福州大学大学物理(上)第2章-质点动力学讲解学习.ppt

1福州大学大学物理(上)第2章-质点动力学2牛顿第二定律：牛顿第二定律：物体受到外力作用时，它所获得的加物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。反比，加速度的方向与合外力的方向相同。数学形式：数学形式：或或在直角坐在直角坐标标系系Oxyz中：中：在自然坐在自然坐标标系中系中：32.牛顿第二定律牛顿第二定律给出了惯性的确切定义：质量是物体给出了惯性的确切定义：质量是物体惯性的量度。质量越大惯性越大，改变物体的运动状惯性的量度。质量越大惯性越大，改变物体的运动状态就越不容易；态就越不容易；说明：说明：1.牛牛顿顿第二定律中第二定律中 和和 的关系的关系为为瞬瞬时时关系。关系。牛顿第三定律（作用力与反作用规律）：牛顿第三定律（作用力与反作用规律）：作用力和作用力和反作用力总是大小相等、方向相反、作用在同一条反作用力总是大小相等、方向相反、作用在同一条直线上。直线上。说明：说明：牛顿第三定律对力的性质加以补充，力的来源牛顿第三定律对力的性质加以补充，力的来源为物体间的的相互作用，为物体间的的相互作用，数学形式：数学形式：42.1.2 2.1.2 力学中常见的几种力力学中常见的几种力 1.1.万有引力万有引力万有引力定律：万有引力定律：任何两个任何两个质质点之点之间间都存在互相作用都存在互相作用的引力的引力,引力的方向沿着两个引力的方向沿着两个质质点的点的连线连线方向；其大方向；其大小与两个小与两个质质点点质质量量ml和和m2的乘的乘积积成正比，与两成正比，与两质质点点之之间间的距离的距离R的平方成反比。的平方成反比。数学数学矢量矢量形式：形式：是由施力是由施力质质点指向受力点指向受力质质点的点的单单位矢量，位矢量，称称为为引力常量引力常量负负号表示万有引力号表示万有引力 的方向与的方向与 的方向相反。的方向相反。5惯性质量惯性质量是用来衡量物体惯性大小的物理量，它决定了是用来衡量物体惯性大小的物理量，它决定了一个物体惯性的大小。一个物体惯性的大小。引力质量引力质量是用来衡量两个物体之间引力大小的物理量。是用来衡量两个物体之间引力大小的物理量。引力质量决定该物体与其他物体间的引力大小。引力质量决定该物体与其他物体间的引力大小。引力质量与惯性质量在数值上是相等的。引力质量与惯性质量在数值上是相等的。引力引力重力重力重力是物体所受地球引力的一个分量。重力是物体所受地球引力的一个分量。在地球表面附近：在地球表面附近：在地面附近在地面附近h高度处：高度处：62.2.弹力弹力弹力：弹力：发生形变的物体，由于力图恢复原状，对与它发生形变的物体，由于力图恢复原状，对与它接触的物体产生的作用力。如压力、张力、拉力、支接触的物体产生的作用力。如压力、张力、拉力、支持力、弹簧的弹力。持力、弹簧的弹力。（1）轻绳中的张力轻绳中的张力T T处处相同，指向绳子收缩方向。处处相同，指向绳子收缩方向。（3）弹簧中的弹力弹簧中的弹力F=-kx指向弹簧原长处（指向弹簧原长处（k为弹簧为弹簧的劲度系数的劲度系数）。）。（2）物体间的正压力、支持力总是垂直于接触点物体间的正压力、支持力总是垂直于接触点的切面指向对方。的切面指向对方。Ox73.3.摩擦力摩擦力（1 1）静摩擦力）静摩擦力 当物体与接触面存在相当物体与接触面存在相对对滑滑动趋势时动趋势时，物体所受到接，物体所受到接触面触面对对它的阻力。其方向与相它的阻力。其方向与相对对滑滑动趋势动趋势方向相反。方向相反。静摩擦力的大小随外力的静摩擦力的大小随外力的变变化而化而变变化。化。（2 2）滑）滑动动摩擦力摩擦力 当物体相当物体相对对于接触面滑于接触面滑动时动时，物体所受到接触面，物体所受到接触面对对它的阻力。其方向与滑它的阻力。其方向与滑动动方向相反。方向相反。为为滑滑动动摩擦系数摩擦系数最大静摩擦力：最大静摩擦力：S为为静摩擦系数静摩擦系数8万有引力万有引力是两个物体之间的相互作用力是两个物体之间的相互作用力电磁力电磁力是两个带电物体之间的相互作用力是两个带电物体之间的相互作用力强力强力是粒子之间的相互作用力，是维持原子核的结构是粒子之间的相互作用力，是维持原子核的结构的力，作用范围在的力，作用范围在0.4 10-15米至米至10-15米。米。弱力弱力也是粒子之间的相互作用力，是诱发原子核内中也是粒子之间的相互作用力，是诱发原子核内中子产生和衰变的力。力程短、力弱。子产生和衰变的力。力程短、力弱。注意：注意：电磁力远远大于万有引力！电磁力远远大于万有引力！