2022年高中数学椭圆的知识总结含答案.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、挑选题109 ·浙江 已知椭圆高中数学椭圆学问总结22xya2b2 1 a>b>0 的左焦点为F,右顶点为A,点 B 在椭圆上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AP2PB且 BF x 轴,直线AB交 y 轴于点 P,如 ,就椭圆的离心率是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 3 2 答案 DB. 2 2C. 13D. 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 由题意知： F c, 0 , A a, 0 APa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ BFx 轴, . 又 AP 2PB,PBc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ac1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ c 2, ea. 应选 D. 2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知 P是以 F1、F2 为焦点的椭圆a2 b2 1 a>b>0 上一点, 如PF1· PF2 0,tan PF1F21 ,就椭圆的离心率为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1A. 2 B.23 C.153 D.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 答案 D 解析 由PF1·PF2 0 知 F1PF2 为直角,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设| PF1| x,由 tan PF1F23 a2x,1知, | PF2| 2x, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由| PF1|c| PF2| 52 | F1F2|2 得 c52 x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ea 3 .223 文 北京西城区 已知圆 x 2 y 36 的圆心为M,设 A 为圆上任一点, N2,0,线段 AN的垂直平分线交MA于点 P,就动点P 的轨迹是A圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 答案 B 解析 点 P 在线段 AN的垂直平分线上,故| PA| | PN| ,又 AM是圆的半径,|PM| | PN| | PM| | PA| | AM| 6>| MN| ,由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 理 浙江台州 已知点 M3 ,0 ,椭圆就 ABM的周长为24 1 与直线 y k x3 交于点A、B,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 4B 8C 12D 16 答案 B 解析 直线 y k x3 过定点 N 3, 0 ,而 M、N 恰为椭圆点,由椭圆定义知ABM的周长为4a4×2 8.y2x24 1 的两个焦可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mx2y2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4已知椭圆a2 b2 1 a>b>0 与双曲线2 n2 1 m>0, n>0 有相同的焦点 c, 0 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ c, 0 c>0 如 c 是 a、m的等比中项, n2 是 2m2 与 c2 的等差中项, 就椭圆的离心率是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3211A. 3B. 2C. 4D. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 答案 D222c2 am1 解析 由题意得2n 2m c2c,由 23可得 m 2,代入 1 得椭圆的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cmn222c13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离心率 e . 故 选 D.2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 文 椭圆x2y2 1 的焦点为F1、F2,椭圆上的点P满意 F1PF260°,就 F1PF2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10064643913163643B.3C.3D. 3的面积是A. 答案 A222 解析 由余弦定理：| PF1| | PF2| 2| PF1| ·|PF2| ·cos60° | F1F2| .256又| PF1| | PF2| 20,代入化简得| PF1| ·|PF2| 3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 S F1PF2 2| PF1| ·|PF2| ·sin60 °6433.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 理 已知 F 是椭圆25 9 1 的一个焦点, AB为过其中心的一条弦,就ABF的面积最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_大值为A 6B 15C 20D12 答案 D11 解析 S 2| OF| ·|y1 y2| 2| OF| ·2b 12.xy2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 2 010·山东济南 设 F1、F2 分别为椭圆a22 2 1 的左、右焦点,ca b ,如直ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线 x c 上存在点P,使线段PF1 的中垂线过点F2,就椭圆离心率的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2A. 0, 2B.3,1 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C.2 ,1D. 0,323 答案 Ba2 解析 直线 x c 上存在点 P,使线段 PF1 的中垂线过F2,|F1F2| | PF2| ,设直线a2a2x c 与 x 轴交于 Q点,就易知 | PF2| |QF2| ,即 | F1F2| |QF2| ,2c c c,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ca2b2c2a2e21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_>0,3 ,即 ,333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ e 3 , e<1.3x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7如图 F1、F2 分别是椭圆2 21 a>b>0 的两个焦点, A和 B 是以 O为圆心,以 | OF1| ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且F2AB是等边三角形,就椭圆的离心率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -312A. 2B. 2C. 2D.3 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 答案 D 解析 连结 AF1,由圆的性质知,F1AF290°,c又 F2AB是等边三角形, AF2F130°, AF1 c,AF23c, e a3 1. 应选 D.2c 2a2cc3c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y28 文 辽宁沈阳 过椭圆 C： a2 b2 1 a>b>0 的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于另一个点B,且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点F,如<k<,就椭圆离心率的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32是1423A. 4, 9B., 1121C. 2, 3D. 0, 222 答案 Cb11b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 点 B 的横坐标是c,故 B的坐标c,± a,已知 kb2, B c,. 