2022年二次函数动轴和动区间问题 .docx

精品_精品资料_一、学问要点：二次函数在闭区间上的最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一元二次函数的区间最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的争论.一般分为：对称轴在区间的左边,中间,右边三种情形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 f xax2bxc a0 ,求 f x 在 xm, n 上的最大值与最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：将 f x 配方,得顶点为b4acb2b,、对称轴为 x2a4a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a0时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在m, n 上 f x 的最值：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1 ） 当b 2am, n时 , f x 的 最 小 值 是 fb2a4acb2 4a,f x 的 最 大 值 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f m、f n中的较大者.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）当b 2 ab如2am, nm,由 f时 x 在 m, n上是增函数就 f x 的最小值是 f m ,最大值是 fn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 nb2a,由 f x 在 m, n上是减函数就 f x 的最大值是 f(m) ,最小值是fn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a0时,可类比得结论.二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间,求其最值.对称轴与定义域区间的相互位置关系的争论往往成为解决这类问题的关键.此类问题包括以下四种情形：（ 1）轴定,区间定.（ 2）轴定,区间变.（ 3）轴变,区间定.（ 4）轴变,区间变.1. 轴定区间定二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情形是“定二次函数在定区间上的最值”.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 1.函数 yx4x2 在区间 0 ,3 上的最大值是,最小值是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：函数 yx24x2 x2 22 是定义在区间 0 , 3 上的二次函数,其对称轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程是 x2 ,顶点坐标为（ 2,2）,且其图象开口向下,明显其顶点横坐标在0,3上,如图 1 所示.函数的最大值为f 2 2 ,最小值为 f 02 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 .已知 2 x 23x ,求函数 fxx2x图 11 的最值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由已知 2x 23x ,可得 0x3,即函数 f22 x 是定义在区间0, 32上的二次函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 . 将 二 次 函 数 配 方 得 fxx1 23 , 其 对 称 轴 方 程 x142, 顶 点 坐 标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 , 324,且图象开口向上.明显其顶点横坐标不在区间0 , 32内,如图 2 所示.函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 的最小值为 f 01 ,最大值为 f319 .24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图 22、轴定区间变二次函数是确定的,但它的定义域区间是随参数而变化的,我们称这种情形是“定函数在动区间上的最值”.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2.假如函数 f x x1 21 定义在区间t, t1 上,求 f x 的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：函数 f x x上.1 21 ,其对称轴方程为x1 ,顶点坐标为（1, 1 ）,图象开口向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图 1图 2图 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图 1 所示,如顶点横坐标在区间t, t1 左侧时,有 1t ,此时,当 xt 时,函数取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得最小值 f x minf t t121.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图2 所示,如顶点横坐标在区间t , t1 上时,有t1t1 ,即 0t1 .当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1时,函数取得最小值fxminf 11.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图 3 所示,如顶点横坐标在区间t, t1 右侧时,有 t11,即 t0 .当 xt1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时,函数取得最小值fx minf t1t 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上争论,f xmint121, 0tt 21 t1,t110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3.已知f xx22x3 ,当 xt, t1tR时,求f x 的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解：由已知可求对称轴为x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xminf（t1）当tt 21t 时3, f x maxf t1t2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）当t 1 t1 ,即 0 t 1 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据对称性 ,如 tt1210 t 即212 时,f xmaxf t t 22t3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tt1如2112 即 2t 1时,f x max2f t1t 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）当 t综上, f11即 tt 2 x max0 时,2, tf xmax12f tt2t3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t 22t3,t12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_观看前两题的解法,为什么最值有时候分两种情形争论,而有时候又分三种情形争论了？ 这些问题其实认真摸索就很简单解决.不难观看：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到.第一个例题中,这个二次函数是开口向上的,在闭区间上,它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到,有三种可能,所以分三种情形争论.而它的最大值不行能是二次函数的顶点,只可能是闭区间的两个端点,哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到,当然也就依据区间中点与左右端点的远近分两种情形争论.依据这个懂得,不难说明其次个例题为什么这样争论.对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f m, b1 mn如图1f n, b2an如图3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a0时f xmax2af n, b21mn如图2f xminf b 2a,mbn如图4 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a2f m, b2am如图5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f n, b2an如图6f m,b1 mn如图9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a0时f xmaxf b 2a,mbn如图7 2af xminf n,2a2b1mn 如图10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f m, b2am如图82a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,我们称这种情形是“动二次函数在定区间上的最值”.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4.已知 x21,且 a20 ,求函数 f xx 2ax3 的最值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由已知有1x将 f x 配方得：f x1,axa22 ,于是函数 f2a 234a x 是定义在区间1, 1aa2上的二次函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次函数 f x 的对称轴方程是 x顶点坐标为2, 3,图象开口向上24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 a2 可得 xa 21 ,明显其顶点横坐标在区间1, 1的左侧或左端点上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数的最小值是f 14a ,最大值是 f14a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5.1 求f x x图 322ax1 在区间 -1,2 上的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2求函数 yxxa 在 x1 , 1 上的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1 二次函数的对称轴方程为xa ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1当 a即 a 211时, f x maxf 2 4a5 .21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a即 a 2时, f x max2f 12a2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述：f x maxa2a2,a12 .4a5,a12a 2aaaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2函数 y x2图象的对称轴方程为x,应分11 ,1 ,1 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a2 , a242 和 a22222 这三种情形争论,以下三图分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） a2 .由图可知f x maxf 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）2a2 .由图可知f xmaxaf 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） a2 时.由图可知f x maxf 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 1 , a2aa1 , a2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y最大f ,2 2a2 .