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刚体的受力分析及其平衡规律 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1-11-1力及其性质力及其性质一一.力和力系的概念力和力系的概念l l力力-物体间的一种相互作用。力使物体物体间的一种相互作用。力使物体的运动状态或形状发生改变。的运动状态或形状发生改变。l l力的效应力的效应 外效应外效应使物体的运动状态发生改变使物体的运动状态发生改变 内效应内效应使物体产生变形使物体产生变形2小车的运动小车的运动3吊车梁变形吊车梁变形4l理论力学主要研究力的外效应。理论力学主要研究力的外效应。l力对物体的效应取决于力对物体的效应取决于力的三要素力的三要素：大小；大小；方向；方向；作用点。作用点。l力是一个具有固定力是一个具有固定作用点的作用点的定位矢量定位矢量。5l力的表示法力的表示法：（1）黑体字母，如：）黑体字母，如：R、F 等。相应的普通体字等。相应的普通体字母母R、F 表示其大小。表示其大小。（2）有向线段）有向线段:A AB B说明说明：以解析法计算力的大小时，线段：以解析法计算力的大小时，线段AB长度可不按比例画出。长度可不按比例画出。6l l力通过物体直接接触或通过物体和场（重力场、力通过物体直接接触或通过物体和场（重力场、电磁场等）的相互作用而产生。力的作用点即电磁场等）的相互作用而产生。力的作用点即力的作用位置力的作用位置 一般并非一个点。如两物体直接一般并非一个点。如两物体直接接触时的压力为面分布力，重力为体积分布力。接触时的压力为面分布力，重力为体积分布力。若分布面积很小或研究力对物体的外效应时可若分布面积很小或研究力对物体的外效应时可将其简化为作用于接触面中心或重心的集中力。将其简化为作用于接触面中心或重心的集中力。l l力的单位力的单位 集中力：集中力：N、kN；面分布力：面分布力：N/m2（Pa）、）、MPa、GPa7l l力系力系-作用在物体上的许多力。作用在物体上的许多力。l l平衡力系平衡力系-若物体在力系的作用下处于平衡状若物体在力系的作用下处于平衡状态，则这个力系成为平衡力系。态，则这个力系成为平衡力系。l l平衡平衡-物体相对于地面静止或做匀速直线运动。物体相对于地面静止或做匀速直线运动。l l等效力系等效力系-两个力系对同一刚体的作用效果相两个力系对同一刚体的作用效果相同，称为等效力系。同，称为等效力系。l l刚体刚体-尺寸和运动范围远大于其变形量时可视尺寸和运动范围远大于其变形量时可视为刚体。如机器上的轴：挠度为刚体。如机器上的轴：挠度5/1000跨距；转跨距；转角角（0.5 1）/m。8l l变形固体变形固体-研究物体变形时不能将物体视研究物体变形时不能将物体视为刚体。为刚体。l l合力与分力合力与分力-如一力与一力系等效则此力如一力与一力系等效则此力称为此力系的合力，此力系中各力称为此称为此力系的合力，此力系中各力称为此力之分力。力之分力。l l力的合成力的合成-由分力求合力。由分力求合力。l l力的分解力的分解-由合力求分力。由合力求分力。91、力的可传性、力的可传性-作用在刚体上的力，可沿作用在刚体上的力，可沿其作用线移到刚体上任意一点而不改变此其作用线移到刚体上任意一点而不改变此力对刚体的外效应（只适用于刚体）。力对刚体的外效应（只适用于刚体）。F FF FA AA AB BB B二、力的性质二、力的性质10 2、力的成对性（作用与反作用定律）、力的成对性（作用与反作用定律）-两两个物体之间的作用力与反作用力总是成对存个物体之间的作用力与反作用力总是成对存在，且等值、反向、共线，分别作用在两个在，且等值、反向、共线，分别作用在两个物体。物体。3、力的可合性、力的可合性-作用在物体上同一点的两个作用在物体上同一点的两个力，可以合成一个合力。此合力也作用在该力，可以合成一个合力。此合力也作用在该点，其大小和方向由这两力为邻边构成的平点，其大小和方向由这两力为邻边构成的平行四边形的主对角线确定。行四边形的主对角线确定。11力的平行四边形法则或三角形法则力的平行四边形法则或三角形法则A AA AF F1 1F F1 1F F2 2F F2 2R RR RC CB BB BC CD D12 4、力的可分性、力的可分性-利用平行四边形法则也可将利用平行四边形法则也可将作用于物体上的一个力分解为两个力（有无穷多作用于物体上的一个力分解为两个力（有无穷多解）。