第二十八页，共36页。（4 4）整体）整体(zhngt)(zhngt)设元设元 在某些应用题中，直接设元相当困难(kn nn)，就是间接设元，也会感到未知数太多，已知关系太少如果在未知数的某一部分中存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知量，这样就减少了设元的个数，从而易列出方程(组)这种设元方法称之为整体设元 第二十九页，共36页。例例1717、一一个个五五位位数数的的最最高高位位上上数数字字是是5 5，若若将将这这个个5 5移移至至最最右右边边的的数数位位上上，这这所所得得的的五五位位数比原数的数比原数的2/32/3多多70017001，求原五位数。，求原五位数。【注注】此此题题中中的的原原五五位位数数后后四四位位组组成成的的数数在在题题中中没没有有变变化化，故故可可设设其其为为x x若若分分别别设设个个十十百百千千上上的的数数字字，则则有有四四个个未未知知量量，仅仅一一个相等关系个相等关系(gun x)(gun x)，无法解题，无法解题第三十页，共36页。列方程解应用题中的设元问题是一列方程解应用题中的设元问题是一个十分广泛、灵活而有趣的内容，没有个十分广泛、灵活而有趣的内容，没有一种万能的方法，没有一种必由的途径一种万能的方法，没有一种必由的途径总之，设元的宗旨要使列方程的思路总之，设元的宗旨要使列方程的思路简捷，列出的方程的解法容易在学习简捷，列出的方程的解法容易在学习(xux)(xux)中必须灵活运用切忌生搬硬套中必须灵活运用切忌生搬硬套 第三十一页，共36页。三、小结三、小结(xioji)(xioji)：列方程解应用题的原理是：正确列出的方程能准确地表达(biod)出题目中各量之间的关系就是说，方程即表达(biod)了题意，这样方程中未知数的值能使方程成立，也就符合题意 我们对间接未知数的作用有了一个初步的了解，它是我们从已知通向未知，从复杂通向简单，从困难通向容易的一座桥梁。正因为如此，在选择哪一个未知数作为间接未知数时，要经过认真思考，为此一定要弄清题意，弄清题目中已知数与未知数之间的数量关系。第三十二页，共36页。四、课后练习：四、课后练习：1 1、现有含盐、现有含盐1515的盐水的盐水350350克，稀释成含克，稀释成含盐盐2 2的盐水，问应加水多少克？的盐水，问应加水多少克？2 2、甲、乙两人从同一村庄步行去县城，甲、甲、乙两人从同一村庄步行去县城，甲比乙早出发比乙早出发1 1小时小时(xiosh)(xiosh)，而晚到，而晚到1 1小小时时(xiosh)(xiosh)，甲每小时，甲每小时(xiosh)(xiosh)走走4 4千千米，乙每小时米，乙每小时(xiosh)(xiosh)走走6 6千米，求从村千米，求从村庄到县城的路程？庄到县城的路程？3 3、三个数中每两个数之和分别是、三个数中每两个数之和分别是2727、2828、2929，求这三个数，求这三个数 第三十三页，共36页。4 4、李李伟伟从从家家里里骑骑摩摩托托车车到到火火车车站站，如如果果每每小小时时行行3030千千米米，那那么么比比火火车车开开车车(ki(ki ch)ch)时时间间早早到到1515分分钟钟；若若每每小小时时行行1818千千米米，则则比比火火车车开开车车(ki(ki ch)ch)时时间间迟迟到到1515分分钟钟现现在在李李伟伟打打算算在在火火车车开开车车(ki(ki ch)ch)前前1010分分钟钟赶赶到到火火车车站站，李李伟伟此此时时骑骑摩摩托托车车的的速速度度应应该该是是多多少少？第三十四页，共36页。5 5、从从两两块块重重量量分分别别为为1212千千克克和和8 8千千克克，并并且且含含铜铜百百分分数数不不同同的的合合金金上上，分分别别切切下下重重量量相相同同的的一一块块，并并把把所所切切下下的的一一块块与与另另外外一一种种合合金金所所剩剩下下的的部部分分合合在在一一起起熔熔炼炼，形形成成(xngchng)(xngchng)两两块块新新的的合合金金，并并且且这这两两块块新新合合金金的的含含铜铜百百分分数数相相同同，问问开开始始在在每每种种合合金金上上切切下下的的一一部部分分重重量量是多少千克？是多少千克？第三十五页，共36页。6 6、一船往返、一船往返(wngfn)(wngfn)于甲、乙两个于甲、乙两个码头之间，由甲到乙是顺水，乙到码头之间，由甲到乙是顺水，乙到甲是逆水，并知船在静水中的速度甲是逆水，并知船在静水中的速度为为8 8千米千米/时，平时逆水行与顺水行时，平时逆水行与顺水行一次的时间比为一次的时间比为2121，某天恰逢暴，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的雨，水流速度是原来的2 2倍，这条船倍，这条船往返往返(wngfn)(wngfn)甲、乙两码头之间一甲、乙两码头之间一次共用次共用9 9小时，求甲、乙两码头间的小时，求甲、乙两码头间的距离是多少千米？距离是多少千米？第三十六页，共36页。