2022年中侨高等数学说课稿关于第一类换元积分法的计算技巧说课稿 .docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高等数学关于第一类换元积分法说课稿一、关于教材1、高等数学在高职高专课程设置中的作用和位置高等数学是高职高专工科类或经济治理类各专业的一门重要的基础理论课. 通过本课程的学习,可以使同学初步明白和把握微积分的一些理论和运算方法, 为同学学习相关或后续课程奠定必备的数学基础.我院现在采纳的教材是由上海高校高等应用数学编写组编写的.教学中本着“以应用为目的,以必需够用 为度”的原就, 在保证学问体系的科学性和完整性的前提下,适度降低了理论性的要求, 削减了规律证明与理论推导,弱化了运算上的复杂性与技巧性,注意数学概念与实际问题的紧密联系,突出数学应用与创新思维的培育,充分表达高职的教学特色.2、本节在高等数学课程中的作用与内容上的前后联系一元函数积分的概念, 运算和应用是本课程的一个重点,而换元积分法是最常用的两种积分法之一. 本节内容是在同学学习了不定积分的概念、性质和基本积分公式的基础上进行的. 通过这节内容的学习, 同学可以处理更多类型的积分题目,并为后面定积分换元积分法的学习和应用打下基础.二、对同学的要求和期望达到的目标学习换元法之前, 要求同学懂得原函数和不定积分的概念, 明白导数运算和不定积分运算之间的逆运算关系, 把握不定积分的性质, 娴熟把握不定积分的基本公式.针对学情的很大差异,利用“分层次教学法”,对不同水平的同学设置两个不同的学习目标. 对基础较好, 对数学有很高校习爱好和热忱的同学,期望通过本节的学习,娴熟把握变量替换的方法,能娴熟应用基本公式推广之后的形式. 而基础薄弱的同学能懂得变量替换思想,处理常见形式的换元积分题目,达到基本要求即可.三、课堂教学设计通过引例导入法开头本节新的教学内容可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对引例2xsinx2 dx . 进行具体的分析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总结归纳解题过程中的四个步骤,得出第一类换元法的定理通过举例和课堂练习互动进一步把握第一类换元法小结四、具体教学过程1. 从复合函数求导法就谈起1）不定积分是求导运算的逆运算.这就启示我们从求导法就中寻求积分的方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于函数 ysinu ,假如u 是自变量,那么函数 ysinu 的导数 ycos u .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 u 不是自变量,而是自变量x 的函数,比如 ux 2 ,【问】 那么 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】（ 2xcosx 2 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2）假如u 是自变量,那么cosudusinuc .假如 u 不是自变量,而是自变可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_量 x 的函数,比如ux 2 ,【问】cosudusinuc 是否仍旧成立？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案仍旧成立 . 左=cosx 2d x 2 2xcosx 2dx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_右= sinx 2c ,而右端的导数sinx 2c 2xcos x 2 ,左=右.】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3）上面的结果告知我们：在不定积分基本公式中假如积分变量不是自变量x ,而中间变量 u （设 u x, x 连续）,那么公式仍旧成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：eudueuc.s inu d uc o suc等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【注】有了这个结果, 我们就可以将一些不能直接套用基本公式的积分,通过变量代换化成基本公式的形式而求得.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2引例分析：考察例1：2xsin x 2dx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：明显这个积分不是可以利用性质和基本积分公式直接解决的.引导同学观看被积函数的构成特点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x- - -x2 的导数即被积函数的两个因子有一个联系的纽带x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin x2- - -x2的函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,第一可以通过形式的变化,得到下面这一关键结果：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2xsinx2 dxsin x 2 x2 dxsinx2dx2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时,通过变量代换,比如设ux2 ,上面积分可改写为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_基本公式sin uducosuC ,再将 ux2 代入结果,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得到2 xsinx 2dxcos x 2C .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【归纳】.整个解题过程包括四个步骤：被积函数恒等变形变量替换按基本积分公式求积分变量回代.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再看一例：例 2：1cos 1 dx x2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 :1x 2变形1cosdx xcos 1x 1 dx xcos 1 d 1xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 u 1 x公式cosudusin uC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u 1回代xsin 1Cx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3第一类换元积分法定理以上解题过程就是第一类换元积分法.一般的有如下定理：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 1：设 Fu为 fu 的一个原函数,即：f uduF uC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u x 可导,就f x xd xfxd xFx . C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【选学证 由于 F u f u , 由复合函数的求导法就得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dFxF u x dxf u x fx x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这表示 Fx是fx x 的一个原函数,从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x x dxfxd x F x C 】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【注】通过定理的推导证明, 使同学加深积分运算中变量替换的懂得,明确了把基本公式中积分变量x 换成可导函数 u x 后公式仍能成立,从而扩大了基可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_本积分公式的应用范畴. 例如,由基本积分公式cosxdxsinxc 可以推出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos3x d3 x sin3x ccosex d exsinex c 等等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【归纳】第一类换元积分法求不定积分的步骤可表示为如下的一串表达式g x dxfxxdxfxdxf uduF u CFxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用时关键的一步在于将被积表达式g x dx 凑成两部分：其中一部分由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xdx凑成 dx.剩下的一部分为 fx,因而这种方法也称为凑微分法.方法娴熟后,虚线框部分可以省略,不必再设u x ,而是把因子 x 默记成 u ,直接套用积分公式即可.4课堂练习环节.教学互动,进一步使同学把握第一类换元积分法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3e2 x 1 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【分析】：被积函数是由两层简洁函数复合而成的复合函数.对比基本公式,如 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1能凑成2d2x1 ,即凑出内层函数,就可以换元后利用基本公式了可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 :e2x1dx变形（凑微分） 12e2 x 12x1 dx1e2 x21d 2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u 2x -1 12公式eu du1 euC2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_回代u2x -1 12e2 x 1C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：552x dx .（提问结果）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4：cos xdx sin x1【提示】 cos xdx 可以凑成dsinx dsinx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 :cos xdx sin x11sin xsin x11) dx1sin xd sin x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 du uln uC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln sin x1C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5：1dx.1【提示】dx可以凑成dlnx 1 d23 lnx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x23ln x解 :1dx1x31 23ln x dx11d 23ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x23ln x323ln x11du2uC 3u3323ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6：sin 2xdx .2 23 ln xC 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【提示】被积函数为三角函数,直接凑微分行不通时,可以先利用三角公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 2 x1cos 2x 2进行恒等变形,然后再进行凑微分.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解 :sinxdx1cos 2x dx2112cos2xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 dx21cos2xd2x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 x1 sin 2xC24相应练习： P145 / 2-19,23. 解题快的同学自行加练课后题3.个人指导,提问同学关键步骤和结果.布置练习 P145 / 2-8,10）,22,24,26.支配 5 人各做一题, 到黑板前板书, 由老师归纳题目特点,进行方法总结.5小结1）第一类换元积分法是与复合函数求导法就相对应的一个法就,运用第一类换元积分法的关键是凑微分 x dxd x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2）基本积分公式中积分变量x 换成可导函数 u大了基本积分公式的应用范畴. x 后公式仍能成立, 从而扩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3）利用第一类换元积分法求不定积分,需要肯定的技巧,比较敏捷,经常要用到以下凑微分公式,熟识它们特别有用：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dx1ad axb a0 .xdx1 d x 2 2.1dx x2dx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e dxd e.dxdln xx .2xdxdx. sinxdxdcosx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosxdxdsinx .1dxcos 2 xsec 2xdxdtanx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1dxsin 2 xcsc 2xdxdcotx .11x 2dxdarcsinx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11x 2dxdarctanx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6布置作业： P145 / 2-6,7,13,17,25.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载