工程上常将一力分解为互相垂直的两个分解）。工程上常将一力分解为互相垂直的两个分力（正交分力），称为力（正交分力），称为正交分解正交分解。如下图所示：。如下图所示：F Fr rF Ft tF FF F-切削力（横向切削即切槽）；切削力（横向切削即切槽）；切削力（横向切削即切槽）；切削力（横向切削即切槽）；F Ft t=F Fsinsina a a a切削抗力；切削抗力；切削抗力；切削抗力；F Fr r=F Fcoscosa a a a吃刀抗力。吃刀抗力。吃刀抗力。吃刀抗力。135、力的可加可消性（加减平衡力系原理）、力的可加可消性（加减平衡力系原理）对受力刚体，可加上或去掉一个平衡力系，对受力刚体，可加上或去掉一个平衡力系，而不改变原力系对刚体的外效应（作用在刚而不改变原力系对刚体的外效应（作用在刚体上的平衡力系中各力的外效应互相抵消了）体上的平衡力系中各力的外效应互相抵消了）。即，只相差一个平衡力系的两个力系作用即，只相差一个平衡力系的两个力系作用效果相同（等效），可以相互替换。效果相同（等效），可以相互替换。力的可传性原理力的可传性原理可用其加以证明。可用其加以证明。14l l在研究力对物体的在研究力对物体的运动效应运动效应时，力可沿时，力可沿其作用线滑动，故将力视为其作用线滑动，故将力视为滑动矢量滑动矢量。l l在研究力对物体的在研究力对物体的变形效应变形效应时，力的可时，力的可传性原理不成立，此时力的作用点是决传性原理不成立，此时力的作用点是决定力的作用效果的要素，必须将力视为定力的作用效果的要素，必须将力视为固定矢量固定矢量。注意：注意：15三、力的平衡条件（物体平衡时所受三、力的平衡条件（物体平衡时所受力应满足的条件）力应满足的条件）1、二力平衡定理、二力平衡定理作用在刚体上的两个力使刚体作用在刚体上的两个力使刚体保持平衡的充要条件为：保持平衡的充要条件为：等值、反向、共线等值、反向、共线 如用钢丝绳起吊重物：如用钢丝绳起吊重物：如用钢丝绳起吊重物：如用钢丝绳起吊重物：（1 1）T=G T=G 匀速升降或静止；匀速升降或静止；匀速升降或静止；匀速升降或静止；（2 2）T TG G 加速上升；加速上升；加速上升；加速上升；（3 3）T TG G 加速下降。加速下降。加速下降。加速下降。T TG G 16注意：注意：对对非刚体非刚体，二力平衡条件必要而不充分，二力平衡条件必要而不充分-如如柔索受拉、压。柔索受拉、压。l l二力体（杆）二力体（杆）-只受两个力作用而保持平衡只受两个力作用而保持平衡的物体（或杆件）。的物体（或杆件）。l l二力杆未必为直杆。二力杆未必为直杆。二力杆上两外力的作用二力杆上两外力的作用线与两力作用点而与杆的实际形状无关。线与两力作用点而与杆的实际形状无关。17二力构件二力构件18-刚体受不平行的三个力作用而平衡时，此三刚体受不平行的三个力作用而平衡时，此三力的作用线必汇交于一点。力的作用线必汇交于一点。利用力的可传性、可合性及力的平衡定理可证。利用力的可传性、可合性及力的平衡定理可证。2、三力平衡汇交定理、三力平衡汇交定理O OA AB BC CF F1 1F F2 2F F3 319三力汇交一点三力汇交一点 201-21-2刚体的受力分析刚体的受力分析一、约束与约束反力一、约束与约束反力l l自由体：自由体：能在空间沿任何方向，不受限制地自能在空间沿任何方向，不受限制地自由运动的物体。如飞机、气球等。由运动的物体。如飞机、气球等。l l非自由体：非自由体：运动在某些方向上受到限制而不能运动在某些方向上受到限制而不能完全自由地运动的物体。完全自由地运动的物体。l l约束约束对物体运动起限制作用的其他物体。被对物体运动起限制作用的其他物体。被限制运动的物体称为限制运动的物体称为被约束物被约束物。2122l l约束力或约束反力约束力或约束反力约束给被约束物体的力。约束给被约束物体的力。l l如：如：轴受轴承限制只能转动，轴称为约束，轴是被轴受轴承限制只能转动，轴称为约束，轴是被约束物体；机床工作台受床身导轨限制只能沿导轨约束物体；机床工作台受床身导轨限制只能沿导轨纵向移动，床身导轨是约束，工作台是被约束物。纵向移动，床身导轨是约束，工作台是被约束物。l l约束力的方向约束力的方向 与该约束所能限制物体运动的与该约束所能限制物体运动的方向相反，大小一般未知，需由平衡条件求出。方向相反，大小一般未知，需由平衡条件求出。l l主动力（载荷、给定力）主动力（载荷、给定力）约束力以外的所有约束力以外的所有力。