中值定理与导数应用习题.pps

第三章第三章中值定理与导数中值定理与导数的应用的应用(习题课习题课)题组题组一：一：中值定理中值定理1.考察函数在 0,2 上关于拉格朗日定理的正确性.解解:(1)验证 f(x)在 x=1处的连续性。(2)验证 f(x)在 x=0处右连续;x=2处左连续。(3)验证 f(x)在 x=1处的可导性。2.求下列极限解解:（2）解解:（3）解解:（4）解解:因为所以原式=3.设 f(x)在证明:当是同阶无穷小.证明证明:x0的某一邻域内具有二阶导数,且接3.且(非零常数)故当是同阶无穷小.4.证明:当 x 1时,证明证明:接4.取 x=1 得5.证明函数的导数在(a,b)内必有零点.证明证明:Rolle定理6.设 f(x)可导,的零点.证明证明:显然 F(x)在 x1,x2 上满足Rolle定理,试证在 f(x)的两个零点之间必有7.设 f(x)在试证方程在内有唯一实数根.证明证明:先证根的存在性.a,+)上连续,在(a,+)内可导且接7.由零点定理知在内有实数根.再证根的唯一性故在内有唯一实根.综合以上两部分可知结论成立.8.设 f(x)在试证:在(0,1)内至少有一点 ,使证明证明:由零点定理得:在0,上应用Rolle定理得:0,1 上连续,在(0,1)内可导且9.设 f(x)和g(x)且对一切 x(a,b)有则必存在使证明证明:将结果变形为:在 a,b 上连续,在(a,b)内可导接9.于是有10.设 f(x)在 0,1 试证:在(0,1)内至少 有一点 ,使证明证明:显然 F(x)在0,1上满足Rolle中值定理.上连续,在(0,1)内可导且1.讨论方程并求出它们所在的区间.解解:题组二：导数的应用x的实数根的个数,接1.xyo因此方程有唯一实数根介于2.设 f(x)连续则在 x=0 处 f(x)为_.A.不可导B.可导且C.取极大值D.取极小值解解:且 f(0)=0,接2.极限的局部保号性 x=0为函数极小值点.3.设 f(x)在 x=x0的如果而讨论 x=x0为极值点还是(x0,f(x0)为拐点.解解:(x0,f(x0)为拐点.某一邻域内具有三阶连续导数,接3.由泰勒公式得(x0,f(x0)不是极值点.4.试确定常数与曲线在 x=0 处有相同的切线和曲率.解解:a,b,c 使抛物线记因两曲线同过所以有因两曲线在有相同的斜率，所以有接4.因两曲线在有相同的曲率，所以有又因为所以5.设f(x)在在 x=a (a 0)有极值,试证:曲线f(x)在(a,f(a)处的切线过原点.证明证明:(-,+)上可微,函数曲线在处的切线为因为在取得极值，所以而接5.所以将其代入切线方程得于是切线过原点。6.求数列解解:的最大值.xyo7.过曲线上的点 P 作 L 的切线,此切线与坐标轴相交于点M,N,试求点 P 的坐标,使 O M N 的面积最小.解解:PMN-1设 P点坐标为(x,y)，则切线方程为得M，N点的坐标分别为又知分别令接7.xyoPMN-1这时令得而为符合定义的唯一驻点，由题意知面积最小值一定存在，故就是最小值点，因此8.证明不等式证明证明:设则因此该函数在单调减、无驻点、无不可导点，于是在端点处，函数取得最小值，所以即不等式成立。(2)证明证明:设则令得为唯一驻点。又知所以于是为的最小值，所以故(3)设 x(0,1),证明证明:设接(3)单调减单调减单调减9.求使不等式成立的最小正数 a.解解:问题转化为求的最大值.而令令所以接9.因此为为函数函数的的唯一极大值点，唯一极大值点，当然为最大值点，于是的最大值为故