2022年高中数学排列组合题型归纳总结 .docx

精品_精品资料_1. 分类计数原理 加法原理 排列组合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_完成一件事,有 n 类方法,在第 1 类方法中有m1 种不同的方法,在第 2 类方法中有m2 种不同的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法, ,在第 n 类方法中有不同的方法2. 分步计数原理（乘法原理）mn 种不同的方法,那么完成这件事共有：Nm1m2Lmn 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种不同的方法,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有：3. 分类计数原理分步计数原理区分Nm1m2Lmn 种不同的方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立的完成这件事.分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成大事的一个阶段,不能完成整个大事一.特别元素和特别位置优先策略例 1、.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 .113解: 由分步计数原理得 C4C3A4288练习题： 7 种不同的花种在排成一列的花盆里 ,如两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里, 问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例 2、 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少种不同的排法 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A A A解：522522480可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要求某几个元素必需排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题 .即将需要相邻的元素合并为一个元素 ,再与其它元素一起作排列 ,同时要留意合并元素内部也必需排列 .练习题：某人射击 8 枪,命中 4 枪, 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为20三.不相邻问题插空策略例 3.、一个晚会的节目有4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱 ,舞蹈节目不能连续出场 ,就节目的出场次序有多少种？解 A5 A 456元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端练习题： 某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目 .假如将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为30四.定序问题倍缩空位插入策略例 4.、7 人排队,其中甲乙丙 3 人次序肯定共有多少不同的排法解:倍缩法 对于某几个元素次序肯定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,就共有不同排法种数是：A7 / A3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_73空位法设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A 4 种方法,其余的三个位置甲乙丙可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7共有 1 种坐法,就共有A4 种方法.摸索:可以先让甲乙丙就坐吗 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7（插入法 先排甲乙丙三个人 ,共有 1 种排法,再把其余 4 四人依次插入共有方法定序问题可以用倍缩法,仍可转化为占位插空模型处理练习题: 10 人身高各不相等 ,排成前后排, 每排 5 人,要求从左至右身高逐步增加, 共有多少排法？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C510五.重排问题求幂策略例 5.、把 6 名实习生安排到 7 个车间实习 ,共有多少种不同的分法答应重复的排列问题的特点是以元素为讨论对象,元素不受位置的约束,可以逐一支配可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_各个元素的位置,一般的 n 不同的元素没有限制的支配在m 个位置上的排列数为mn 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习题：1. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.假如将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为422. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人 ,他们到各自的一层下电梯 ,下电梯的方法 78可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六.环排问题线排策略例 6.、 8 人围桌而坐 ,共有多少种坐法 .4解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分, 所以固定一人圆形展成直线其余 7 人共有（ 8-1）；种排法即 7 ；CA 4 并从今位置把可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DBEAA B C D E FFHGG H A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,n 个不同元素作圆形排列 ,共有n-1. 种排法.假如从 n 个不同元素中取出 m 个元素An作圆形排列共有 1mn练习题： 6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈120七.多排问题直排策略例 7.、8 人排成前后两排 ,每排 4 人,其中甲乙在前排 ,丙在后排 ,共有多少排法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:,就共有A2 A1 A5 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_445练习题：有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现支配 2 人就座规定前排中间的3 个座位不能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是346八.排列组合混合问题先选后排策略例 8.、有 5 个不同的小球 , 装入 4 个不同的盒内 ,每盒至少装一个球 ,共有多少不同的装法.C A2454练习题：一个班有 6 名战士 ,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务 ,每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参与,就不同的选法有 192 种九.小集团问题先整体后局部策略例 9.用 1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,在两个奇数之间 ,这样的五位数有多少个？2 A 2 A 2 种排法.15243222解：共有 A练习题：、方案展出 10 幅不同的画 ,其中 1 幅水彩画 ,幅油画 ,幅国画 , 排成一行陈设 ,要求同一2 A 5 A 4254品种的必需连在一起,并且水彩画不在两端,那么共有陈设方式的种数为A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2552、 5 男生和女生站成一排照像 ,男生相邻 ,女生也相邻的排法有A 2A 5 A 5 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_十.元素相同问题隔板策略例 10.、有 10 个运动员名额,分给 7 个班,每班至少一个 ,有多少种安排方案？一二三四五六七班班班班班班班将 n 个相同的元素分成 m 份（ n, m 为正整数） ,每份至少一个元素 ,可以用 m-1 块隔板,插Cn 1入 n 个元素排成一排的 n-1 个间隙中,全部分法数为m 1练习题： 1、10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C31032、xyzw100求 这 个 方 程 组 的自 然 数 解 的 组 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_十一.正难就反总体剔除策略例 11.、从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数,使其和为不小于10 的偶数,不同的取法有多少种？555解：这问题中假如直接求不小于10 的偶数很困难 ,可用总体剔除法.这十个数字中有5 个偶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 5 个奇数 ,所取的三个数含有 3 个偶数的取法有C 3 ,只含有 1 个偶数的取法有C1C 2 ,和为偶数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的取法共有C1C 2C 3 .