如：重力、切削力、电磁力、弹簧力，等等。力。如：重力、切削力、电磁力、弹簧力，等等。一般为已知，或可测定，或可用静力学以外的方一般为已知，或可测定，或可用静力学以外的方法计算。法计算。23 1、柔软体约束（链条、皮带、钢丝绳等）、柔软体约束（链条、皮带、钢丝绳等）l l理想柔索不可伸长，只能受拉，无抗弯、承压能力。理想柔索不可伸长，只能受拉，无抗弯、承压能力。l l柔索给被约束物体的力，方向一定沿着柔索，并且柔索给被约束物体的力，方向一定沿着柔索，并且只能是拉力。只能是拉力。A AB BC CD DA AC CB BD DT TG GT TG GT TB BT TA A用钢丝绳通过定滑轮匀速起吊重物用钢丝绳通过定滑轮匀速起吊重物用钢丝绳通过定滑轮匀速起吊重物用钢丝绳通过定滑轮匀速起吊重物吊环及重物受力吊环及重物受力吊环及重物受力吊环及重物受力机械设备上常见的约束机械设备上常见的约束24胶带构成的约束胶带构成的约束252、光滑接触面约束、光滑接触面约束l l面间摩擦力远小于其它各力时可忽面间摩擦力远小于其它各力时可忽略不计而认为接触面是光滑的。略不计而认为接触面是光滑的。l l光滑接触面给被约束物体的力，方光滑接触面给被约束物体的力，方向必沿着接触面在接触点的公法线，向必沿着接触面在接触点的公法线，并且只能是压力（不能互相嵌入）。并且只能是压力（不能互相嵌入）。如搁在如搁在V形铁上的圆棒：形铁上的圆棒：A AN Nt tt tA AB BA AB BN NB BG GG GN NA A263、滑铰链约束、滑铰链约束-约束和被约束物以光滑圆约束和被约束物以光滑圆柱面联结柱面联结l l固定支座固定支座-约束物固定不动约束物固定不动的铰链。如轴承座即此。的铰链。如轴承座即此。l l根据光滑接触面约束力的特根据光滑接触面约束力的特点：光滑铰链给被约束物体点：光滑铰链给被约束物体的力必沿着接触点的公法线，的力必沿着接触点的公法线，且只能是压力。且只能是压力。l l由于接触点在圆周上的位置由于接触点在圆周上的位置不易确定，所以可将约束力不易确定，所以可将约束力用两个正交分力用两个正交分力Nx、Ny表示。表示。N NN Nx xN Ny yN NN Nx xN Ny y27固定固定铰链支座铰链支座底座固定在支承面上底座固定在支承面上可动铰链支座可动铰链支座底座下面安放辊轴，底座下面安放辊轴，只能阻止物体沿垂直于支承面的方向运动。只能阻止物体沿垂直于支承面的方向运动。约束反力方向约束反力方向：垂直于支承面并指向非自由体。：垂直于支承面并指向非自由体。铰链支座约束铰链支座约束28铰链约束铰链约束29铰链支座铰链支座3031简图和约束力画法：简图和约束力画法：A A1 12 22 2A AN NX XN NY YA A1 12 2A A2 2N NY YN NX X1约束；约束；2被约束物被约束物32二、受力分析和受力图二、受力分析和受力图l l受力分析受力分析-研究某一指定物体的受力情况。研究某一指定物体的受力情况。l l研究对象或分离体研究对象或分离体-为研究方便，将所研为研究方便，将所研究的物体从与之有关的物体中分离出来，并究的物体从与之有关的物体中分离出来，并将其所受各种力画在图上。这样被分离出来将其所受各种力画在图上。这样被分离出来的物体称为研究对象或分离体。的物体称为研究对象或分离体。l l受力图受力图-画有分离体及其所受各力的图。画有分离体及其所受各力的图。33画受力图的步骤画受力图的步骤（1 1）确定研究对象（一般应单独画出）。确定研究对象（一般应单独画出）。研究对研究对象为受力物，与之有关的其它物体为施力物。象为受力物，与之有关的其它物体为施力物。（2 2）画给定力。画给定力。按已知条件画在研究对象上。按已知条件画在研究对象上。（3 3）画约束力。画约束力。判明约束的个数、种类，以约束判明约束的个数、种类，以约束力代替约束。力代替约束。F注意：注意：以物系（多个物体组成之系统）为研究以物系（多个物体组成之系统）为研究对象时，受力图上不画内力（成对出现，对物系对象时，受力图上不画内力（成对出现，对物系整体运动物影响）。整体运动物影响）。内力内力-系内物体之间的作用力。系内物体之间的作用力。外力外力-系外物体对物系的作用力。系外物体对物系的作用力。34例例1：圆柱：圆柱O重重G，杆，杆AB、BC自重不计。画圆柱自重不计。画圆柱O、AB杆及圆柱杆及圆柱O和和AB杆组成的物系的受力图。杆组成的物系的受力图。