自然界中的四种基本自然力：自然界中的四种基本自然力：92.1.3 2.1.3 牛顿运动定律的应用牛顿运动定律的应用 求解动力学问题的原则依据和思想方法求解动力学问题的原则依据和思想方法 力对质点运动情况的影响是通过加速度表现力对质点运动情况的影响是通过加速度表现出来的。出来的。牛顿运动定律与质点运动学相结合，就提供牛顿运动定律与质点运动学相结合，就提供了解决各种各样动力学问题的原则依据，其中了解决各种各样动力学问题的原则依据，其中“加速度加速度”这个物理量起着重要的这个物理量起着重要的“桥梁桥梁”作用。作用。质点在各个瞬时的加速度再附以适当的初始质点在各个瞬时的加速度再附以适当的初始条件，就完全可以确定物体的运动情况。条件，就完全可以确定物体的运动情况。反过来，知道质点的运动情况就能确定物体的反过来，知道质点的运动情况就能确定物体的加速度，而由加速度可以知道质点的受力情况。加速度，而由加速度可以知道质点的受力情况。101.确定研究对象，确定研究对象，对于物体系，画出隔离图对于物体系，画出隔离图；2.进行受力分析，画出受力图；进行受力分析，画出受力图；3.分析研究对象的运动过程，确定加速度分析研究对象的运动过程，确定加速度a；4.建立坐标系，列方程求解。建立坐标系，列方程求解。运用牛顿定律解决问题的步骤运用牛顿定律解决问题的步骤:应用牛顿运动定律求解问题，一般有两种类型：一应用牛顿运动定律求解问题，一般有两种类型：一类是已知力求运动，另一类是已知运动求力。类是已知力求运动，另一类是已知运动求力。重点掌握变力的问题重点掌握变力的问题!质质点点动动力学基本运力学基本运动动方程方程:11例：例：一根长为一根长为L，质量为，质量为M的柔软的链条，开始时链条的柔软的链条，开始时链条静止，长为静止，长为Ll 的一段放在光滑的桌面上的一段放在光滑的桌面上,长为长为l 的一段的一段铅直下垂。铅直下垂。(1)求整个链条刚离开桌面时的速度；求整个链条刚离开桌面时的速度；(2)求求链条由刚开始运动到完全离开桌面所需要的时间。链条由刚开始运动到完全离开桌面所需要的时间。12例：例：已知一质量为已知一质量为 m 的质点在的质点在 x 轴上运动轴上运动,质点只受质点只受到指向原点的引力作用到指向原点的引力作用,引力大小与质点离原点的距引力大小与质点离原点的距离离 x 的平方成反比的平方成反比,即即f=-k/x2,k 是比例常数是比例常数,设质点设质点在在 x=A 时的速度为零时的速度为零,求求 x=A/2 处的速度大小。处的速度大小。13解解:小球受力如图，根据牛顿第二定律小球受力如图，根据牛顿第二定律:例：例：质量为质量为 m 的小球在水中受的浮力为常力的小球在水中受的浮力为常力 F,当它静当它静止开始沉降时止开始沉降时,受到水的沾滞阻力为受到水的沾滞阻力为 f=kv（k为常数为常数）,求小球在水中竖直沉降的速度求小球在水中竖直沉降的速度 v 与时间与时间 t 的关系。的关系。14例：例：铅直平面内的圆周运动。如图所铅直平面内的圆周运动。如图所示，长为示，长为l的轻绳，一端系质量为的轻绳，一端系质量为 m 的小球，另一端系于定点的小球，另一端系于定点O。开始时。开始时小球处于最低位置。若使小球获得如小球处于最低位置。若使小球获得如图所示的初速图所示的初速 v0，小球将在铅直平面，小球将在铅直平面内作圆周运动。求小球在任意位置的内作圆周运动。求小球在任意位置的速率速率 v 及绳的张力及绳的张力 T。解：解：t=0时，小球位于最低点，速率为时，小球位于最低点，速率为 v0。时刻时刻 t 时，小球位于时，小球位于 P 点，轻绳与铅直成点，轻绳与铅直成 角，速角，速率为率为 v。建立自然坐标系建立自然坐标系，由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：15有有由由（1）式右边上下同乘式右边上下同乘将上式代入将上式代入（2）式，得：式，得：16*2.1.4*2.1.4 非惯性系非惯性系 惯性力惯性力 非惯性系：非惯性系：相相对对于于惯惯性系做加速运性系做加速运动动的参考系。的参考系。在非在非惯惯性系内牛性系内牛顿顿定律不成立。定律不成立。1.1.平动加速系平动加速系 设有一质点质量为设有一质点质量为m m，相对于某一惯性系，相对于某一惯性系S S，根据，根据牛顿第二定律，有：牛顿第二定律，有：（1）设设有另一参照系有另一参照系S/，相，相对对于于惯惯性系性系S以加速度以加速度 平平动，在动，在S/参照系中，质点的加速度为参照系中，质点的加速度为 ，由运由运动动的相的相对对性，有：性，有：（2）17（2）式）式代入（代入（1）式，得：）式，得：即：即：（3）结论：结论：S/参照系中，质点受的合外力参照系中，质点受的合外力 并不等于并不等于 ，因此牛顿运动定律在参照系中并不成立。因此牛顿运动定律在参照系中并不成立。惯惯性力：性力：为为了在非了在非惯惯性系内性系内形式地应用牛顿第二定律而形式地应用牛顿第二定律而引引进进的一个虚构的力。的一个虚构的力。在加速平动参照系中：在加速平动参照系中：此此时时，（4）式就在形式上与牛顿第二定律保持一致。）式就在形式上与牛顿第二定律保持一致。（4）（1）（2）18在加速平动参照系中：在加速平动参照系中：说明：说明：与非与非惯惯性系加速度的方向相反。性系加速度的方向相反。运运动质动质点的点的质质量量m m与非与非惯惯性系加速度性系加速度a a的乘的乘积积。惯惯性力大小：性力大小：惯惯性力方向：性力方向：1.惯性力不是物体间的相互作用力，而只是一种假想惯性力不是物体间的相互作用力，而只是一种假想力，它没有施力者，因而也没有反作用力。力，它没有施力者，因而也没有反作用力。2.惯性力只在非惯性系中才出现，它的大小和方向取惯性力只在非惯性系中才出现，它的大小和方向取决于参考系的非惯性性质。决于参考系的非惯性性质。19例：例：升降升降电电梯相梯相对对于地面以加速度于地面以加速度a 沿沿铅铅直向上运直向上运动动。电电梯中有一梯中有一轻轻滑滑轮绕轮绕一一轻绳轻绳，绳绳两端两端悬悬挂挂质质量量分分别为别为m1和和m2的重物（的重物（m1 m2）。求：（）。求：（1）物体）物体相相对对于于电电梯的加速度；（梯的加速度；（2）绳绳子的子的张张力。力。解：解：消去消去202.2.匀角速转动参考系中，静止物体的惯性力匀角速转动参考系中，静止物体的惯性力 圆盘以角速度圆盘以角速度 相对地面作匀速转相对地面作匀速转动，物体动，物体 m 在盘上静止。在盘上静止。地面惯性参考系：地面惯性参考系：m 作匀速率圆周运动，向心力是由作匀速率圆周运动，向心力是由细绳对小球的拉力提供的。细绳对小球的拉力提供的。式中：式中：为小球相对于盘心的位矢。为小球相对于盘心的位矢。圆盘参考系：圆盘参考系：m 仍受向心力，仍受向心力，但加速度为零，不满足牛顿定律。但加速度为零，不满足牛顿定律。21 在匀角速转动参考系中应用牛顿定律，在匀角速转动参考系中应用牛顿定律，必须设想物体又受到另外一个与拉力大小相必须设想物体又受到另外一个与拉力大小相等但方向相反的惯性力的作用，等但方向相反的惯性力的作用，这个惯性力是离心方向的，称为这个惯性力是离心方向的，称为惯性离心力惯性离心力。此时，在圆盘参考系，有：此时，在圆盘参考系，有：在圆盘参考系中在圆盘参考系中牛顿定律形式上成立。牛顿定律形式上成立。2.惯性离心力和向心力作用于同一物体，它不是向心力惯性离心力和向心力作用于同一物体，它不是向心力的反作用力。的反作用力。1.惯性离心力是虚构力，无施力物体，惯性离心力是虚构力，无施力物体，说明：说明：222.2 2.2 动量定理和动量守恒定律动量定理和动量守恒定律2.2.1 2.2.1 动量定理动量定理 1.1.动量动量 物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物体物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物体的质量有关。的质量有关。动量：动量：运动质点的质量与速度的乘积。运动质点的质量与速度的乘积。大小大小：m v；单位：单位：kgm/s方向：方向：速度的方向速度的方向；由由n n个质点所构成的质点系的动量：个质点所构成的质点系的动量：232.2.冲量冲量冲量反映力对时间的累积效应。冲量反映力对时间的累积效应。冲量：冲量：大小：大小：方向：方向：速度变化的方向速度变化的方向单位：单位：Ns恒力的冲量：恒力的冲量：运动员在投掷标运动员在投掷标枪时，伸直手臂，尽枪时，伸直手臂，尽可能的延长手对标枪可能的延长手对标枪的作用时间，以提高的作用时间，以提高标枪出手时的速度。标枪出手时的速度。243.3.质点动量定理质点动量定理牛顿运动定律：牛顿运动定律：动量定理的微分式：动量定理的微分式：如果力的作用时间从如果力的作用时间从 ，质点动量从，质点动量从 质点动量定理：质点动量定理：质点所受合外力的冲量，等于该质点质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量。动量的增量。