2022年高中数学方程的根与函数的零点第课时示范教案新人教版必修.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学（ 1.1方程的根与函数的零点第 1 课时）示范教案新人教 A 版必修 1本章教材分析函数的应用是学习函数的一个重要方面. 同学学习函数的应用, 目的就是利用已有的函数知 识分析问题和解决问题. 通过函数的应用, 对完善函数的思想,激发应用数学的意识, 培育分析问题、解决问题的才能,增强实践的才能等,都有很大的帮忙.本章主要内容：函数与方程、函数模型及其应用、实习作业和小结. 在函数与方程这一节中课本从同学最熟识的二次函数入手,通过争论方程的根与函数的零点的关系,使函数的图象与性质得到充分的应用,同时也呈现了函数和方程的亲密关系. 求函数零点的近似解不仅呈现了数学方法的严谨性、科学性,也为运算机的应用供应了宽阔的空间. 让同学进一步受到数学思想方法的熏陶,激发同学的学习热忱.在函数模型及其应用这一节中让同学近距离接近社会生活,从生活中学习数学,使数学在社会生活中得到应用和提高,让同学体会到数学是有用的,从而培育同学的学习爱好. “数学 建模”也是高考考查的重点.本章仍是数学思想方法的载体,同学在学习中会常常用到“函数方程思想”“数形结合思想”“转化思想” , 从而提高自己的数学才能.因此应从三个方面把握本章：1 学问间的联系;2数学思想方法;3认知规律 .本章教学时间约需9 课时,详细安排如下 仅供参考 ：3.1 函数与方程约 3 课时3.2 函数模型及其应用约 4 课时实习作业约 1 课时本章复习约 1 课时3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点整体设计教学分析函数作为高中的重点学问有着广泛应用,与其他数学内容有着有机联系. 课本选取探究详细的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标之间的关系作为本 节内容的入口, 其意图是让同学从熟识的环境中发觉新学问,使新学问与原有学问形成联系. 本节设计特点是由特别到一般,由易到难, 这符合同学的认知规律.本节表达的数学思想是： “数形结合”思想和“转化”思想. 本节充分表达了函数图象和性质的应用. 因此,把握课本要从三个方面入手：新旧学问的联系,同学认知规律,数学思想方法. 另外,本节也是传统数学方法与现代多媒体完善结合的产物.三维目标1. 让同学明确“方程的根”与“函数的零点”的亲密联系,学会结合函数图象性质判定方程根的个数,学会用多种方法求方程的根和函数的零点.2. 通过本节学习让同学把握“由特别到一般”的认知规律,在今后学习中利用这一规律探究更多的未知世界.3. 通过本节学习不仅让同学学会数学学问和认知规律,仍要让同学充分体验“数学语言”的严谨性,“数学思想方法”的科学性, 体会这些给他们带来的欢乐.重点难点依据二次函数图象与x 轴的交点的个数判定一元二次方程的根的个数; 函数零点的概念.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_课时支配2 课时导入新课思路 1. 情形导入 教学过程第 1 课时方程的根与函数的零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_据新华社体育记者报道：昨晚足球竞赛跌宕起伏,球迷经受了大喜到大悲, 再到大喜的过程 领先就喜,落后即悲.请问：整场足球竞赛显现几次“比分相同”的时段.同学摸索或争论回答：三次 :1开场 ;2由领先到落后必经过“比分相同”时段;3由落后到领先必经过“平分”时段 .老师点拨：足球竞赛有“落后”“领先”“比分相同”, 函数值有“负”“正”“零”, 函数图象与足球竞赛一样跌宕起伏. 由此导入课题, 为后面学习埋好伏笔.思路 2. 事例导入 多媒体动画演示 一枚炮弹从的面发射后,炮弹的高度随时间变化的函数关系式为h=20t-5t2, 问炮弹经过多少秒回到的面？2炮弹回到的面即高度h=0,求方程20t-5t=0 的根 , 得 t=4 秒. 如图 3-1-1-1.图 3-1-1-1思路思路 3.3. 直接导入直接导入 老师直接点出课题：上一章我们争论函数的图象性质,这一节我们争论函数的应用,方程的根与函数的零点.推动新课新知探究提出问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求方程x求方程x求方程x-2x-3=0的根,画函数y=x22-2x+1=0 的根,画函数y=x2-2x+3=0 的根,画函数y=x-2x-3的图象 .22-2x+1 的图象 .2-2x+3 的图象 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_观看函数的图象发觉：方程的根与函数的图象和x 轴交点的横坐标有什么关系.如何判定一元二次方程根的个数,如何判定二次函数图象与x 轴交点的个数, 它们之间有什么关系 .归纳函数零点的概念.怎样判定函数是否有零点？函数的图象不易画出,又不能求相应方程的根时,怎样判定函数是否有零点？活动： 先让同学摸索或争论后再回答,经老师提示、点拨,对回答正确的同学准时夸奖,对回答不精确的同学提示引导考虑问题的思路:问题 : 先求方程的两个根,找出抛物线的顶点, 画出二次函数的图象 图 3-1-1-2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -问题 : 方程有一个根,说明抛物线的顶点在x 轴上 图 3-1-1-3.问题 : 方程没有实数根,抛物线与x 轴没有交点,找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键 图 3-1-1-4.问题 : 方程的根与函数的图象和x 轴交点的横坐标都是实数.问题 : 对于其他函数这个结论正确吗？问题 : 函数的零点是一个实数.问题 : 可以利用“转化思想”.问题 : 足球竞赛中从落后到领先是否肯定经过“平分”？由此能否找出判定函数是否有零点的方法？函数图象穿过x 轴就有零点,怎样用数学语言描述了？