解：解：1 1、以圆柱、以圆柱、以圆柱、以圆柱OO为研究对象；画主动力为研究对象；画主动力为研究对象；画主动力为研究对象；画主动力重力重力重力重力GG；解除；解除；解除；解除两处约束（均为光滑面两处约束（均为光滑面两处约束（均为光滑面两处约束（均为光滑面 ）代之以约束力。）代之以约束力。）代之以约束力。）代之以约束力。2 2、ABAB杆杆杆杆注意：注意：注意：注意：BCBC为二力杆为二力杆为二力杆为二力杆N NB B方向；方向；方向；方向；三力平衡汇交定理三力平衡汇交定理三力平衡汇交定理三力平衡汇交定理N NA A方向。方向。方向。方向。3 3、OO与与与与ABAB构成的物系构成的物系构成的物系构成的物系注意：注意：注意：注意：N ND D为内力，不必画出。为内力，不必画出。为内力，不必画出。为内力，不必画出。铰链铰链铰链铰链A A处约束力方向未知，可用正交分力表示。处约束力方向未知，可用正交分力表示。处约束力方向未知，可用正交分力表示。处约束力方向未知，可用正交分力表示。35例例2：梯子放在光滑地面上，：梯子放在光滑地面上，AC、BC各重各重W，彼此，彼此用销钉用销钉C和绳子和绳子EF相连，今有一人重相连，今有一人重G站在站在D处，试处，试分析整个梯子以及分析整个梯子以及AC、BC部分的受力情况。部分的受力情况。解：解：解：解：分别以整个梯子、以及分别以整个梯子、以及分别以整个梯子、以及分别以整个梯子、以及ACAC、BCBC为研究对象，为研究对象，为研究对象，为研究对象，画受力图如下：画受力图如下：画受力图如下：画受力图如下：361-31-3平面汇交力系的简化与平衡平面汇交力系的简化与平衡l l平面力系平面力系-力系中各力作用线在同一平面内。力系中各力作用线在同一平面内。l l平面平行力系平面平行力系-各力作用线互相平行的平面力系各力作用线互相平行的平面力系（上例中整个梯）。（上例中整个梯）。l l平面汇交力系平面汇交力系-各力作用线汇交于一点的平面力各力作用线汇交于一点的平面力系。系。l l平面共点力系平面共点力系-各力作用于一点的平面力系。各力作用于一点的平面力系。l l平面一般力系平面一般力系-各力作用线任意分布的平面力系各力作用线任意分布的平面力系（上例中半梯受）。（上例中半梯受）。373839一、平面汇交力系的简化一、平面汇交力系的简化1、概述、概述l l力系的简化力系的简化求一力与一力系等效。即求力系求一力与一力系等效。即求力系的合力。的合力。可传性原理可传性原理可传性原理可传性原理可合性可合性可合性可合性平面汇交力系平面汇交力系平面汇交力系平面汇交力系平面共点力系平面共点力系平面共点力系平面共点力系合力合力合力合力A AF F1 1F F2 2F F3 3F Fn nA AF F1 1F F2 2F F3 3F Fn nA AR R40结论：结论：平面汇交力系合成的结果为一合力，合平面汇交力系合成的结果为一合力，合力的作用线通过力系的汇交点，合力的大小和力的作用线通过力系的汇交点，合力的大小和方向等于力系中各力的矢量和。即方向等于力系中各力的矢量和。即平面汇交力系平衡的充要条件平面汇交力系平衡的充要条件是力系的合力是力系的合力为零，即为零，即几何条件几何条件为力多边形自行封闭。为力多边形自行封闭。41平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的几何条件42l l设力设力设力设力F F作用在刚体上的作用在刚体上的作用在刚体上的作用在刚体上的A A点，在力点，在力点，在力点，在力F F作用线所在平面取作用线所在平面取作用线所在平面取作用线所在平面取x x轴，过轴，过轴，过轴，过F F始点始点始点始点A A和终点和终点和终点和终点B B向向向向x x轴引垂线，得垂足轴引垂线，得垂足轴引垂线，得垂足轴引垂线，得垂足a a、b b，则线，则线，则线，则线段段段段abab的长度冠以适当的正负号称为力的长度冠以适当的正负号称为力的长度冠以适当的正负号称为力的长度冠以适当的正负号称为力F F在在在在x x轴上的投影，轴上的投影，轴上的投影，轴上的投影，用用用用X X表示。从表示。从表示。从表示。从a a到到到到b b与与与与x x轴正向一致时轴正向一致时轴正向一致时轴正向一致时X X为正，反之为负，故为正，反之为负，故为正，反之为负，故为正，反之为负，故力的投影为代数量力的投影为代数量力的投影为代数量力的投影为代数量。