质点动量定理积分式质点动量定理积分式25动量定理的分量式：动量定理的分量式：平均冲力：平均冲力：物体动量变化一物体动量变化一定的情况下，作定的情况下，作用时间越长，物用时间越长，物体受到的平均冲体受到的平均冲力越小；反之则力越小；反之则越大。越大。说明：说明：2.计算物体冲量时，只须知道质点始末两态的动量的计算物体冲量时，只须知道质点始末两态的动量的变化即可，无须确定各个外力变化即可，无须确定各个外力。1.冲量的方向与动量增量的方向一致。冲量的方向与动量增量的方向一致。26例：例：以速度以速度v0水平抛出一质量为水平抛出一质量为m的小球，小球与地面的小球，小球与地面作用后反弹为原高度作用后反弹为原高度h时速度仍为时速度仍为v0，作用时间，作用时间 t 求地求地面对小球的平均冲力。面对小球的平均冲力。274.4.质点系的动量定理质点系的动量定理处理方法：处理方法：先研究每一个质点，然后再对它们求和。先研究每一个质点，然后再对它们求和。对质点系中第对质点系中第i个质点应用动量定理，有：个质点应用动量定理，有：将上式对所有质点求和，得：将上式对所有质点求和，得：上式可写成：上式可写成：把作用力分为外力和内力，即：把作用力分为外力和内力，即：28系统末动量系统末动量系统初动量系统初动量质点系的动量定理：质点系的动量定理：质点系统所受合外力的冲量等于质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。系统总动量的增量。强调：强调：系统的系统的内力不能改变系统的总动量。内力不能改变系统的总动量。292.2.2 2.2.2 动量守恒定律动量守恒定律 质点系的动量定理：质点系的动量定理：当当 时：时：动量守恒定律：动量守恒定律：当系统所受的合外力为当系统所受的合外力为零零时，系统的时，系统的总动量守恒。总动量守恒。说明：说明：前者保证整个过程中动量守恒，后者只说明始末时前者保证整个过程中动量守恒，后者只说明始末时刻动量相同。刻动量相同。302.质点系所受合外力为质点系所受合外力为零零，每个质点的动量可能变，每个质点的动量可能变化，系统内的动量可以相互转移，但它们的总和保化，系统内的动量可以相互转移，但它们的总和保持不变。持不变。3.若合外力不为零，但在某个方向上合外力分量为若合外力不为零，但在某个方向上合外力分量为零零，则在该方向上动量守恒。，则在该方向上动量守恒。4.自然界中不受外力的物体是没有的，但如果系统自然界中不受外力的物体是没有的，但如果系统的内力的内力外力，可近似认为动量守恒。在碰撞、打外力，可近似认为动量守恒。在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往可忽击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力。略外力。5.动量守恒定律只适用于惯性系，在微观高速范围动量守恒定律只适用于惯性系，在微观高速范围仍适用。仍适用。31解：解：无牵引力和摩擦力，动量守恒。无牵引力和摩擦力，动量守恒。有牵引力：有牵引力：例：例：煤粉从漏斗中以煤粉从漏斗中以dm/dt的流速竖直卸落在沿平直轨道的流速竖直卸落在沿平直轨道行驶的列车中，列车空载时质量为行驶的列车中，列车空载时质量为M0，初速为，初速为v0，求在加求在加载过程中某一时刻载过程中某一时刻t 的速度和加速度。的速度和加速度。如果要使列车速度如果要使列车速度保持保持v0，应用多大的力牵引列车？，应用多大的力牵引列车？（忽略摩擦力）（忽略摩擦力）322.2.3 2.2.3 质心和质心运动定律质心和质心运动定律1.1.质心质心设由设由n个质点构成一质点系个质点构成一质点系 质量：质量：m1，m2，mn位矢：位矢：，直角坐标分量式直角坐标分量式 33连续体的质心位置：连续体的质心位置：直角坐标分量式直角坐标分量式：1.对于密度均匀，形状对称的物体，其质心都对于密度均匀，形状对称的物体，其质心都在它的几何中心。在它的几何中心。说明：说明：2.质心并不一定处在物体内部。质心并不一定处在物体内部。342.2.质心运动定理质心运动定理质心位置公式：质心位置公式：结论：结论：质点系的总动量等于总质量与其质心运动速质点系的总动量等于总质量与其质心运动速度的乘积。度的乘积。质点系的总动量质点系的总动量 质心运动的加速度质心运动的加速度35质心运动定理：质心运动定理：作用于质点系上的合外力等于质点系作用于质点系上的合外力等于质点系的总质量与质心加速度的乘积。的总质量与质心加速度的乘积。质心的两个重要性质：质心的两个重要性质：1.