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第一章函数 极限 连续 第一节函数 一、函数的基本概念 1.函数的定义 对 ,有唯一确定的实数 y 与之相对应，则称是的函数，记为=().2.函数的复合运算 设 y=f(u),u D2,u=(x),x D5.当 u=(x)的 值 域 是 D2的 子 集 时，y=f(x),x D5称为函数u=(x)与 y=f(u)的复合函数，变量 u 为中间变量.3.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合运算且能用一个式子表达的函数，称为初等函数。4.几个常用的特殊函数（1）取整函数：y=x,其中x表示不超过 x 的最大整数（2）符号函数：=;1,00,=01,0，x D，x T D且 f(x+T)=f(x),则称 f(x)是以 T 为周期的周期函数。函数周期性的判别方法：（1）利用周期性的定义（2）若 f(x)可导，则其导函数与 f(x)有相同的周期4 4.单调性 若 f(x)在区间上任意两点X,Y,(X Y),有 f(X)f(Y),则称 f(x)在区间上单调增加（减少）函数单调性的判别方法：若f(x)0(0)f(x)在区间上单调增加Z减少韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化典型例题分析 类型题一 函数的复合运算 例 1 设f(x)=e,fY(x)=1 x,且(x)0,求(x)的定义域.韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 2设f(x)=e,x 1.x,x 1g(x)=x+2,x 0,fii(x)0,则在Z，0内，下列选项正确的是()A.i(x)0,fii(x)0.B.i(x)0C.i(x)0,fii(x)0,fii(x)0韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 5:设函数 f(x)连续，则下列函数必为偶函数的是（）A.Y()Mp B.(Y)MpC.()()Mp D.()+()Mp韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 6f(x)=|stu(vY)(vX)(vY)w在区间()内有界。A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 7函数 f(x)=xsinx在(0,+)内是()A.无穷小 B.无穷大 C.有界量 D.无界量韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 8设 f(x)有二阶导数，且 f(x)=-f(-x),f(x)=f(x+1),f(1)0,则()A.f(-5)f(5)f(5)B.f(5)=f(-5)f(5)C.f(5)f(5)f(-5)D.f(5)0,0,当 0|p|时，有|f(x)A|0,0，当|X 时，有|f(x)A|;2.函数极限存在的充要条件limMMO()=limMMQ()=limMMf(x)=A3.函数极限存在的四则运算法则设()=,()=,则（1）()()=;（2）()()=;（3）(M)(M)=(0)二、函数极限的性质1.唯一性若()=,则必唯一。2.有界性若 limMMf(x)=A，则 0,0|p|0，当|X 时，有|f(x)|;3.保号性若 limf(x)=A 0,(0,当 0|x xp|0(0(0，当|X 时，有()0()()0,则称 是关于 的阶无穷小.4.常用的等价无穷小（当 0 时）,1 12Y,M 1,M 1,ln(1+),N(1+)1,(1+)1Z为实数5.无穷大（1）无穷大的定义：若()=,则称(x)是无穷大（2）无穷大与无穷小的关系：无穷大的倒数是无穷小，无穷小（不为 0）的倒数的无穷大。韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化四、函数极限的计算 1.函数极限的夹逼准则()()()()=()=()=2.两个重要极限（1）limMpMM=1（2）limMp(1+)=lim(1+X)=3.洛必达法则法则一：（1）limMM()=limMM()=0;（2）i(),i()在p的去心邻域内存在，且i()0；（3）limMM(M)(M)=Z或则 limMM(M)(M)limMM(M)(M)=Z或法则二：（1）limMM()=limMM()=;（2）i(),i()在p的去心邻域内存在（3）limMM(M)(M)=Z或则 limMM(M)(M)limMM(M)(M)=Z或韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化典型例题分析类型题一 利用两个重要极限求极限例 1求下列极限（1）limMpcX-NMXMd韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化更多考研押题资料视频，【公众号：小盆考研】免费提供无水印版由【公众号：小盆考研】免费提供无水印版由【公众号：小盆考研】免费提供更多考研数学预测卷，【公众号：小盆考研】，回复【数学预测】免费获取更多考研数学预测卷，【公众号：小盆考研】，回复【数学预测】免费获取更多考研数学视频文档资料，【公众号：小盆考研】，回复【数学】免费获取（2）limM(XM+XM)M韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化类型题二 利用等价无穷小代换求极限例 2求下列极限（1）limMpu(eM)M(wvX)韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化（2）limMpcXMXvQXMd韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 3求limMpXMcYeMdM 1韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 4求limMpeMv XwM(NeM)w韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 5设limMpN-NMP(XveM)e(XvYM)cXvQwd=2,其中Y+Y 0,则()A.b=4d Bb=-4d C.a=4c D.a=-4c韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化类型题三 利用有理化方法求极限例 6求limMpXveYMeMMw韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 7求 limMvY+韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化类型题四 利用左、右极限求极限例 8设()=N(vX)vX,0,求limMp()韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 9求limMpYX+M|M|韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 10求limMvwMNe-NMM韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化类型题五 利用洛必达法则求极限例 11求limM Yln(1+XM)韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 12求limMpMvstu(M)MM韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化类型题六 利用泰勒公式求极限常用的泰勒公式如下：（1）M=1+MwY!+M!+()（2）=M!+()（3）=1 MwY!+M!+()（4）ln(1+)=MwY+M+()（5）(1+)=1+(vX)Y!Y+(Y)（6）=+M+()（7）=M+()（8）=+M+()例 13设limMpMN(XM)PMMM=1,求,的值韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化类型题七 无穷小的比较例 14（1）当 0 时,(-NM M)与是同阶无穷小，求韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化(2)当 0 时,(1 )(1+Y)是比高阶的无穷小，而是比ZMw 1高阶的无穷小，求.韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 15设()=Y,()=1+,当 0 时,()与()是等价无穷小，则=？韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化类型题八 已知极限，确定参数或求另一个函数的极限例 16已知limMcMwXM d=0,求,的值韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 17已知limMpMvN()=5,求,的值韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 18设limMpX()QvX=9,求limMp(M)-NMvM韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化第三节数列极限一、数列极限的概念1.数列极限的定义 0,正整数，使得当 时，|0(时，0(0)（4）保序性：设),且 lim，lim均存在，则lim lim(lim lim)2.数列极限存在准则（1）夹逼准则：,lim=lim=lim=（2）单调有界准则：单调有界数列必有极限三、数列极限的计算韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化1.利用定积分的定义求无穷和式的极限lim+()=()PNX2.数列极限计算（证明）方法（1）变量连续化，即将 n 换为 x，将数列极限化为函数极限（海涅定理）（2）利用夹逼定理（3）利用单调有界准则（4）利用定积分的定义求无穷和式的极限韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