2、力在坐标轴上的投影、力在坐标轴上的投影x xx xx xX X00 0a aa aa ab bb bb by yY YF FF FF FF Fx xF Fy yA AA AA AB BB BB B l l可以看出：可以看出：可以看出：可以看出：X X=F Fcoscos；Y Y=F Fsinsin；-F F与与与与x x轴所夹锐角。轴所夹锐角。轴所夹锐角。轴所夹锐角。l l 若已知若已知若已知若已知X X、Y Y，则，则，则，则F F的大小和方向为：的大小和方向为：的大小和方向为：的大小和方向为：l lF F从原点画出时所在象限由从原点画出时所在象限由从原点画出时所在象限由从原点画出时所在象限由X X、Y Y正、负号判断。正、负号判断。正、负号判断。正、负号判断。433、合力投影定理、合力投影定理设平面共点力系设平面共点力系 、（与某汇交力系等效）（与某汇交力系等效）作用在刚体上的作用在刚体上的A点，由图可知：点，由图可知：ag=ab+be-eg=ab+ac-ad，即，即RX=X1+X2+X3 结论：结论：合力在某一坐标轴合力在某一坐标轴上的投影，等于各分力在上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。同一轴上投影的代数和。d d a ac cb b g g e eA AC CB BG GE ED DR RR R1 1F F1 1F F2 2F F3 3x x-合力投影定理合力投影定理44 得到得到Rx、Ry后，即可求出合力的大小和方向：后，即可求出合力的大小和方向：a a-与与x轴所夹锐角。轴所夹锐角。之方向根据之方向根据a a 和和Rx、Ry的正的正负负号判断。号判断。45例例3：已知：已知F1=100N，F2=100N，F3=150N，F4=200N，求合力，求合力 。解：解：解：解：46二、平面汇交力系的平衡方程二、平面汇交力系的平衡方程1、平衡方程、平衡方程-平衡条件的解析表达式平衡条件的解析表达式平面汇交力系的平衡条件为其合力等于零，即平面汇交力系的平衡条件为其合力等于零，即由此可得：由此可得：即即力系中各力在两个任选的互相垂直的坐标轴上力系中各力在两个任选的互相垂直的坐标轴上投影的代数和均为零。投影的代数和均为零。平面汇交力平面汇交力系有两个独立的平衡方程，可求解两系有两个独立的平衡方程，可求解两个未知量。个未知量。472、解题步骤、解题步骤（1）确定研究对象；）确定研究对象；（2）受力分析、画受力图；）受力分析、画受力图；（3）选坐标轴计算各力投影（尽量使未知力平）选坐标轴计算各力投影（尽量使未知力平行于坐标轴）；行于坐标轴）；（4）列平衡方程求解未知力。）列平衡方程求解未知力。对物系平衡问题，有时需对不同的研究对象列对物系平衡问题，有时需对不同的研究对象列平衡方程。平衡方程。48例例4:圆筒形容器重圆筒形容器重G，置于托轮，置于托轮A、B上，求上，求托轮对容器的约束反力。托轮对容器的约束反力。解：以容器为研究对象，画受力图。取坐标系解：以容器为研究对象，画受力图。取坐标系解：以容器为研究对象，画受力图。取坐标系解：以容器为研究对象，画受力图。取坐标系xoyxoy，由平，由平，由平，由平衡方程衡方程衡方程衡方程 X X=0=0，N NA Asin30sin30o o-N NB Bsin30sin30o o=0 =0 N NA A=N NB B Y=0 Y=0，2 2N NA Acos30cos30o o-G G=0=0，N NA A=G G/2cos30/2cos30o o=G G/=0.58/=0.58G GA AB B3030 3030N NAN NBG GGOO3030OO49例例5：均质球放在板：均质球放在板AB与墙与墙AC之间，之间，AB自重自重不计，求不计，求A处约束反力及绳子处约束反力及绳子BC的拉力。的拉力。解：求解：求解：求解：求T T及及及及R RA A，所以首先应以板，所以首先应以板，所以首先应以板，所以首先应以板ABAB为研究对象，画受力为研究对象，画受力为研究对象，画受力为研究对象，画受力图（由三力平衡汇交定理确定图（由三力平衡汇交定理确定图（由三力平衡汇交定理确定图（由三力平衡汇交定理确定R RA A方向）。但方向）。但方向）。但方向）。但 、均为未知力均为未知力均为未知力均为未知力，无法求解。所以应先以圆球为研究对象，无法求解。所以应先以圆球为研究对象，无法求解。所以应先以圆球为研究对象，无法求解。所以应先以圆球为研究对象，画受力图，建坐标系。画受力图，建坐标系。