系统在外力作用下，质心的加速度等于外力的矢系统在外力作用下，质心的加速度等于外力的矢量和除以系统的总质量。量和除以系统的总质量。2.系统所受合外力为零时，质心的速度为一恒矢量，系统所受合外力为零时，质心的速度为一恒矢量，内力既不能改变质点系的总动量内力既不能改变质点系的总动量,也就不能改变质心也就不能改变质心的运动状态的运动状态 。36例：例：有质量为有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为地点为xC。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。解：解：在爆炸的前后，质心始在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为的落地点为xc c。xcx2ox372.3 2.3 角动量定理和角动量守恒定律角动量定理和角动量守恒定律2.3.1 2.3.1 角动量定理角动量定理 1.1.角动量角动量mo设：设：t t时刻质点的位矢时刻质点的位矢质点的动量质点的动量运动质点相对于参考原点运动质点相对于参考原点O的角动量定义为的角动量定义为：大小：大小：Lrmvsin 方向：方向：右手螺旋定则判定右手螺旋定则判定单位：单位：kgm2/s38如果质点绕参考点如果质点绕参考点O 做圆周运动做圆周运动1.角动量是描述转动状态的物理量角动量是描述转动状态的物理量；说明：说明：2.角动量与所取的惯性系有关；角动量与参考点角动量与所取的惯性系有关；角动量与参考点O的的位置有关。位置有关。设各质点对设各质点对O点的位矢分别为点的位矢分别为动量分别为动量分别为质点系的角动量质点系的角动量392.2.力矩力矩反映力的大小、方向和作用点对物体转动的影响反映力的大小、方向和作用点对物体转动的影响大小：大小：M MFrsinFrsin=Fd=Fdo od d方向：方向：右手螺旋定则判定右手螺旋定则判定单位：单位：NmNm（不能写为功的单位不能写为功的单位J J）力臂力臂d=rsin 力与力臂的乘积。力与力臂的乘积。设：设：t t时刻质点的位矢时刻质点的位矢质点的受力为质点的受力为外力外力 对参考点对参考点O O的力矩：的力矩：40设作用于质点系的作用力分别为：设作用于质点系的作用力分别为：作用点相对于参考点作用点相对于参考点O的位矢分别为：的位矢分别为：相对于参考点相对于参考点O的合力矩为：的合力矩为：注意合力矩与合力的矩注意合力矩与合力的矩的区别！的区别！413.3.质点的角动量定理质点的角动量定理质点的角动量质点的角动量 随时间的变化率为随时间的变化率为 式中式中角动量定理角动量定理微分形式微分形式结论：结论：质点对某一参考点的合外力矩等于质点对质点对某一参考点的合外力矩等于质点对同一参考点的角动量随时间的变化率。同一参考点的角动量随时间的变化率。42将将两边同时乘以两边同时乘以dt，得：，得：积分：积分：角动量定理角动量定理积分形式积分形式合力矩在合力矩在t0到到t时间内的冲量矩。时间内的冲量矩。结论：结论：质点角动量的增量等于作用于质点上的冲量矩。质点角动量的增量等于作用于质点上的冲量矩。4.4.质点系的角动量定理质点系的角动量定理第第i个个质质点所受到的系点所受到的系统统外物体外物体对对它的合作用力，它的合作用力，第第i个质点所受到的系统内第个质点所受到的系统内第j个质点对它的作用力，个质点对它的作用力，第第i个质点相对固定参考点个质点相对固定参考点O的位矢，的位矢，43对第对第i个质点应用质点的角动量定理，有：个质点应用质点的角动量定理，有：对系统内所有质点求和，得到对系统内所有质点求和，得到为质为质点系所受的合外力矩，点系所受的合外力矩，为为各各质质点所受的合内力矩的矢量和。点所受的合内力矩的矢量和。式中：式中：有：有：44式中：式中：结论：结论：质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于系统所受各个外力对同一参考点力矩之矢量和。于系统所受各个外力对同一参考点力矩之矢量和。质点系角动量定理质点系角动量定理微分形式微分形式质点系角动量定理的积分式：质点系角动量定理的积分式：结论：结论：作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时间作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时间内的角动量的增量内的角动量的增量 。