32a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab2a2 c21 e2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a斜率 k c ac a2 aca2 e 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 <k< 3,解得2<e< .23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 理 椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点动身的光线经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、 B是它的两个焦点,其长轴长为2a, 焦距为 2c a>c>0 静放在点A 的小球 小球的半径不计 ,从点 A沿直线动身,经椭圆壁反 射后第一次回到点A时,小球经过的路程是A 2 a cB 2 a cC 4aD以上答案均有可能 答案 D 解析 如下列图,此题应分三种情形争论：当光线沿着x 轴负方向从点A 动身, 经椭圆壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是 2 ac .当光线沿着x 轴正方向从点A 动身,经椭圆壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是2 a c .在其它情形下,从点A 沿直线动身,经椭圆壁反射后第一次回 到点 A 时,小球经过的路程是4a. 应选 D.229 杭州五校 椭圆 x my 1 的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,就m的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 14 答案 A 解析 由题意1 m4. 应选 A.B. 122y21 x 1,且mC 2D 41 2,mx2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10 宁波余姚 假如 AB是椭圆 a2 b2 1 的任意一条与x 轴不垂直的弦,O为椭圆的中心, e 为椭圆的离心率,M为 AB的中点,就kAB· kOM的值为22A e1 B 1 e C e 1 D 1 e 答案 C 解析 设 A x1,y1 , B x2, y2 ,中点 M x0, y0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyxy22221122 x1 x2 x1x2 y2 y1 y2 y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由点差法,2 2 1,ab2 2 1,作差得b22, kAB· kOMab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ay2222 y1y1 y2 bc a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 x2x ·x1 x a2 a2e1. 应选 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、填空题11 文 已知 F1、F2 为椭圆x2y2a2b2 1 a>b>0 的焦点, M为椭圆上一点, MF1 垂直于 x 轴,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 F1MF260°,就椭圆的离心率为 答案 33c2y2 解析 令 x c, a2b2 1.b2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y±a. |F1M| a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 F1MF260°,2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|MF2| 2| MF1| a .3b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又| MF1| | MF2| 2a,a 2a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a 3c . e 3, 0<e<1, e 3 .x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 理08 ·江苏 在平面直角坐标系xOy中,设椭圆 a2 b2 1 a>b>0 的焦距为2c. 以点 Oa2为圆心, a 为半径作圆M. 如过点P c ,0 作圆 M的两条切线相互垂直,就该椭圆的离心率为 答案 22 解析 设切点为Q、B,如下列图切线QP、PB相互垂直,又半径 OQ垂直于 QP,所以 OPQ为等腰直角三角形,可得2 a a2c ,c2 ea 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x212在平面直角坐标系xOy中,已知 ABC的顶点 A 4,0 和 C4,0,顶点 B 在椭圆 252ysin A sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1 上,就9 答案 5 4 .sin Bx2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 25 9 1 的焦点是 A 4,0 、C4,0,点 B在椭圆上, BABC 2a10,sin Asin CBC AB5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AC8,由正弦定理得sin BAC 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13设椭圆25 16 1 上一点 P 到右准线的距离为10,F 是该椭圆的左焦点,如点M满可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_足OM OPOF ,就 | OM| . 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 答案 3 解析 设右焦点F,由定义 | PF| | PF| 10,| PF|3 e ,|PF| 6, 1051 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ OM OP OF ,21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ M为 PF的中点,| OM| x2| PF| 3. 2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14如右顶点为A 的椭圆离心率的范畴是 2a2 b2 1 a>b>0 上存在点P x,y ,使得 OP·PA 0,就椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 答案 2 <e<122xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 在椭圆A的公共点a2 a2 1 上存在点 P,使OP· PA 0,即以 OA为直径的圆与椭圆有异于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222 22 22 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以 OA为直径的圆的方程为x ax y 0 与椭圆方程b x a y a b a2 b2 x2a3x a2b2 0,联立消去y 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22222将 a b c 代入化为 x a c x ab 0,2222ababa c x a, x c2 ,由题设c2 <a,c2<1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 e>22 , 0<e<1,22 <e<1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、解答题15 文 点 A、B分别是椭圆x2y236 201 长轴的左、右端点,点F 是椭圆的右焦点点P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在椭圆上,且位于x 轴的上方, PA PF.(1) 求点 P 的坐标.