争论结果： 方程的两个实数根为-1 , 3.方程的实数根为1.方程没有实数根.方程的根就是函数的图象与x 轴交点的横坐标.一元二次方程根的个数,就是二次函数图象与x 轴交点的个数, 可以用判别式来判定一元二次方程根的个数.a. 当 >0 时,一元二次方程有两个不等的实根x1、x2,相应的二次函数 的图象与x 轴有两个交点x 1,0 、x 2,0;b.当 =0 时,一元二次方程有两个相等的实根 x1=x2,相应的二次函数的图象与x 轴有唯独的交点x 1,0;c.当 <0 时,一元二次方程没有实根,相应的二次函数的图象与x 轴没有交点 .一般的,对于函数y=fx,我们把使fx=0的实数 x 叫做函数y=fx的零点 .方程 fx=0有实根函数 y=fx的图象与 x 轴有交点函数 y=fx有零点 .观看二次函数fx=x2-2x-3的图象,我们发觉函数fx=x2-2x-3在区间 -2,1 上有零点 . 运算 f-2与 f1的乘积,发觉这个乘积特点是小于零. 在区间 2,4 2同样如此 . 可以发觉, f-2f1<0,函数 y=x -2x-3在区间 -2 ,1 内有零点x=-1 ,它是方程22x -2x-3=0的一个根 . 同样的, f2f4<0,函数 y=x -2x-3在2 ,4 内有零点x=3, 它是方程2x -2x-3=0的另一个根 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用示例图 3-1-1-2图 3-1-1-3图 3-1-1-4思路 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 1 已知函数 fx=|x-2x-3|-a分别满意以下条件,求实数a 的取值范畴 .(1) 函数有两个零点;(2) 函数有三个零点;(3) 函数有四个零点.活动： 依据零点概念,同学先摸索或争论后再回答,老师点拨、提示并准时评判同学. 由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2函数 fx=|x-2x-3|-a的零点个数不易争论,所以可转化为方程|x2-2x-3|-a=0根的个数来22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_争论,即转化为方程|xfx=a交点个数问题 .2-2x-3|=a的根的个数问题, 再转化为函数fx=|x-2x-3|与函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 设 fx=|x-2x-3|和 fx=a分别作出这两个函数的图象 图 3-1-1-5,它们交点的个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -数,即函数fx=|x2-2x-3|-a的零点个数 .图 3-1-1-5(1) 如函数有两个零点,就a=0 或 a>4.(2) 如函数有三个零点,就a=4.(3) 函数有四个零点, 就 0<a<4.变式训练1. 判定函数y=|x-1|-2零点的个数 .解： 通过分类争论把肯定值函数转化为分段函数, 作出函数图象 图 3-1-1-6,图 3-1-1-6函数 y=|x-1|-2的图象与x 轴有两个交点,所以函数y=|x-1|-2有两个零点 .22. 求证：函数fx=2x-3x-2有两个零点 .22证法一 : 由于一元二次方程2x -3x-2=0的判别式 =3 +4×2×2=25>0,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以一元二次方程2x -3x-2=0有两个不相等的实根,所以函数fx=2x-3x-2有两个零点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证法二 : 由于一元二次方程2x2-3x-2=0可化为 2x+1x-2=0,21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以一元二次方程2x-3x-2=0有两个不相等的实根x 1=2,x 2=.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以函数fx=2x-3x-2有两个零点 .2证法三 : 由于函数fx=2x-3x-2的图象是一条开口向上的抛物线,且顶点在 x 轴的下方 , 即f0=-2<0,所以函数fx=2x2-3x-2有两个零点 . 如图 3-1-1-6.图 3-1-1-7点评： 判定函数零点个数可以结合函数的图象.方法：零点函数方程的根两图象交点 .数学思想：转化思想和数形结合思想.2例 2 如关于 x 的方程 3x -5x+a=0 的一根在 -2 ,0 内,另一个根在1 ,3 内,求 a 的取值范畴.活动： 同学自己摸索或争论,再写出 最好用实物投影仪呈现写的正确的答案. 老师在同学可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -中巡察其他同学的解答,发觉问题准时订正, 并准时评判 .假如用求根公式与判别式来做,运算量很大, 能否将问题转化？借助二次函数的图象,从图象中抽出与方程的根有关的关系式,使得问题解答大大简化. 引导同学画出函数的图象观看分析 .2解： 设 fx=3x-5x+a, 就 fx为开口向上的抛物线, 如图 3-1-1-8：图 3-1-1-8由于 fx=0的两根分别在区间-2 , 0 、1 , 3 内,f 20,22a0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 0所以f 10,a0,即0,2a故所求 a 的取值范畴是-12<a<0.0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 30,变式训练212a0.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_关于 x 的方程 x-ax+a-7=0 的两个根一个大于2,另一个小于2, 求实数 a 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22解： 设 fx=x2-ax+a 2-7, 图象为开口向上的抛物线 如图 3-1-1-9.