452.3.2 2.3.2 角动量守恒定律角动量守恒定律 无论是一个质点还是由无论是一个质点还是由n个质点所组成的质点系：个质点所组成的质点系：质点或质点系的角动量守恒定律：质点或质点系的角动量守恒定律：当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。角动量守恒定律是自然界的一条普遍定律，角动量守恒定律是自然界的一条普遍定律，它有着广泛的应用。它有着广泛的应用。46例例：在在光光滑滑的的水水平平面面上上,一一根根长长L=2m的的绳绳子子,一一端端固固定定于于O点点,另另一一端端系系一一质质量量为为m=0.5kg的的物物体体,开开始始时时,物物体体位位于于位位置置A，OA间间距距离离D=0.5m，绳绳子子处处于于松松弛弛状状态态,现现在在使使物物体体以以初初速速度度vA=4ms-1垂垂直直于于OA向向右右滑滑动动,如如图图所所示示。设设以以后后的的运运动动中中物物体体到到达达位位置置B,此此时时物物体体速速度度的的方方向与绳垂直向与绳垂直,求此时刻物体角动量的大小和速率。求此时刻物体角动量的大小和速率。解：解：在在A点角动量为：点角动量为：在在B点角动量为：点角动量为：根据角动量守恒定律，有：根据角动量守恒定律，有：由由得：得：47解：解：在彗星绕太阳轨道运转过程中，只受万有引力作用，在彗星绕太阳轨道运转过程中，只受万有引力作用，万有引力不产生力矩，系统角动量守恒。万有引力不产生力矩，系统角动量守恒。近近日日点点远远日日点点由质点的角动量定义：由质点的角动量定义：有有例：例：彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，问系统的角动量是否守恒？近日点与的一个焦点上，问系统的角动量是否守恒？近日点与远日点的速度谁大？远日点的速度谁大？式中式中482.4 2.4 功和能功和能2.4.1 2.4.1 动能定理动能定理 1.1.功和功率功和功率功是描写力对空间积累作用的物理量。功是描写力对空间积累作用的物理量。功的定义：功的定义：在力在力 的作用下，物体发生了的作用下，物体发生了位移位移 ，则把力在位移方向的分，则把力在位移方向的分力与位移力与位移 的乘积称为功。的乘积称为功。功的单位：功的单位：J J（焦耳）（焦耳）49元功：元功：质点由质点由a点沿曲线运动到点沿曲线运动到b点的过程中，变力点的过程中，变力 所所做的功做的功。在直角坐标系在直角坐标系Oxyz中：中：50在自然坐标系中：在自然坐标系中：质点从质点从s0位置沿曲线运动到位置沿曲线运动到s1位置时位置时：合力的功：合力的功：多个力对物体做功，等于各力对物体做功的代数和。多个力对物体做功，等于各力对物体做功的代数和。511.功是标量，只有大小正负之分。功是标量，只有大小正负之分。说明：说明：3.做功与参照系有关。做功与参照系有关。2.功功是力对空间的积累作用，是力对空间的积累作用，是过程量，与路径有关。是过程量，与路径有关。功率是反映做功快慢程度的物理量。功率是反映做功快慢程度的物理量。功率：功率：单位时间内所做的功。单位时间内所做的功。单位：单位：W=Js-1522.2.质点的动能定理质点的动能定理 质点质点m在力的作用下沿曲线从在力的作用下沿曲线从a点点移动到移动到b点，点，质点在质点在a点和点和b点的速度分点的速度分别为别为 和和 。元功：元功：是描写物体运动状态的物理量，称为是描写物体运动状态的物理量，称为动能动能 53质点的动能定理：质点的动能定理：作用在质点上的合力对质点所做作用在质点上的合力对质点所做的功等于质点动能的增量。的功等于质点动能的增量。1.动能是描写物体状态的物理量，物体状态的改变是动能是描写物体状态的物理量，物体状态的改变是靠做功实现的。靠做功实现的。说明：说明：2.功是功是过程量过程量，动能是，动能是状态量状态量，动能定理建立起过程量，动能定理建立起过程量功与状态量动能之间的关系。在计算复杂的外力做功时功与状态量动能之间的关系。在计算复杂的外力做功时只须求始末两态的动能变化，即求出该过程的功。只须求始末两态的动能变化，即求出该过程的功。功是能量变化的一种量度。功是能量变化的一种量度。543.3.质点系的动能定理质点系的动能定理（1 1）内力的功）内力的功为质为质点点j对质对质点点i的作用力，的作用力，为质为质点点i对质对质点点j的作用力，的作用力，设设t时刻第时刻第i和第和第j两个质点相对于某参考系的位矢分两个质点相对于某参考系的位矢分别为别为 和和 。在。