画受力图，建坐标系。画受力图，建坐标系。E EB BC Cl/2l/2l/2l/2D DA AA AB By yx xD DD Dy yx xE E50由由由由Y=0Y=0得：得：得：得：再以平板为对象，由再以平板为对象，由再以平板为对象，由再以平板为对象，由 E EB BC Cl/2l/2l/2l/2D DA AA AB By yx xD DD Dy yx xE E511-41-4力矩、力偶、力的平移定理力矩、力偶、力的平移定理一、力矩的概念一、力矩的概念l l设刚体受力设刚体受力F，在，在F 作用面内任取一点作用面内任取一点O称为称为矩矩心心，矩心，矩心O到力到力F 作用线的垂直距离作用线的垂直距离h称为称为力臂力臂，则力则力F 对同平面内点对同平面内点O（矩心）的矩定义为（矩心）的矩定义为A AF FOOh h规定：规定：力使物体绕矩心作逆时针力使物体绕矩心作逆时针方向转动时力矩为正，反之为负。方向转动时力矩为正，反之为负。单位：单位：SI制：牛顿制：牛顿米，米，Nm525354l l力使物体绕矩心逆转为正，反之为负。显然，力使物体绕矩心逆转为正，反之为负。显然，F=0 或或 h=0时，时，；所取矩心位置；所取矩心位置不同，力臂大小不同，力矩及其转向都可能改不同，力臂大小不同，力矩及其转向都可能改变，所以：变，所以：同一力对不同距心的矩一般并不相等。同一力对不同距心的矩一般并不相等。力矩是力使物体绕矩心转动效应的度量。力矩是力使物体绕矩心转动效应的度量。55（平汇力系）合力对平面内任一点的矩，等于各分（平汇力系）合力对平面内任一点的矩，等于各分力对同一点矩的代数和。即：若力对同一点矩的代数和。即：若 ，则，则合力矩定理：合力矩定理：56二、力偶二、力偶1、力偶的概念、力偶的概念力偶力偶一对等值、反向、不共线的平行力组成的一对等值、反向、不共线的平行力组成的力系，用力系，用(F,F)标记。力偶臂标记。力偶臂力偶中两力线间垂力偶中两力线间垂直距离直距离d。力偶中两力不满足二力平衡条件，故在力。力偶中两力不满足二力平衡条件，故在力偶作用下刚体不能保持平衡。力偶只能使物体产生偶作用下刚体不能保持平衡。力偶只能使物体产生转动效应。转动效应。d dF F(F F,F F)F F 5758电机转子电机转子 汽车方向盘汽车方向盘59l l力偶对物体的作用效应（转动力偶对物体的作用效应（转动效应）用效应）用力偶矩力偶矩来度量。来度量。l l力偶矩定义：力偶矩定义：力偶中一力的大力偶中一力的大小与力偶臂的乘积，即小与力偶臂的乘积，即l l规定：规定：使物体逆转为正使物体逆转为正“+”。l l力偶对其作用面内任一点的矩力偶对其作用面内任一点的矩恒等于力偶矩。恒等于力偶矩。l证：在作用面内任取一点证：在作用面内任取一点O：d dF F(F F,F F)F F d dF FF F O Ox x602、力偶的性质、力偶的性质（1）等效变换性）等效变换性只有力偶矩才唯一地决定力偶对物体的作用。只有力偶矩才唯一地决定力偶对物体的作用。力偶的等效条件为：力偶矩彼此相等。力偶的等效条件为：力偶矩彼此相等。A、只要保持力偶矩大小及其转向不变，力偶、只要保持力偶矩大小及其转向不变，力偶可在其作用面内任意转移（转动或移动）。可在其作用面内任意转移（转动或移动）。B、只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶、只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对物体的作用。物体的作用。61l l因此，力偶可用标明力因此，力偶可用标明力偶矩的弧形箭头表示。偶矩的弧形箭头表示。平面力偶等效变换平面力偶等效变换62（2）基本物理量）基本物理量l l 一个力偶在任何情况下都不能与一力等效，也不一个力偶在任何情况下都不能与一力等效，也不能被一力平衡（合成一个合力）。力偶只能与力偶能被一力平衡（合成一个合力）。力偶只能与力偶等效或平衡。等效或平衡。力偶具有基本物理量的属性。力偶具有基本物理量的属性。（3）可合成性（等效取代）可合成性（等效取代）l l 平面力偶系：平面力偶系：作用在刚体上同一平面内的若干个作用在刚体上同一平面内的若干个力偶。力偶。l l 平面力偶系只能与一个力偶等效，这个力偶称为平面力偶系只能与一个力偶等效，这个力偶称为该力偶系的合力偶。合力偶矩等于力偶系中各力偶该力偶系的合力偶。