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于方程x-ax+a-7=0 的两个根一个大于2,另一个小于2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以函数fx=x2-ax+a -7 的零点一个大于2,另一个小于2.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即函数 fx=x-ax+a -7 的图象与x 轴的两个交点在点2 , 0 的两侧 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_只需 f2<0,即 4-2a+a2-7<0, 所以 -1<a<3.图 3-1-1-9思路 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 如方程 2ax -x-1=0在0 , 1 内有解,求实数a 的取值范畴 .活动： 同学先摸索或争论,再回答. 老师依据实际,可以提示引导：有解包括有一解和有两解,要分类争论.用一般解法当然可以,如结合函数图象观看分析,可以找到捷径.有两种情形： a.a=0;b.a 0, 0.2解： 令 fx=2ax-x-1 ,21 当方程 2ax -x-1=0在 0 , 1 内恰有一个解时, f0 ·f1<0或 a0且 =0,由 f0 ·f1<0,得 -12a-2<0,所以 a>1. 由 =0, 得 1+8a=0,a=18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程为12x -x-1=0,即 x=-20,1舍去 . 综上可得a>1.24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 当方程 2ax -x-1=0在 0 , 1 内有两个解时,就a0,a0,f 00,f 00,f 10,f 10,011, 或011,4a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 1 04af 1 0,4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_简单解得实数a 不存在 .综合 12,知 a>1.变式训练如方程 ax2+3x+4a=0 的根都小于1,求实数a 的取值范畴 .解： 1 当 a=0 时, x=0 满意题意 .22 当 a0时,设 fx=ax+3x+4a.2方法一 : 如方程 ax +3x+4a=0 的根都小于1,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_932a af 116a 21,0,0,3a4a0或aa0或a3 ,41.5, 0<a 3 .0.6,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3综上 12,得 0a.42方法二 : 如方程 ax +3x+4a=0 的根都小于1,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9x1x216a 22,0,x1916a 20,x22,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x11 x210,x1 x2x1x2 10,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_916a 232,a0,解得 0<a 3 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4310,a综上 12,得 0a 3 .4点评： 有两种方法 :1结合函数图象利用函数符号列不等式组.2 代数方法,利用根与系数关系结合判别式列不等式组.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 设二次函数fx=ax12+bx+ca>0,方程 fx-x=0的两个根为x1、x2, 满意 0<x 1<x2<.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 当 x0,x 1 时,求证： x<fx<x1.2 设函数 fx的图象关于直线x=x 0 对称,求证： x0< x1 .2活动：依据方程与函数关系,同学先摸索或争论后再回答,老师点拨、 提示并准时评判同学. 由于方程fx-x=0的两个根为x 1、x 2,可考虑把fx-x设为双根式,然后判定其符号,再 考虑二次函数的双根与二次函数对称轴的关系.证明:1 x1、x 2 是方程 fx-x=0的两个根,且0<x1<x2< 1 ,a当 x0,x 1 时, 有 fx-x=ax-x1x-x2=ax 1-xx2-x>0,即 fx-x>0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2又 fx-x=ax 1-xx2- x<a · x<fx<x1.1x 1-x=x 1-x,即fx-x<x1-x,故0<fx-x<x1-x,即a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 fx-x=ax +b-1x+c,且 fx-x=0的两个根为x1、x2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次函数fx-x的对称轴为x=x1x2 =b1 . x1 =b1 x2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由已知,得x 0=bx1,2a222a=x0+ 1x2 .2a222a2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11又x2<, a2ax2>0. 