《流体力学》第十章相似性原理与因次分析.ppt

第十章第十章 相似性原理和因次分析相似性原理和因次分析n n流体力学实验是研究问题的重要手段。流体力学实验是研究问题的重要手段。n n相似性原理用于指导实验非常有用。相似性原理用于指导实验非常有用。n n相似性原理所研究的是相似性原理所研究的是相似物理现象相似物理现象之之间的关系。只有间的关系。只有同类同类的物理现象之间才的物理现象之间才能谈论相似问题。能谈论相似问题。同类的物理现象：同类的物理现象：是指那些用是指那些用相同形式并相同形式并具有相同内容的微分方程式所描写的现象具有相同内容的微分方程式所描写的现象。电场和导热物体的温度场之间只有类比或电场和导热物体的温度场之间只有类比或比拟，但不存在相似。比拟，但不存在相似。第一节第一节 力学相似性原理力学相似性原理n n如果两个如果两个同一类同一类的物理现象，在对应的物理现象，在对应的的时空点时空点，各标量物理量的大小成比，各标量物理量的大小成比例，各向量物理量除大小成比例外，例，各向量物理量除大小成比例外，且方向相同，则称且方向相同，则称两个现象是相似的两个现象是相似的。n n相似的条件：相似的条件：几何相似几何相似、运动相似运动相似、动力相似动力相似以及两个流动的以及两个流动的边界条件和边界条件和起始条件相似起始条件相似。几何相似几何相似n n几何相似是指流动空间几何相似。即形几何相似是指流动空间几何相似。即形成此空间任意相应两线段夹角相等，任成此空间任意相应两线段夹角相等，任意相应线段长度保持一定的比例。意相应线段长度保持一定的比例。原型管流原型管流原型管流原型管流模型管流模型管流模型管流模型管流几何相似几何相似长度比例常数：长度比例常数：几何相似是力学相似的前提。几何相似是力学相似的前提。原型管流原型管流原型管流原型管流模型管流模型管流模型管流模型管流运动相似运动相似n n两流体两流体运动相似运动相似：要求两流动的相应流线：要求两流动的相应流线几何相似，或者说：几何相似，或者说：相应点的流速大小成相应点的流速大小成比例，方向相同比例，方向相同。速度比例常数：速度比例常数：时间比例常数：时间比例常数：由于流速场的研究是流体力学的首要任务，由于流速场的研究是流体力学的首要任务，运动相似通常是模型实验的目的运动相似通常是模型实验的目的。动力相似动力相似n n两流体动力相似，要求两流动同名两流体动力相似，要求两流动同名力作用，相应的同名力成比例。力作用，相应的同名力成比例。n n同名作用力，指的是同一物理性质同名作用力，指的是同一物理性质的力，如重力，粘性力，压力，惯的力，如重力，粘性力，压力，惯性力，弹性力等。性力，弹性力等。动力相似是运动相似的保证动力相似是运动相似的保证第二节第二节 相似准数相似准数n n由动力相似的定义由动力相似的定义推导相似准数：推导相似准数：由于惯性力与运动相似直接相关，把以上关系写为：由于惯性力与运动相似直接相关，把以上关系写为：原型流动原型流动原型流动原型流动模型流动模型流动模型流动模型流动以惯性力和重力相似的关系为例：以惯性力和重力相似的关系为例：弗诺得数相等弗诺得数相等n n以上提出的一系列数：欧拉数、弗诺得数、以上提出的一系列数：欧拉数、弗诺得数、雷诺数、马赫数都是反映动力相似的相似雷诺数、马赫数都是反映动力相似的相似准数。准数。欧拉数欧拉数是是压力压力的相似准数的相似准数弗诺得数弗诺得数是是重力重力的相似准数的相似准数雷诺数雷诺数是是粘性力粘性力的相似准数的相似准数马赫数马赫数是是弹性力弹性力的相似准数。的相似准数。n n两个流动现象如果是动力相似的，则它们两个流动现象如果是动力相似的，则它们的同名准则数相等。的同名准则数相等。相似理论中的定理：相似理论中的定理：第一定理：两个相似的现象，它们的同名相第一定理：两个相似的现象，它们的同名相似准数必定相等。似准数必定相等。第二定理：由定性物理量组成的相似准数，第二定理：由定性物理量组成的相似准数，相互间存在函数关系。相互间存在函数关系。第三定理：两个现象相似的充分必要条件除第三定理：两个现象相似的充分必要条件除了相似准数相等外，还包括单值性条件相似。了相似准数相等外，还包括单值性条件相似。单值性条件相似包括几何相似，边界条件和单值性条件相似包括几何相似，边界条件和初始条件相似，以及由单值性条件所导出的初始条件相似，以及由单值性条件所导出的相似准数相等。