在dt时间内第时间内第i和第和第j两个质点相对于该参考两个质点相对于该参考系有位移系有位移 和和 。这两个内力所做的元功之和这两个内力所做的元功之和：55为第为第i个质点相对于第个质点相对于第j个质点的位矢，个质点的位矢，为第为第i个质点相对于第个质点相对于第j个质点的位移。个质点的位移。同理：同理：为第为第i个质点相对于第个质点相对于第j个质点的位移。个质点的位移。结论：结论：相互作用的一对内力的元功之相互作用的一对内力的元功之和等于其中一个质点受的力与该质点和等于其中一个质点受的力与该质点相对于另一个质点的位移的标积。相对于另一个质点的位移的标积。一对相互作用的内力所做的功之和只决定于两质一对相互作用的内力所做的功之和只决定于两质点的相对位移，与所选的参考系无关。点的相对位移，与所选的参考系无关。56（2 2）质点系的动能定理）质点系的动能定理一个由一个由n个质点组成的质点系，考察第个质点组成的质点系，考察第i个质点。个质点。其中其中对所有质点求和：对所有质点求和：注意：注意：内内力可能改力可能改变系统的变系统的总动能。总动能。质点系的动能定理：质点系的动能定理：所有外力所做功和所有内力所做所有外力所做功和所有内力所做功之和等于质点系总动能的增量。功之和等于质点系总动能的增量。57例：例：质量为质量为2kg的质点在力的质点在力(SI)(SI)的作用的作用下，从静止出发，沿下，从静止出发，沿x x轴正向作直线运动。求前三轴正向作直线运动。求前三秒内该力所做的功。秒内该力所做的功。解法一：解法一：（一维运动可以用标量）（一维运动可以用标量）解法二：解法二：58例：例：如图所示，用质量为如图所示，用质量为m0 的铁锤把质量为的铁锤把质量为m 的钉的钉子敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的子敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入深度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入1cm深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完全相同，问第二次能把钉子敲入多深？全相同，问第二次能把钉子敲入多深？解：解：设铁锤敲打钉子前的速度为设铁锤敲打钉子前的速度为v0，敲打后两者的共同速度为敲打后两者的共同速度为v。有：。有：如图建立坐标系，设如图建立坐标系，设x为为铁钉进入木板的深度，则铁钉进入木板的深度，则木板对铁钉的阻力木板对铁钉的阻力为：为：59解得：解得：第二次能敲入的深度为：第二次能敲入的深度为：设设铁锤两次锤击时铁钉进入木板的深度分别为铁锤两次锤击时铁钉进入木板的深度分别为s1和和s2，根据动能定理，有：，根据动能定理，有：602.4.2 2.4.2 保守力和势能保守力和势能 1.1.保守力保守力（1 1）重力的功）重力的功 质量为质量为m的质点在重力作用下，从的质点在重力作用下，从a点沿任意路径运动到点沿任意路径运动到b点。点。za和和zb分别是物体的始末位置相对于分别是物体的始末位置相对于参考平面参考平面的高度。的高度。结论：结论：重力做功仅取决于质点的始末位置，与质点经重力做功仅取决于质点的始末位置，与质点经过的具体路径无关。过的具体路径无关。61（2 2）万有引力的功）万有引力的功 设质量为设质量为M的质点固定，另一质的质点固定，另一质量为量为m的质点在的质点在M 的引力场中从的引力场中从a点运点运动到动到b点。点。m受受M的万有引力为：的万有引力为：式中：式中：ra和和rb分别为初态和末态时分别为初态和末态时m相对于相对于M的距离的距离 结论：结论：万有引力做功只与质点的始、末位置有关，而万有引力做功只与质点的始、末位置有关，而与具体路径无关。与具体路径无关。62（3 3）弹力的功）弹力的功由胡克定律：由胡克定律：物体从物体从a点运动到点运动到b点时，弹性力对物体做功为：点时，弹性力对物体做功为：xa和和xb分别是物体的始末位置。分别是物体的始末位置。结论：结论：弹性力做功只与弹簧的起始和末了位置有关，弹性力做功只与弹簧的起始和末了位置有关，而与弹性变形的过程无关。而与弹性变形的过程无关。63 如果一对力所作的功与相对路径的形状无关，而如果一对力所作的功与相对路径的形状无关，而只决定于相互作用的质点的始末相对位置，这种力称只决定于相互作用的质点的始末相对位置，这种力称为为保守力保守力。沿任意闭合路径移动一周时沿任意闭合路径移动一周时,保守力所作的功所作保守力所作的功所作的功必然为零。