合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和，即：矩的代数和，即：l l平衡条件平衡条件:633、力的平移定理、力的平移定理 平移定理：平移定理：作用在刚体上的力可以平移到刚体作用在刚体上的力可以平移到刚体上任意指定点，但必须同时附加一力偶，此力上任意指定点，但必须同时附加一力偶，此力偶的力偶矩等于原来的力对指定点的矩。偶的力偶矩等于原来的力对指定点的矩。64l l力的平移定理反映了力与力偶这两个基本物理力的平移定理反映了力与力偶这两个基本物理量的等效取代关系。量的等效取代关系。l l例：丝锥扳手单侧受力容易将孔攻偏。例：丝锥扳手单侧受力容易将孔攻偏。651-51-5平面一般力系的简化与平衡平面一般力系的简化与平衡 在工程计算中常将空间力系的平衡问题转在工程计算中常将空间力系的平衡问题转化为平面力系处理（如机床主轴传动力、切化为平面力系处理（如机床主轴传动力、切削力和支反力构成空间力系）。平面一般力削力和支反力构成空间力系）。平面一般力系在工程中极为常见，分析和解决平面一般系在工程中极为常见，分析和解决平面一般力系问题的方法又具有普遍性，因此在静力力系问题的方法又具有普遍性，因此在静力学中占有重要地位。学中占有重要地位。66一、平面一般力系向一点简化一、平面一般力系向一点简化 平面一般力系平面一般力系平面一般力系平面一般力系平汇力系平汇力系平汇力系平汇力系+平面力偶系平面力偶系平面力偶系平面力偶系主矢：主矢：主矢：主矢：主矩：主矩：主矩：主矩：平移定理平移定理平移定理平移定理合成合成合成合成67l l结论：结论：平面一般力系向其作用面内任一点平面一般力系向其作用面内任一点O简化，可以得到一个力和一个力偶，这个力简化，可以得到一个力和一个力偶，这个力矢等于力系中各力的矢量和，称为原力系的矢等于力系中各力的矢量和，称为原力系的主矢主矢；这个力偶的力偶矩等于力系中各力对；这个力偶的力偶矩等于力系中各力对简化中心简化中心O的矩的代数和，称为原力系对的矩的代数和，称为原力系对O点点的的主矩主矩。即平面一般力系对刚体的作用与主。即平面一般力系对刚体的作用与主矢矢RO和主矩和主矩mO等效。等效。68l l注意：注意：力系主矢的大小和方向均与简化中心力系主矢的大小和方向均与简化中心O的位置无关，而主矩的大小和转向与简化中的位置无关，而主矩的大小和转向与简化中心心O的位置有关。的位置有关。力系对不同简化中心的主矩力系对不同简化中心的主矩69二、平面一般力系简化结果的讨论二、平面一般力系简化结果的讨论 l l由前可知，平面一般力系向任选的简由前可知，平面一般力系向任选的简化中心简化一般来说可以得到化中心简化一般来说可以得到一个力一个力RO和和一个力偶一个力偶mO，但这并非最后结果，但这并非最后结果，实际可能出现以下几种情况。实际可能出现以下几种情况。701、简化为合力、简化为合力l l当当RO0，mO=0时，原力系与时，原力系与RO等效，等效，RO=Fi，作用线通过简化中心。作用线通过简化中心。l l当当RO0，mO0时，可应用平移定理将作用在时，可应用平移定理将作用在同平面内的同平面内的RO和和mO合成一个合力：合成一个合力：O可加可加可减性可减性71l l利用上述讨论可将合力矩定理推广到平面一般力利用上述讨论可将合力矩定理推广到平面一般力系：系：mO(R)=Rd=Rd=mO，而已知，而已知mO=mO(Fi)，所，所以以 mO(R)=mO(Fi)。l l 合力矩定理：合力矩定理：平面一般力系的合力对其作平面一般力系的合力对其作用面内任一点的矩，等于力系中各力对同一点矩的用面内任一点的矩，等于力系中各力对同一点矩的代数和。代数和。l利用合力矩定理，将力分解为分力求矩有时可使利用合力矩定理，将力分解为分力求矩有时可使计算简化。计算简化。722、简化为力偶：、简化为力偶：RO=0，mO0原力系与力偶原力系与力偶mO等效，这时主矩等效，这时主矩mO即为原力即为原力系的合力偶矩。这时简化结果与简化中心的位系的合力偶矩。这时简化结果与简化中心的位置无关。置无关。3、力系平衡：、力系平衡：RO=0，mO=0 这时力系必定平衡。这时力系必定平衡。73综上可知，平面一般力系简化的最后结综上可知，平面一般力系简化的最后结果有三种可能：果有三种可能：（1）平衡；）平衡；（2）简化为合力；）简化为合力；（3）简化为合力偶。）简化为合力偶。换言之：平面一般力系若不平衡，则只可换言之：平面一般力系若不平衡，则只可能简化为一合力或合力偶。能简化为一合力或合力偶。