相似准数相等。例如：在考虑不可压缩流体流动的动力相似时，例如：在考虑不可压缩流体流动的动力相似时，决定流动平衡的四种力，粘滞力、压力、重力决定流动平衡的四种力，粘滞力、压力、重力和惯性力并非都是独立的，其中必有一力是被和惯性力并非都是独立的，其中必有一力是被动的，只要三个力分别相似，则第四个力必然动的，只要三个力分别相似，则第四个力必然相似。因此，在决定动力相似的三个准则数相似。因此，在决定动力相似的三个准则数Eu,Eu,Fr,ReFr,Re中，也必有一个被动的，相互之间存在中，也必有一个被动的，相互之间存在依赖关系依赖关系 Eu=f(Fr,Re)Eu=f(Fr,Re)。准则数之间的函数关系称为准则方程。准则数之间的函数关系称为准则方程。n n近似模型法：近似模型法：n n弗诺得模型法弗诺得模型法适用于水工结构、明渠水流、适用于水工结构、明渠水流、波浪阻力、闸孔出流等。波浪阻力、闸孔出流等。n n雷诺模型法雷诺模型法适用于管中流动、液压技术、适用于管中流动、液压技术、孔口出流、水力机械等。孔口出流、水力机械等。n n欧拉模型法欧拉模型法适用于自动模型区的管流、风适用于自动模型区的管流、风洞实验、气体绕流等。洞实验、气体绕流等。不能保证全面力学相似的模不能保证全面力学相似的模型设计方法。在一个具体问题上。不同的型设计方法。在一个具体问题上。不同的力重要性不同，只要保证实验在主要问题力重要性不同，只要保证实验在主要问题上不失真，就无碍于实际问题的研究。上不失真，就无碍于实际问题的研究。n n自动模型区（自模拟区）（自模区）：自动模型区（自模拟区）（自模区）：当某一相似准则在一定的数值范围内，当某一相似准则在一定的数值范围内，流动的相似性与该准则数无关，也就是流动的相似性与该准则数无关，也就是即使原型和模型的该准则数值不相等，即使原型和模型的该准则数值不相等，流动仍保持相似。准则数的这一范围就流动仍保持相似。准则数的这一范围就称为自动模型区，并说流动进入了该准称为自动模型区，并说流动进入了该准则数的自动模型区。则数的自动模型区。例例10-110-1、2 2第四节第四节 因次分析法因次分析法因次分析的概念和原理因次分析的概念和原理n n因次是指物理量的性质和类别。因次是指物理量的性质和类别。n n因次分析法就是通过现象中物理量的因次以及因因次分析法就是通过现象中物理量的因次以及因次之间相互联系的各种性质的分析来研究现象相次之间相互联系的各种性质的分析来研究现象相似性的方法。似性的方法。n n七个基本因次（量纲）：时间七个基本因次（量纲）：时间(T)(T)、长度、长度(L)(L)、质、质量量(M)(M)、温度、温度()、物质的量、电流、光强。、物质的量、电流、光强。n n对可压缩流动，常采用质量、长度、时间、温度对可压缩流动，常采用质量、长度、时间、温度作为基本因次。作为基本因次。因次分析法：因次分析法：定理：一个表示定理：一个表示n n个物理量间关系的个物理量间关系的量纲一致的方程式，一定可以转换成包量纲一致的方程式，一定可以转换成包含含n-mn-m个独立的无量纲物理量群间的关系个独立的无量纲物理量群间的关系式。式。m m指指n n个物理量中所涉及到的基本量个物理量中所涉及到的基本量纲的数目。纲的数目。定理定理这这n n个物理量中所涉及到的基本量纲有个物理量中所涉及到的基本量纲有3 3个个,则则其中其中 为因次独立的重复变量为因次独立的重复变量例例10-3:10-3:由实验可知有压管中的压强损失与管长由实验可知有压管中的压强损失与管长l,l,管径管径d d，管壁粗糙度，管壁粗糙度K,K,流体运动粘性系数流体运动粘性系数,密密度度和平均流速和平均流速v v有关有关,试用因次分析法确定压强试用因次分析法确定压强损失的计算公式损失的计算公式.解：各变量的量纲为：解：各变量的量纲为：变量变量变量变量ppppl l l ld d d dK K K Kv v v v单位单位单位单位PaPaPaPam m m mm m m mm m m mm m m m2 2 2 2/s/s/s/skg/mkg/mkg/mkg/m3 3 3 3m/sm/sm/sm/s量纲量纲量纲量纲MLMLMLML-1-1-1-1T T T T-2-2-2-2L L L LL L L LL L L LL L L L2 2 2 2T T T T-1-1-1-1MLMLMLML-3-3-3-3LTLTLTLT-1-1-1-1含有三个基本量纲：含有三个基本量纲：M M，L L，T T取取d,v,d,v,为基本量，则为基本量，则以以1 1为例：为例：所以：所以：由由定理得：定理得：同理可得：同理可得：函数的具体形式由实验确定函数的具体形式由实验确定,由实验可知：由实验可知：这样这样,运用运用定理定理,结合实验结合实验,得到达西公式得到达西公式例如想确定例如想确定的计算式，用的计算式，用因次分析法不仅可导出相似准数和结合实验得到准因次分析法不仅可导出相似准数和结合实验得到准则方程则方程,同样可用于实验方案的确定、模型的设计同样可用于实验方案的确定、模型的设计同和实验数据的整理等。同和实验数据的整理等。如果每个变量改变如果每个变量改变1010次，则需做实验次数分别为次，则需做实验次数分别为这样这样,运用运用定理定理,能大幅度减少实验次数，能大幅度减少实验次数，又能得到具有通用性的实验结果又能得到具有通用性的实验结果10102 2次次10104 4次次选多了选多了应用因次分析法时应用因次分析法时,至关重要的问题是至关重要的问题是:研究复杂化研究复杂化规律错误规律错误如何正确选定所有有影响的因素如何正确选定所有有影响的因素选少了选少了相似理论和因次分析法在实验流体力学中相似理论和因次分析法在实验流体力学中得到了广泛的应用得到了广泛的应用,要真正掌握要真正掌握,最好亲自最好亲自参与实验的全过程参与实验的全过程,包括制定实验方案包括制定实验方案,模型设计及实验数据的整理和应用等。模型设计及实验数据的整理和应用等。解：各量纲为：解：各量纲为：例题例题1 1：三角形水堰的流量：三角形水堰的流量Q Q与堰上水头与堰上水头H H及重力加及重力加速度速度g g有关，试用因次分析法确定有关，试用因次分析法确定Q=fQ=f（H H，g g）的关）的关系式。系式。设设 ，则，则物理量物理量物理量物理量Q Q Q QH H H Hg g g g量纲量纲量纲量纲L L L L3 3 3 3T T T T-1-1-1-1L L L LLTLTLTLT-2-2-2-2由由L L的幂次相等得：的幂次相等得：由由T T的幂次相等得：的幂次相等得：于是于是例题例题2 2：为了求得水管中蝶阀的特性：为了求得水管中蝶阀的特性,预先在空预先在空气中做模型实验气中做模型实验,两种阀的两种阀的角相同角相同,已知原型已知原型中流量为中流量为8m8m3 3/s,/s,直径直径D D1 1=2.5m,=2.5m,模型中空气密度模型中空气密度2 2=1.25kg/m=1.25kg/m3 3,流量流量Q Q2 2=1.6m=1.6m3 3/s,/s,直径直径D D2 2=250mm,=250mm,测得模型中阀前后的压强损失为测得模型中阀前后的压强损失为pp2 2=275mm=275mm水水柱柱,作用力作用力P P2 2=140N,=140N,作用力矩作用力矩M M2 2=3Nm,=3Nm,实验是根实验是根据力学相似设计的据力学相似设计的,求速度比例常数求速度比例常数v v,长度比长度比例常数例常数l l,密度比例常数密度比例常数,及实物阀上的及实物阀上的pp1 1,P,P1 1和和 M M1 1。例题例题3 3：汽车高度：汽车高度h h1 1=2m,=2m,速度速度u u1 1=108m/h,=108m/h,行驶环行驶环境为境为2020时的空气，模型实验空气为时的空气，模型实验空气为00，气，气流速度为流速度为u u2 2=60m/s,=60m/s,(1)(1)试求模型中的汽车高度试求模型中的汽车高度h h2 2？(2)(2)在模型中测得正面阻力为在模型中测得正面阻力为P P2 2=1500N,=1500N,试求实试求实物汽车行驶时的正面阻力多少？物汽车行驶时的正面阻力多少？例题例题4 4：经过孔口出流的流量与孔口直径：经过孔口出流的流量与孔口直径d d，流，流体压强体压强p p，流体密度，流体密度有关，试用量纲分析法有关，试用量纲分析法确定流量的函数式。确定流量的函数式。例题例题5 5：水翼船的阻力：水翼船的阻力F Ff f与翼弦长度与翼弦长度l,l,翼型截面翼型截面积积A,A,航行速度航行速度U,U,水的密度水的密度,水的粘度水的粘度有关有关,取取U,A,U,A,为基本量为基本量,用用定理确定阻力的函数定理确定阻力的函数关系式关系式.