2022年高考数学基础突破-导数与积分-第讲-微积分的应用 .docx

精品_精品资料_2022 年高考数学基础突破导数与积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【学问梳理】第 10 讲 定积分与微积分基本定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 定积分的概念与几何意义(1) 定积分的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如函数f x在区间 a,b 上连续,用分点将区间 a, b 等分成 n 个小区间,在每个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnb a2. 定积分的性质bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1kf xdxkf(x) dx k 为常数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a ab bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 f1xf2 x dxf1xdxf2 x dx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a aab cb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3f xdxf xdxfxdx 其中 a<c<b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aac3. 微积分基本定理一 般 的 , 如 果 f x 是 在 区 间 a , b 上 的 连 续 函 数 , 且 Fx f x , 那 么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xdxF baF a,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿莱布尼茨公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其 中F x 叫 做 f x 的 一 个 原 函 数 , 常 把 F b F a 记 作F x |b , 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小区间上任取一点i i 1,2,n ,作和式i 1f i x=i 1nf i ,当 n时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f x 在区间 a, b 上的定积分,记作bbnbaf xdx ,即af xdxanlimf i i 1nb在af xdx 中, a,b 分别叫做积分下限与积分上限,区间 a,b 叫做积分区间,函数f x 叫做被积函数, x 叫做积分变量,2定积分的几何意义f xdx 叫做被积式f xbf xd x 的几何意义af x 0表示由直线表示由直线xa, x b, y 0 及曲线 y f x 所围成的曲边梯形的面积x a, xb, y 0 及曲线 y f x 所围成的曲边梯形的面积的相反f x 0数f x 在 a, b 上有正有表示位于 x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于x 轴下方的曲边梯形的面积负a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_baf xdxF x |baF bF a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【基础考点突破】 考点 1. 定积分的运算1 ,1xee可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 1】设3f xx,就x2x,1x145f x dx 等于 15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 4B. 5C.3D.6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【归纳总结】 运用微积分基本定理求定积分时要留意以下几点：对被积函数要先化简,再求积分.求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和.对于含有肯定值符号的被积函数,要先去掉肯定值符号再求积分.留意用“ Fx fx ”检验积分的对错.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式训练 1. 1 已知 f x 2x1, x 2, 2 ,2假设1 x , x 2 ,4.403f xd x3k,就 k 的值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.0B.0或 1C.0或 1D. 13222022 ·湖北省重点中学高三考试 假设函数 f x 在 R 上可导, f x x x f 1 ,就2f xd x.0题型 2.定积分的几何意义命题点 1. 利用定积分的几何意义运算定积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 2】 定积分39 x2dx 的值为.0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12x变式训练 2. 11 x e 1d x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_命题点 2利用定积分求平面图形面积【例 3】1【2022 唐山质检】已知曲线yx , y积为 S ,就 S =.2x , y1x 所围成的图形的面3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 已 知 曲 线k = yx2 ,ykxk40) 所 围 成 的 去 边 图 形 的 面 积 为, 就3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【归纳总结】 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：1 画出图形. 2 确定被积函数.(3) 确定积分的上、下限,并求出交点坐标. 4 运用微积分基本定理运算定积分,求出平面图形的面积 . 求解时,留意要把定积分与利用定积分运算的曲线围成图形的面积区分开：定2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_积分是一个数值 极限值 ,可为正, 可为负,也可为零,而平面图形的面积在一般意义上总为正 .21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式训练 3. 1如以下图, 曲线 y x的面积为 和直线 x 0,x1 及 y所围成的图形 阴影部分 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 23B. 13C. 12D. 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,直线(2) 由曲线 y 2x2y 4x 2,直线 x 1 围成的封闭图形的面积为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点 3. 定积分在物理中的应用【例 3】 2022 ·武汉调研 一辆汽车在高速大路上行驶,由于遇到紧急情形而刹车,以速25度 v t 7 3t 1t t 的单位： s,v 的单位： m/s 行驶至停止 . 在此期间汽车连续行驶的距离 单位： m是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.1 25ln 5B.8 25ln113C.4 25ln 5D.4 50ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【基础练习稳固】01定积分 .12 xxe dx 的值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A e2 B e 1 C e D e12. 由曲线 y sinx, y cos x 与直线 x 0, x 所围成的平面图形的面积是2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 1B.C. 4223D 22 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23. 一物体在变力 F x 5 x 力单位： N,位移单位： m作用下,沿与 F x 成 30°方向作直线运动,就由 x1 运动到 x 2 时, F x 做的功为 A.3 JB.23 JC.43 JD23 J334. 已知二次函数 yf x 的图象如以下图,就它与x 轴所围成的面积为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 25B. 43C. 32D. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m5. 