再剔除和小于 10 的偶数共 9 种,符合条件的取法共有C 1C 2C 39可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_555555有些排列组合问题 ,正面直接考虑比较复杂 ,而它的反面往往比较简捷 ,可以先求出它的反面,再从整体中剔除 .练习题：我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种 .十二.平均分组问题除法策略例 12. 、6本 不 同 的 书 平 均 分 成 3堆 , 每 堆 2本 共 有 多 少 分 法 ？6423C 2C 2 C 2 / A 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n平均分成的组 ,不管它们的次序如何 ,都是一种情形 ,所以分组后要肯定要除以的组数防止重复计数.An n 为均分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习题：1 、 将 13个 球 队 分 成 3组 , 一 组 5个 队 , 其 它 两 组 4个 队 ,有 多 少 分 法 ？（ C5 C 4C 4 / A2 ）138422、10 名同学分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组 ,有多少种不同的分组方法？ （1540）3、某校高二年级共有六个班级, 现从外的转入 4 名同学, 要支配到该年级的两个班级且每班支配2名,就不同的安排方案有多少可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4262（ C 2C 2A 2/ A 290 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_十三. 合理分类与分步策略例 13.、在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌 ,5 人会跳舞 ,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目 ,有多少选派方法解： 10 演员中有 5 人只会唱歌, 2 人只会跳舞 3 人为全能演员.选上唱歌人员为标准进行研可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_究只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有C 2C 2 种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3353455员C1C1C 2 种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有 C 2C 2 种,由分类计数原理共有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3353455C 2C 2C1C 1C 2C 2C 2 种.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按大事发生的连续过程分步,做到标准明确.分步层次清晰,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终.练习题：1、.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参与某个座谈会,如这 4 人中必需既有男生又有女生,就不同的选法共有 342、 3 成人 2 小孩乘船游玩 ,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任选 2 只船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船 , 这 3 人共有多少乘船方法 .（ 27）十四.构造模型策略例 14.、 公路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯 ,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相邻的2盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满意条件的关灯方法有多少种？C3解：把此问题当作一个排队模型在6 盏亮灯的 5 个间隙中插入 3 个不亮的灯有 5种一些不易懂得的排列组合题假如能转化为特别熟识的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等,可使问题直观解决练习题： 某排共有 10 个座位, 如 4 人就坐, 每人左右两边都有空位, 那么不同的坐法有多少种？（120）十五.实际操作穷举策略例 15.、设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子 ,现将 5 个球投入这五个盒子内 ,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有C 2 种仍剩下 3 球 3 盒序号不能对应,利用实际操作法,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_55假如剩下 3,4,5 号球, 3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时, 就 4,5 号球有只有 1 种装法, 同理 3 号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_球装 5 号盒时,4,5 号球有也只有 1 种装法,由分步计数原理有2C2 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于条件比较复杂的排列组合问题, 不易用公式进行运算, 往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果练习题： 1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来 ,然后每人各拿一张别人的贺年卡,就四张贺年卡不同的安排方式有多少种？92.给图中区域涂色 ,要求相邻区 域不同色 ,现有 4 种可选颜色 ,就不同的着色方法有 72 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_十六. 分解与合成策略例 16.、 30030 能被多少个不同的偶数整除13245可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030=2×3×5 ×7×11×13,依题意可知偶因数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_必先取 2,再从其余 5 个因数中任取如干个组成乘积, 全部的偶因数为： C1C2C3C 4C 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_55555十八.数字排序问题查字典策略例 18、由 0,1,2,3,4,5 六个数字可以组成多少个没有重复的比324105 大的数？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: N2 A 52A 4321AAA321297可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_54数字排序问题可用查字典法 , 查字典的法应从高位向低位查 , 依次求出其符合要求的个数 ,依据分类计数 原理求出其总数.练习:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数 ,将这些数字从小到大排列起来,第 71 个数是 3140排列组合易错题正误会析例 1 从 6 台原装运算机和 5 台组装运算机中任意选取 5 台,其中至少有原装与组装运算机各两台 ,就不同的取法有种.例 2在一次运动会上有四项竞赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情形共有（）种.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A4（ A） 3（B） 43（ C） 34（ D） C 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4例 3有大小外形相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球,排成一排,共有多少种不同的排列方法？ 例 45 本不同的书全部分给 4 个同学,每个同学至少一本,不同的分法种数为（）（A）480 种（B） 240 种（C）120 种（ D） 96 种例 5某交通岗共有 3 人,从周一到周日的七天中,每天支配一人值班,每人至少值2 天,其不同的排法共有（）种.C 2 C 2 A3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ A）5040（B） 1260（C）210（D）630例 6用数字 0, 1, 2, 3,4 组成没有重复数字的比 1000 大的奇数共有（）（ A）36 个（B） 48 个（ C） 66 个（ D）72 个7532可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7如图,一个的区分为 5 个行政区域,现给的图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有 4种颜色可供挑选,就不同的着色方法共有种.（以数字作答）25.314例 8 已知 ax2b0 是关于 x 的一元二次方程,其中a 、 b1,2,3,4 ,求解集不同的一元二次方程的个数.例 10现有 8 个人排成一排照相,其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（）种.可编辑资料 - - - 欢迎下载