故2x11=x0+2 2ax2x1>x0, 即 x 0<.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式训练1. 已知二次函数fx满意 f3-x=f3+x,且其两零点分别为x 1、x 2, 求 x1+x2.解： 对任意x 都有 f3-x=f3+x,函数fx的图象上有两点3-x,y、3+x,y关于x=3 对称 .二次函数fx的对称轴为x=3.x1、x 2 为二次函数fx的两个零点,x1+x2=6.2. 如函数 fx满意 f3-x=f3+x,且函数 fx有 6 个零点,求全部零点的和.解： 同理函数 fx的对称轴为x=3, 3x 1+x2=18.点评： 二次函数的双根与二次函数解析式的关系是：如二次项系数为a, 两个根为x 1、x 2,就二次函数解析式为fx=ax-x1x-x2.二次函数的双根与二次函数对称轴的关系是：二次函数fx的对称轴为x= x1x2 .2总之：二次函数的双根是联系函数与方程的桥梁和纽带,应认真体会、精确把握.知能训练x争论函数y=e +4x-4 的零点的个数 .xx活动： 勉励同学说出自己的见解,并说明理由. 函数零点问题是函数的重要应用,离不开函数的图象和性质.1 利用 fafb<0及函数的单调性.2作 出 y=e 和 y=4-4x的图象,把函数y=e +4x-4 的零点的个数转化为方程ex=4-4x 根的个数,再转化为上述两函数图象交点的个数.解： 方法一 利用运算机作出x, fx的对应值表：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x01fx-32.71828由表和图可知, f0<0,f1>0, 就 f0f1<0 ,这说明 fx 在区间 0,1 内有零点 , 由于函数在定义域 - ,+ 内是增函数,所以它仅有一个零点 .x 方法二 作出 y=e 和 y=4-4x 的图象 图 3-1-1-10,即可直观的看出零点的个数为1.图 3-1-1-10总结 点评： 争论函数零点个数问题是函数的重要应用, 由于函数与方程的特别关系, 所以这个问题常用的方法是： 1 解方程 ;2 画图象 ;3 利用 fafb<0 及函数的单调性 ; 同时这些方法是有机联系的 .拓展提升21.2022 山东青岛高三教学质量检测 , 理 19 已知 m R, 设 P:x 1 和 x2 是方程 x -ax-2=0 的两个根 ,24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等式 |m- 5| |x 1-x 2| 对任意实数a 1,2恒成立. Q：函数 fx=3x22不同的零点 , 求使 P 和 Q同时成立的实数m的取值范畴 .+2mx+m+3有两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 由题意知 x 1+x 2=a,x 1x 2=- 2, |x 1-x 2|=x 1x 2 - 4x 1x 2 =a8 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a 1,2 时 ,a28 的最小值为3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要使 |m- 5| |x 1-x 2| 对任意实数a 1, 2恒成立,只需|m5| 3, 即 2m8.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由已知得 Q中:fx=3x4 的判别式 =4m2-12m+4 =4m2-12m-16>0 ,得 m<-1 或 m>4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_+2mx+m+3综上,要使P 和 Q同时成立,只需2m8,m1或m3解得实数m的取值范畴是 4,8 .4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 假如函数y=fx在区间 a,b 上的图象是连续不断的一条曲线,并且 fafb>0,那么函数 y=fx在区间 a,b内是否有零点？可能有几个零点？活动： 同学先摸索或争论,再回答. 利用函数图象进行探究分析:有没有零点？零点的个数是奇数仍是偶数？解析 : 零点个数可以是任意自然数. 下面争论在区间-3,3 上函数零点个数,1 可能没有零点如图 图 3-1-1-11.图 3-1-1-11图 3-1-1-122 可能有一个零点如图 图 3-1-1-12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3 可能有两个零点如图 图 3-1-1-13.图 3-1-1-13图 3-1-1-144 可能有三个零点如图 图 3-1-1-14.*5 可能有 nn N 个零点 , 图略 .点评： 在区间 -3,3 上函数零点个数可以是任意自然数. 借助运算机可以验证同学们的判定,激发同学学习爱好.课堂小结本节学习了 : 零点的概念 ; 零点的判定方法 ; 利用函数的单调性证明零点的个数; 零点的应用 .学习方法：由特别到一般的方法.数学思想：转化思想、数形结合思想.作业课本 P88 练习 1.设计感想本节以事例导入, 该事例是同学很感爱好的话题, 发人深思而紧贴本节主题, 为后面讲解埋好了伏笔 . 由于二次函数、 二次方程永久是高考的重点, 所以本节结合二次函数的图象性质详实 争论了有关二次函数的零点和二次方程的根的问题. 本节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结 , 仍搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高. 另外 , 本节目的明确、 层次分明、难度适中 , 对同学可能产生爱好的问题进行了拓展, 期望大家喜爱 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载