假设定积分 . 2 x2 2xdx ,就 m等于 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1B 0C 1D 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_26. 如图,由两条曲线 y x ,y1 24x 及直线 y 1 所围成的平面图形的面积为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x7 .0e xd x .5,0 x2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8一物体在力 F x 3x 4, x>2 单位： N的作用下沿与力 F 相同的方向,从 x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_处运动到 x 4 单位： m处,就力 F x 做的功为焦1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9求曲线 yx ,y 2 x, yx 所围成图形的面积3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【学问梳理】2022 年高考数学基础突破导数与积分第 10 讲 定积分与微积分基本定理同学版,后附老师版可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 定积分的概念与几何意义(1) 定积分的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如函数f x在区间 a,b 上连续,用分点将区间 a, b 等分成 n 个小区间,在每个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnb a2. 定积分的性质bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1kf xdxkf(x) dx k 为常数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a ab bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 f1 xf2 x dxf1 xdxf2 x dx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a aab cb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 3f xdxf xdxfxdx 其中 a<c<b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aac3. 微积分基本定理一 般 的 , 如 果 f x 是 在 区 间 a , b 上 的 连 续 函 数 , 且 Fx f x , 那 么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xdxF baF a,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿莱布尼茨公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a其 中F x 叫 做 f x 的 一 个 原 函 数 , 常 把 F b F a 记 作F x |b , 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小区间上任取一点i i 1,2,n ,作和式f i x=i 1i 1nf i ,当 n时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f x 在区间 a, b 上的定积分,记作bnbaf xdx ,即baaf xdxlimnf i i 1nb在af xdx 中, a,b 分别叫做积分下限与积分上限,区间 a,b 叫做积分区间,函数f x 叫做被积函数, x 叫做积分变量,2定积分的几何意义f xdx 叫做被积式f xbf xd x 的几何意义af x 0表示由直线f x 0xa, x b, y 0 及曲线 y f x 所围成的曲边梯形的面积表示由直线 x a, xb, y 0 及曲线 y f x 所围成的曲边梯形的面积的相反数f x 在 a, b 上有正有负表示位于 x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于x 轴下方的曲边梯形的面积baf xdxF x |baF bF a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【基础考点突破】 考点 1. 定积分的运算1 ,1xee可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 1】设f xx,就x2x,1x1f x dx 等于 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3A. 4答案C4B. 5C. 535D. 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e解析f xdx x2xdxe 1 dx131 x2 |1ln x |e5 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111 x323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【归纳总结】 运用微积分基本定理求定积分时要留意以下几点：对被积函数要先化简,再求积分.求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和.对于含有肯定值符号的被积函数,要先去掉肯定值符号再求积分.留意用“ Fx fx ”检验积分的对错.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式训练 1. 1 已知 f x 2x1, x 2, 2 ,1 x2, x 2 ,4.假设3f xd xk403 ,就 k 的值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.0B.0或 1C.0或 1D. 13222022 ·湖北省重点中学高三考试 假设函数 f x 在 R 上可导, f x x x f 1 ,就2f xd x.0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案1B2 43322240340可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析1 f xd x21 x d x23 3 ,当 k 2 时,f xd xk3 , k 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3232402可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xd xk2 x 1d xk x 1d x 3 ,化简得 k k 0,解得 k 0 或 k 1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 由于 f x x解得 f 1 3.x f 1 ,所以 f x 3x 2xf 1.所以 f 1 3 2f 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32所以 f x x 3x .故2f xd x02 x3 3x2d x0x44 x230 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 2.定积分的几何意义命题点 1. 利用定积分的几何意义运算定积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 2】 定积分39 x2dx 的值为.0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9答案4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析由定积分的几何意义知,9 x dx 是由曲线 y9 x ,直线 x 0,x 3,y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 围成的封闭图形的面积. 故39 x dx20· 3924 4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12x变式训练 2. 11 x e 1d x .1答案2 ee 212x121x解析. 11 x e 1d x . 11 x dx . 1e 1d x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12121x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 . 