的功必然为零。要计算保守力的功，可以任意选择你认为方便的路要计算保守力的功，可以任意选择你认为方便的路径积分求功。径积分求功。作功与路径有关的力为作功与路径有关的力为非保守力非保守力，如摩擦力如摩擦力。保守力性质：保守力性质：642.2.势能势能保守力做功引起的能量变化只取决于质点位置的变化。保守力做功引起的能量变化只取决于质点位置的变化。势能势能（Ep）:由物体的相对位置所确定的系统能量由物体的相对位置所确定的系统能量 当质点从当质点从a点运动到点运动到b点时，以点时，以EPa和和EPb分别表示质点在分别表示质点在a点和点和b点点所具有的势能，所具有的势能，保守力做功保守力做功Aab与势能的关系与势能的关系可表示为可表示为:结论：结论：系统状态变化时，保守力所做的功等于相应系统状态变化时，保守力所做的功等于相应势能增量的负值，或者说等于相应势能的减少。势能增量的负值，或者说等于相应势能的减少。65势能是一个相对的量。势能是一个相对的量。要确定质点系在任一给定位置时的势能值，就必须要确定质点系在任一给定位置时的势能值，就必须选择某一位置作为参考点，并规定这个参考位置的势选择某一位置作为参考点，并规定这个参考位置的势能为零。这一参考位置叫做能为零。这一参考位置叫做势能零点势能零点。如果把如果把b点作为势能零点，即规定点作为势能零点，即规定EPb=0，则空间，则空间a点点的势能为的势能为:结论：结论：质点在空间某点的势能在数值上等于质点从该点质点在空间某点的势能在数值上等于质点从该点沿任意路径移到势能零点的过程中保守力所做的功。沿任意路径移到势能零点的过程中保守力所做的功。势能的零点可以任意选取。势能的零点可以任意选取。66重力势能：重力势能：（地面（地面（h=0）为势能零点）为势能零点）弹性势能：弹性势能：（弹簧原长位置弹簧原长位置为势能零点）为势能零点）引力势能：引力势能：（无限远处为势能零点）（无限远处为势能零点）1.势能势能是由于物体的位置（或状态）的变化而具有的是由于物体的位置（或状态）的变化而具有的能量。能量。2.引入势能条件引入势能条件：质点系质点系;保守力作功。保守力作功。说明：说明：3.势能是系统的，说物体的势能不切确。势能是系统的，说物体的势能不切确。675.选择不同的势能零点，系统在同一位置的势能值是选择不同的势能零点，系统在同一位置的势能值是不同的。但根据不同的。但根据A=-(EPb-Epa)可知，某两个位置的可知，某两个位置的势能差是一定的，与势能零点的选择无关。势能差是一定的，与势能零点的选择无关。6.势能的绝对值没有意义，只关心势能的势能的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。相对值。4.保守力做功与势能的关系：保守力做功与势能的关系：A=-(EPb-Epa)=-EP。如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你就不会不关心它。你就不会不关心它。一块石头放在地面你对它并不关心。一块石头放在地面你对它并不关心。68例例：竖竖直直悬悬挂挂的的轻轻弹弹簧簧下下端端挂挂一一质质量量为为m m的的物物体体后后弹弹簧簧伸伸长长y y0 0且且处处于于平平衡衡。若若以以物物体体的的平平衡衡位位置置为为坐坐标标原原点点，相相应应状状态态为为弹弹性性势势能能和和重重力力势势能能的的零零点点，求求物物体体处处在在坐坐标为标为y y时系统弹性势能与重力势能之和。时系统弹性势能与重力势能之和。解：解：由题意有由题意有 以以物物体体的的平平衡衡位位置置为为坐坐标标原原点点，相相应应状状态态为为弹弹性性势势能能和重力势能的零点时和重力势能的零点时692.4.3 2.4.3 机械能守恒定律机械能守恒定律 1.1.质点系的功能原理质点系的功能原理质点系的动能定理：质点系的动能定理：机械能：机械能：其中其中70质点系的功能原理：质点系的功能原理：质点系机械能的增量等于所有质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保守内力所做功的代数和。外力和所有非保守内力所做功的代数和。说明：说明：1.注意与动能定理的区别。注意与动能定理的区别。2.功能定理也只适用于惯性系。功能定理也只适用于惯性系。动能定理给出的是动能的改变与功的关系，应计动能定理给出的是动能的改变与功的关系，应计算包括保守力在内的所有力的功；算包括保守力在内的所有力的功；功能原理给出的是机械能