即y最大,2a24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 1 , a2a1 , a24. 轴变区间变二次函数是含参数的函数,而定义域区间也是变化的,我们称这种情形是“动二次函数在动区间上的最值”.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代入 u 中,得例 6.已知y24a xaa0, ,求 u x322y的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：将y 24axa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,即时,即时,（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值,求函数或区间中参数的取值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7.已知函数f xax22ax1在区间 3,2 上的最大值为 4,求实数 a 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： f xax121a, x3,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如 a0, f x1,不符合题意.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如 a0, 就f xmaxf 28a1,由 8a14 ,得 a38可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）如 a0 时,就f x maxf 11a ,由 1a4 ,得 a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上知 a3 或 a38可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8. 已知函数f xxx 在区间 m, n 上的最小值是 3 m 最大值是 3 n ,求 m , n 的值.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法 1：争论对称轴中 1 与 m, m2n , n 的位置关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如,就f xmaxf n3n,解得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x minf m3m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 mn1 2n ,就f xmax f xminf 13nf m3m,无解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 m1mn ,就2f xmaxf xminf 13nf n3m,无解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如,就f x maxf x minf m3nf n3m,无解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上, m4, n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解读 2：由f x1 x121 ,知 3n1 , n1 , ,就 m,n,1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2226可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又在 m,n 上当 x 增大时f x 也增大所以f xmaxf xminf n3nf m3m,解得 m4, n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值,缩小了m , n 的取值范畴,躲开了繁难的分类争论,解题过程简洁、明白.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9.已知二次函数f xax23 2a1x1 在区间,2 2上的最大值为3,求实数 a 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值.这是一个逆向最值问题,如从求最值入手,需分a0 与 a0 两大类五种情形争论,过程繁琐不堪.如留意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到,因此先运算这些点的函数值,再检验其真假,过程就简明多了.详细解法为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）令2a11f 3 ,得 a2a231可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时抛物线开口向下,对称轴方程为x2 ,且2,2,故2不合题意.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）令 f 2 3 ,得 a121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时抛物线开口向上,闭区间的右端点距离对称轴较远,故a符合题意.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）如 f 3 3 ,得 a2232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时抛物线开口向下,闭区间的右端点距离对称轴较远,故a符合题意.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上, a1 或 a223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解后反思：如函数图象的开口方向、对称轴均不确定,且动区间所含参数与确定函数的参数一样,可采纳先斩后奏的方法,利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得,不妨令之为最值,验证参数的资格,进行取舍,从而躲开繁难的分类争论,使解题过程简洁、明白.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、巩固训练1. 函数 yx 2x1 在1,1 上的最小值和最大值分别是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A 1 ,3 B3,3（ C）411,3（D ）, 324可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 函数yx 24x2 在区间1,4上的最小值是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A7 B4 C 82 D 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 函数 yx 24 x的最值为（）5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A 最大值为 8,最小值为 0（C）最小值为 0,不存在最大值 B 不存在最小值,最大值为8 D 不存在最小值,也不存在最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 如函数 y2x24x, x20,4 的取值范畴是 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 已知函数 f的值为 xax 2a1 x3a 0在区间 , 2 上的最大值是1,就实数 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 假如实数x, y 满意x2y 21,那么 1xy1xy有（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1(A) 最大值为 1 , 最小值为23(B) 无最大值,最小值为43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ C） 最大值为 1,无最小值D 最大值为 1,最小值为4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 已知函数yx 22x3 在闭区间0, m上有最大值 3,最小值 2,就 m的取值范畴是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1,B 0,2(C)1,2(D) ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x228. 如 x0, y0, x2 y1,那么 2x3y 2 的最小值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 设 mR, x1, x2是方程 x22mx1m 20 的两个实根,就1 x2 的最小值 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 设f xx 24x4, xt , t1 tR, 求函数f x 的最小值gt 的解读式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 已知f xx2axa 2,在区间0,1 上的最大值为g a ,求g a 的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12.（ 2022 江苏卷）设 a 为实数,函数f x2x2 xa | xa |.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 如f 01 ,求 a 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 求f x 的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 设函数hxf x, xa,直接写出 不需给出演算步骤 不等式h x1的解集 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解读】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础学问,考查敏捷运用数形结合、分类争论的思想方法进行探究、分析与解决问题的综合才能.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 如f 01 ,就a |a | 1a0a1a21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 当 xa 时,f x3x22axa2 ,f x minf a, a af , a02a 2 , a002a 2, a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 xa 时,f xx2axa ,22f xf a, a02a , a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上 f x min2a 2 , a0 2a2minf a, a022a , a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_, a03可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） xa, 时,hx1得 3x22axa 210 ,4a212 a21128a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a6 或a6 时,0, xa, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当6a6 时, >0,得： xa32a 2 xa32a20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2233xa争论得：当 a2 ,6 时,解集为 a, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当6222时,解集为a32a2a32a2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a, 22 a, 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当22时,解集为 a32a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a, 22, .3可编辑资料 - - - 欢迎下载