11 x dx 表示单位圆的上半部分的面积,即. 11 x dx 2 ,而 .1e 1d x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x111112x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e x|1 e 1 e 1 e 2,所以 . 11 x e 1d xe2 ee 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_命题点 2利用定积分求平面图形面积【例 3】1【2022 唐山质检】已知曲线yx , y积为 S ,就 S =.2x , y1 x 所围成的图形的面3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知曲线答案1yx2 ,13622ykxk0 所围成的去边图形的面积为4 ,就 k = 3y 2x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析1 由y x, y 2 x得交点 A1 , 1 .由1y x3得交点 B3 , 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S1x1 x dx1033 2x1 x dx33636313可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_360132 x 21 x2|2x1 x2 |21413.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 由的面积为2y x ,得y kx,x 0,或y0x k, y k ,2就曲线 y x2与直线 y kx k>0 所围成的曲边梯形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k kx x2d xk 21 3x xk1 34k3 kk8, k 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3230023 3,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【归纳总结】 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：1 画出图形. 2 确定被积函数.(3) 确定积分的上、下限,并求出交点坐标. 4 运用微积分基本定理运算定积分,求出平面图形的面积 . 求解时,留意要把定积分与利用定积分运算的曲线围成图形的面积区分开：定积分是一个数值 极限值 ,可为正, 可为负,也可为零,而平面图形的面积在一般意义上总为正 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2变式训练 3. 1如以下图,曲线 y x 阴影部分 的面积为 和直线 x 0,x1 及 y1所围成的图形4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2A. 3B.13C.112D.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 由曲线 y 2x ,直线 y 4x 2,直线 x1 围成的封闭图形的面积为 16答案1 D23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2111112112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 1由 x ,得 x或 x 舍 ,就阴影部分的面积为S. 0x d x . x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4111 31221 3111242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ d x 44xx | 320 3x x|1 .442可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解析由y 2x2,y 4x 2,解得 x 1,依题意可得,所求的封闭图形的面积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_122 32232232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.12 x 4x 2d x 3x 2x 2x|1 1×12×1 2×1 3× 132× 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_162× 1 3 .考点 3. 定积分在物理中的应用【例 3】 2022 ·武汉调研 一辆汽车在高速大路上行驶,由于遇到紧急情形而刹车,以速25度 v t 7 3t 1t t 的单位： s,v 的单位： m/s 行驶至停止 . 在此期间汽车连续行驶的距离 单位： m是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.1 25ln 5B.8 25ln113C.4 25ln 5D.4 50ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案C8解析令 v t 0,得 t 4 或 t 3 舍去 ,汽车行驶距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ds4 7 3t 25t1 t07t 3t2 25ln 1 t 4 28 24 25ln5 4 25ln0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25m.【基础练习稳固】01. 定积分 .12 xex d x 的值为 A e2 B e 1 C e D e1答案C1x2x1解析.02 xe d x x e | 0 e. 应选 C.22. 由曲线 ysinx,y cos x 与直线 x 0,x 所围成的平面图形的面积是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 1B.答案D4C.223D 22 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析由 sinx cos x x0 ,2 ,解得 x4 . 故图中阴影部分的面积S 0cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x sinxd x2sinx cos xd x sinx cos x | 4 cos xsinx |2sin 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0444可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos4 cos 0 cos 2 sin 2 cos 4 sin 4 22 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23. 一物体在变力 F x 5x 力单位： N,位移单位： m作用下,沿与 F x 成 30°方向作直线运动,就由x 1 运动到 x 2 时, F x 做的功为 2343A.3 JB.3JC.3JD23 J答案C22321 33244解析.1F xcos 30°dx .1 2 5 x d x5x3x× 21 33, F x 做的功为 33 J.4. 已知二次函数y f x 的图象如以下图,就它与x 轴所围成的面积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2A. 5B.43C.32D. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案B2解析依据 f x 的图象可设 f x a x1 ·x 1 a<0 由于 f x 的图象过 0,1点,所以 a 1,即 a 1.所以 f x x 1 x 1 1 x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12121 3114可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 S .11 x d x2.01 x d x 2 xx | 30 21 .33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m25. 假设定积分 . 2 x 2xdx 4 ,就 m等于 A 1B 0C 1D 2答案Am222解析依据定积分的几何意义知,定积分. 2x 2xdx 的值就是函数y x 2x的图象与 x 轴及直线 x 2, xm所围成图形的面积, y x 2x是一个圆心为 1,0 ,m2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_半径为 1 的半圆,其面积等于2 ,而 .2 x 2xdx 4 ,即在区间 2, m 上该函数图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1应为 个圆,于是得 m 1,应选 A.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_26. 如图,由两条曲线 y x ,y1 2