74三、平面一般力系的平衡条件与平三、平面一般力系的平衡条件与平衡方程衡方程 平衡条件：力系的主矢和对任一点的主矩都分别平衡条件：力系的主矢和对任一点的主矩都分别为零，即：为零，即：平衡方程（一般形式）：平衡方程（一般形式）：可求解三个未知量。可求解三个未知量。75平面一般力系平衡的充要条件：力系中各力在平面一般力系平衡的充要条件：力系中各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和为零，以及两个任选的坐标轴上投影的代数和为零，以及各力对任一点各力对任一点O的矩的代数和也等于零。的矩的代数和也等于零。两力矩式（两点式）：两力矩式（两点式）：注意：注意：AB连线不与连线不与x轴垂直。轴垂直。三力矩式：三力矩式：注意：注意：A、B、C三点不能共线。三点不能共线。76l l平面平行力系、汇交力系及力偶系均为平面一般力平面平行力系、汇交力系及力偶系均为平面一般力系的特殊情况，所有平面力系的平衡问题均可用平面系的特殊情况，所有平面力系的平衡问题均可用平面一般力系的平衡方程求解。一般力系的平衡方程求解。平面平行力系：平面平行力系：（取（取y轴与各力平行，则轴与各力平行，则 自然满足）自然满足）平面汇交系：平面汇交系：（以汇交点为简化中心，则不管是否平衡（以汇交点为简化中心，则不管是否平衡 均成立，不再是平衡的必要条件，故可舍去）。均成立，不再是平衡的必要条件，故可舍去）。平面力偶系：平面力偶系：（自然满足）自然满足）77例例6：均质杆：均质杆AB重重Q，=30,=60求绳拉力求绳拉力和铰和铰A约束反力。约束反力。78解解：以杆：以杆AB为研究对象，画受力图，取坐标系为研究对象，画受力图，取坐标系xAy，由，由可得可得所以所以（负号表示与实际方向相反）（负号表示与实际方向相反）79 例例7：折梯放在光滑水平面上，铅垂力：折梯放在光滑水平面上，铅垂力F及、及、h、a、为已知，不计梯重，求绳为已知，不计梯重，求绳DE的拉力。的拉力。80解：以折梯整体为研究对象，受力如图。解：以折梯整体为研究对象，受力如图。由由MB=0得得 再以右半梯再以右半梯AC为研究对象为研究对象，受力如图。以，受力如图。以两未知力交点两未知力交点A为矩心，由为矩心，由 81 例例8：管道支架：管道支架ABC，A、B、C均铰接，已知支均铰接，已知支架承受两管道的重量均为架承受两管道的重量均为G=4.5kN，图中尺寸均为，图中尺寸均为mm。试求。试求AB、BC杆受力。杆受力。82解：以杆解：以杆AB为研究对象，受力如图（杆为研究对象，受力如图（杆BC为二力杆为二力杆-不计自重）由不计自重）由 得：得：83四、固定端约束四、固定端约束l l固定端约束固定端约束-既不能移动，又不能向任何方既不能移动，又不能向任何方向转动的约束。如：向转动的约束。如：84l l在在给给定力定力F 作用下作用下A端既有移端既有移动动又有又有转动转动的的趋势趋势，各点各点约约束力大小及方向各不相同，构成一平面一束力大小及方向各不相同，构成一平面一般力系，向般力系，向A点点简简化，得化，得约约束力主矢束力主矢FA与主矩与主矩 MA，主矢主矢FA 也可用两个正交分力表示。也可用两个正交分力表示。85五、静定与静不定问题五、静定与静不定问题l l静定问题静定问题未知力数未知力数独立平衡方程数，利独立平衡方程数，利用平衡方程可解出全部未知力。用平衡方程可解出全部未知力。l l静不定问题静不定问题未知力数独立平衡方程数，未知力数独立平衡方程数，必须增列补充方程才能解出全部未知力。必须增列补充方程才能解出全部未知力。l l求解静不定问题的方法将在材料力学中介绍。求解静不定问题的方法将在材料力学中介绍。86 例例9：求镗杆固定端约束力。已知：求镗杆固定端约束力。已知Fx=3000N，Fy=600N，l=200mm，D=50mm。镗杆自重不计。镗杆自重不计。解：以镗杆为对象，画受力图，取坐标系解：以镗杆为对象，画受力图，取坐标系xAy，并以，并以A为矩心。由为矩心。由X=087例例10：伸伸臂臂式式起起重重机机如如图图所所示示，匀匀质质伸伸臂臂AB重重G=2200N，吊吊车车D，E连连同同吊吊 起起 重重 物物 各各 重重 F1=F2=4000N。有有 关关 尺尺 寸寸 为为：l=4.3m，a=1.5m，b=0.9m，c=0.15m，=25。试试求求铰铰链链A对对臂臂AB的的水水平平和和铅铅直直约约束束力力，以以及及拉拉索索BF的拉力。的拉力。a a c cb b