(2) 设 M是椭圆长轴AB上的点, M到直线 AP的距离等于 | MB| ,求椭圆上的点到点M的距离 d 的最小值 解析 1 由已知可得点A 6,0 、F4,0,设点 P 的坐标为 x, y ,就AP x 6, y , FP x4, y ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知得x236y220 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x6 x 4 y2 023消去 y 得, 2x 9x 180, x2或 x 6.35由于 y>0,只能 x 2,于是 y 23.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 P的坐标是35,3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222 直线 AP的方程是x3y 6 0,设点 M的坐标为 m,0 ,就 M到直线 AP的距离是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| m 6|2,于是| m 6|2| m 6| ,又 6 m6,解得 m 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设椭圆上的点 x, y 到点 M的距离为d22249 2 d x 2 y 9 x 2 15,9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 6 x6,当x时, d 取最小值15. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 理 已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为1.(1) 求椭圆 C 的标准方程.(2) 如直线 l ：y kx m与椭圆 C 相交于 A、B两点 A、B 不是左右顶点 ,且以 AB为直径的圆过椭圆C 的右顶点求证：直线l 过定点,并求出该定点的坐标x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 1 设椭圆的方程为a2 b2 1 a>b>0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知得： a c 3, ac 1,222 a 2, c 1, b a c 3.x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆的标准方程为 1.43y kx m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 设 A x1, y1 , B x2, y2 ,由x2y2得,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2224 3 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 4k x 8mkx 4 m 3 0,2 222 64mk 163 4k m 3>0即 34k2 m2>0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8mkx1 x2 3 4k2, x1·x2又 y1y2 kx1 m kx2m4 m 323 4k2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22223 m 4k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ k x1x2 mk x1 x2 m3 4k2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于以 AB为直径的圆过椭圆的右顶点D2,0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ kADkBD 1,即 xy1 1 2·y2 x2 2 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y1y2 x1x2 2 x1 x2 4 0.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 m4k 4 m316mk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 4k2234k2 3 4k2 4 0.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7m 16mk 4k 0.2k22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 m1 2k, m2,且均满意34k m>0.7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -当 m1 2k 时, l 的方程为y k x2 ,直线过定点2,0,与已知冲突.2k22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 m22时, l 的方程为y k x,直线过定点77, 0 . 所以,直线l 过定点,定7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点坐标为, 0 .7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16 文 已知椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点的连线构成一个正三角形,且焦点到椭圆上的点的最短距离为3,求该椭圆的方程x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 如椭圆的焦点在x 轴上,就设方程为a2b2 1 a>b>0 ,两焦点F1 c, 0 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22F2 c, 0 ,短轴的一个端点为B0 , b ,长轴的一个端点为A a, 0 ca b 由 BF1F2 为正三角形知,| BF1| | BF2| | F1F2| ,所以 a2c.又焦点到椭圆上的点的最短距离为a c3.a2c,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由ac3.x2解得 a23, c3, b 3.y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆方程为 1.912y2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理,如椭圆的焦点在y 轴上,椭圆方程为 点评 1 上述求解中,利用了结论： 1.129可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22222焦点到椭圆上的点的最短距离为ac. 这是由于设P x,y 是椭圆上任一点,就x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22222b2ca2ca22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a, a ,所以 | PF2| xc y x c b a2x a2 c x a2 c a a c ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即| PF2| a c,于是 | PF2| min a c.2 此结论仍可以用焦半径证明如下：椭圆焦点 F,椭圆上任一点P x0, y0 ,离心率e,就 | PF| a± ex0 左焦点取“”号,右焦点取“”号 a x0 a, a c|PF| a c.仍可以用椭圆的参数方程证明从略 理 已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,一个顶点为B0 , 1 ,且其右焦点到直线 x y 22 0 的距离为3.(1) 求椭圆方程.3(2) 是否存在斜率为k k0 ,且过定点Q0 ,2 的直线 l ,使 l 与椭圆交于两个不同的点 M、N,且 | BM| | BN| ？如存在,求出直线l 的方程.如不存在,请说明理由.x2y2 解析 1 设椭圆方程为 a2 b2 1 a>b>0 ,就 b 1.| c 0 22|令右焦点 F c, 0 c>0 ,就由条件得3,2222得 c2. 那么 a b c 3,2x2椭圆方程为3 y 1.23x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 假设存在直线l ： ykx 2 k0 ,与椭圆 y 1 联立,消去y 得3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22151 3k x 9kx 4 0,221525可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 9 k 41 3k ·>0,得 k >412.设 M x1,y1 , N x2, y2 , MN的中点 P x0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - -