2022年必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题 .pdf
必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题(数学教研组)一、知识点总结1正弦定理:2sinsinsinabcRABC（R:外接圆半径）或变形：:sin:sin:sina b cABC.结论：定理：在三角形中，、为其内角，则sinsin，等号当且当=时成立。判断三角形大小关系时，可以利用如下原理：sin A sin B A B a b coscosABABa b 三角形的面积公式：S21absin C21bcsin A21acsin B2余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcbabaC或222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacbacCab.3利用正弦定理和余弦定理分别能解决的问题：（1）正弦定理：1、已知两角和一边（如A、B、c），由 A+B+C=求 C，由正弦定理求 a、b.(ASA 或AAS)2、已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由 A+B+C=求C，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况.(SSA)（2）余弦定理：1、已知三边 a、b、c，应余弦定理求 A、B，再由 A+B+C=，求角 C.(SSS)2、已知两边和夹角（如a、b、C），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C =，求另一角.(SAS)主流思想：利用正、余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5三角形中的基本关系：sin()sin,ABC cos()cos,ABCtan()tan,ABCsincos,cossin,tancot222222ABCABCABC6.求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。习题练习解三角形 A 组 一、选择题1在ABC中，若Babsin2，则A等于（D）A006030 或B006045 或C0060120 或D0015030 或2边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（B）A090B0120C0135D0150二、填空题3在 ABC 中，若Acbcba则,222_0120_。4在 ABC 中，若aCBb则,135,30,20026。三、解答题5在 ABC 中，设,3,2CAbca求Bsin的值。解：2,acbsinsin2sinACB，即2sincos4sincos2222ACACBB，13sincos2224BAC，而0,22B13cos24B，313sin2sincos22244BBB839解三角形 B 组一、选择题1在 ABC 中，:1:2:3A B C，则:a b c等于（C）A1:2:3B3:2:1C1:3:2D 2:3:1二、填空题2若在 ABC 中，060,1,3,ABCAbS则CBAcbasinsinsin=（3392）3在 ABC 中，若,12,10,9cba则ABC 的形状是锐角三角形。4在 ABC 中，若Acba则226,2,3060。5在锐角 ABC 中，若2,3ab，则边长 c的取值范围是(5,13)。三、解答题6.在 ABC 中，0120,21,3ABCAcb aS，求cb,。解：1sin3,4,2ABCSbcAbc2222c o s,5abcbcA bc，而cb所以4,1 cb7.在ABC 中，若223coscos222CAbac，求证：2acb。证明：223coscos222CAbac1cos1cos3sinsinsin222CABAC即sinsincossinsincos3sinAACCCABsinsinsin()3sinACACB即sinsin2sinACB，2acb解三角形 C 组一、选择题1 A为ABC 的内角，则AAcossin的取值范围是（C）A)2,2(B)2,2(C2,1(D2,22在 ABC 中，若8,3,7cba，则其面积等于（D）A12B221C28D363在 ABC 中，若)()(cbbcaca，则A（C）A090B060C0120D01504在 ABC 中，若22tantanbaBA，则 ABC 的形状是（B）A直角三角形B等腰或直角三角形C不能确定D等腰三角形二、解答题5.如果 ABC 内接于半径为 R的圆，且,sin)2()sin(sin222BbaCAR求ABC 的面积的最大值。解：2sinsin2sinsin(2)sin,RAARCCabB222sinsin(2)sin,2,aAcCabB acabb222222022,cos,4522abcabcabCCab2222,2sin2,22,sincR cRCR abRabC22222222,22RRababab ab21222sin,24422RSabCab2max212RS另法：122sin2sin2sin244SabCabRARB222sin2sin2sinsin4RARBRAB212cos()cos()2RABAB22122cos()2222(1)22RABR2max212SR此时AB取得等号6.已知 ABC 的三边cba且2,2CAbca，求:a b c。解：sinsin2sin,2sincos4sincos2222ACACACACACB12147sincos,cos,sin2sincos222424224BACBBBB3,24242BBACACB AC33371sinsin()sincoscossin4444ABBB71sinsin()sincoscossin4444CBBB:sin:sin:sina b cABC)77(:7:)77(7.在ABC 中，若()()3abc abcac，且 ta nta n33AC，AB边上的高为 4 3，求角,A B C的大小与边,a b c的长。解：22201()()3,cos,602abc abcac acbacBBt a nt a n33t a n(),3,1t a nt a n1t a nt a nACACACACt ant an23AC，联合 tantan33AC得tan1tan23tan1tan23AACC或，即000075454575AACC或当0075,45AC时，4 34(3 26),8(31),8sinbcaA当0045,75AC时，4 34 6,4(31),8sinbcaA当00075,60,45ABC时，8,4(3 26),8(31),abc当00045,60,75ABC时，8,4 6,4(31)abc。解三角形 D 组 1.在ABC 中，sincosAA22，AC2，3AB，求Atan的值和ABC的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。.21)45cos(,22)45cos(2cossinAAAA又0180A,4560,105.AA13tantan(4560)2313A,.46260sin45cos60cos45sin)6045sin(105sinsinASACABAABC1212232643426sin()。解法二：由sincosAA计算它的对偶关系式sincosAA的值。sincosAA2221(sincos)212sincos20180,sin0,cos0.1(sin2)2AAAAAAAA另解23cossin21)cos(sin2AAAA,sincosAA62+得sin A264。得cosA264。从而sin264tan23cos426AAA。2.（2010 上海文数 18.）若ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC，则ABC（C ）（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.3.（2010 天津理数 7）在ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，若223abbc，sin2 3sinCB，则 A=(A )（A）030（B）060（C）0120（D）01504.（2010 湖北理数）3.在ABC中，a=15,b=10,A=60，则cosB=(D )A 223 B 2 23 C 63 D 635.（2010广东理数）11.已知 a,b,c 分别是 ABC的三个内角 A,B,C 所对的边，若 a=1,b=3,A+C=2B,则 sinC=1。6.（2009 全国卷理）在ABC中，内角 A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,ACAC求 b 7.（2009 四川卷文）在ABC 中，AB、为锐角，角ABC、所对的边分别为abc、，且510sin,sin510AB.（I）求AB的值；（II）若21ab，求abc、的值。解（I）AB、为锐角，510sin,sin510AB 222 53 10cos1sin,cos1 sin510AABB2 53 105102cos()coscossinsin.5105102ABABAB 0AB,4AB（II）由（I）知34C，2sin2C由sinsinsinabcABC得5102abc，即2,5ab cb又 21ab 221bb 1b 2,5ac8.（2010 辽宁文数 17）（本小题满分12分）在ABC中，abc、分别为内角ABC、的对边，且 2 sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC（）求 A的大小；（）若sinsin1BC，试判断ABC的形状.解：（）由已知，根据正弦定理得cbcbcba)2()2(22即bccba222由余弦定理得Abccbacos2222故120,21cosAA（）由（）得.sinsinsinsinsin222CBCBA又1sinsinCB，得21sinsinCB因为900,900CB，故BC所以ABC是等腰的钝角三角形。9.（2010 辽宁理数）（17）（本小题满分 12 分）在ABC中，a,b,c分别为内角 A,B,C 的对边，且 2 sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC（）求 A的大小；（）求 sinsinBC的最大值.解：（）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)abc bcb c即222abcbc由余弦定理得2222cosabcbcA故1cos2A，A=120 6 分（）由（）得：sinsinsinsin(60)BCBB31cossin22sin(60)BBB故当 B=30时，sinB+sinC 取得最大值 1。
