2022年高考学生指数与对数函数知识点小结及典型例题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高考指数函数和对数函数一. 基础学问（一）指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地,假如 x n a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n N *负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 0；当 n是奇数时,n a n a,当 n 是偶数时,n a n | a | a a 0 a a 0 2分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：amnama0 ,m ,nN* n1nm a n 1 m n 1m aa n a0 的正分数指数幂等于,0m ,nN* n1 0,0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1）r a ·ararsa0 ,r,sR；sarsa0,r,sR ；（2）r a r aasa0 ,r,sR （3）abr（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地,函数yaxa0 , 且a1 叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R留意：指数函数的底数的取值范畴, 底数不能是负数、 零和 12、指数函数的图象和性质a>1 2 40<a<1 2 466554433221111-40-26-40-2-1-1定义域 R 定义域 R 值域 y0 值域 y0 在 R 上单调递在 R 上单调递增减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过函数图象都过定点（ 0,1）定点（ 0,1）6留意：利用函数的单调性,结合图象仍可以看出：（1）在a ,b 上,fxaxa0 且a1 值域是fa,fb1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 或fb,fa ；（2）如x0,就fx1；fx取遍全部正数当且仅当；fxaxa0 且a1,总有f1 axR；（3）对于指数函数二、对数函数（一）对数1对数的概念： 一般地,假如axNa0,a1 ,那么数 x叫做以a 为底N 的对数,记作：xalogaN（ a 底数, N 真数,logaN 对数式）0,且a1；说明：1留意底数的限制2axNlogaNx；logaN3留意对数的书写格式两个重要对数：1N常用对数：以 10 为底的对数lgN；2自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数ln指数式与对数式的互化幂值 ba N真数 loga N b 底数指数1,M对数N0a, 那 么 ： 1（二）对数的运算性质0,如 果a0, 且alogaM·NlogaMlogaN；2logMlogaMNlogaN；aMnR 3logaMnnlog留意：换底公式logablogcb（a0,且a1；c0,且c1；b0）logca利用换底公式推导下面的结论（1）logambnnlogab；（2）logab1amlogb（二）对数函数1、对数函数的概念：函数ylogax a0,且a1 叫做对2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是（0,+）留意：1 对数函数的定义与指数函数类似, 都是形式定义,留意辨别；如：y 2 log 2 x,y log 5x 都不是对数函数,5而只能称其为对数型函数2 对数函数对底数的限制：a 0,且 a 1 2、对数函数的性质：a>1 32.50<a<1 32.5221.54 56 78-11.56 711110.50.50-0.5112 34 50-0.5-1112 3-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5定义域 x0 定义域 x0 值域为 R 值域为 R 在 R上递增在 R上递减函数图象都函 数 图 象 都 过 定过定点（ 1,点（ 1,0）0）81、指数函数与对数函数1、（2022 湖南文）log22 的值为（）D1 2A2B2C122、（2022 安徽文）log 9log 4（）DA1 4B1 2C3、（2022 全国文） 设alg , e b2 lg ,clge 就 1的反函数,其图像经过A. abc B.acb C.cab D.cba4、（ 2022广 东 理 ） 如函数yf x 是函数yaxa0,且a点 a a,就f x （）D. x2A. log xB. log xC. 1 x 221 x15、（2022 四川文） 函数y2x1xR 的反函数是（）A. y1l o gx x0 B. ylog 2x3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - C. y1log2x x0 D. ylog 2x1 x16、（2022 全国理） 设alog3,b.3log23,clog32,就（）bcaacA. abcB. acb C. C. bacD. b107、设alog1,2blog1,3c,就（）2ca D .32abbA.abc B. c【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用,考查了基本的运算才能；8、如 log a0,1 b 1,就 2A a1,b 0 Ba1,b 0 C. 0a 1, b 0 D. 0a1, b 0 9、（2022 江苏） 已知集合 A x log 2 x 2 , B , a ,如 A B 就实数 a 的取值范畴是 , ,其中 c = 【解析】考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式；10、设 2 a5 b m ,且1 12,就 m（）a bA. 10 B.10 C.20 D.100 11、（2022 全国文） 函数 y 1 ln x 1 x 1 的反函数是 x 1 x 1 x 1 x 1A.y= e-1x>0 B. y= e +1x>0 C. y= e-1x R D.y= e +1 x R 12、方程 4 x 2 x 1 3 0 的解是 _ . 113、（2022 四川理） 运算 lg 1lg 25 100 2 _ 414、函数 f x log 5 2 x 1 的单调增区间是 _ ；15、已知函数 f x lg x , 如 f ab 1 , f a 2 f b 2 _ . 【考点定位】本小题考查的是对数函数 , 要求同学会利用对数的运算公式进行化简 , 同时也要求同学对于基础的对数运算比较熟识 . 2 3 216、7）设 a（3）, b（2）,c（2） ,就 a, b,c 的大小关系是5 5 5A.a cb B.abc C.cab D.bca 【方法总结】依据幂函数与指数函数的单调性直接可以判定出来 . 17、（2022 四川理）2 log 5 10 log 5 0 . 25（）4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - A.0 B.1 C. 2 D.4 18、（2022 天津文） 设alog 4,b（log53）,2clog5 4,就 （）bacAacb B.bca C.abc D.【温馨提示】 比较对数值的大小时,行比较；通常利用 0,1 进行, 此题也可以利用对数函数的图像进19、（2022 四川文） 函数y1 2x1的图象关于直线y=x 对称的图象像大致是（）20、（2022 四川文） 函数yaxa a0,a1的图象可能是（）【点评】函数大致图像问题, 解决方法多样 , 其中特别值验证、排除法比较常用, 且简洁易用 . 21、2022 广东文 如函数 y f x 是函数 y a（xa 0,且 a 1）的反函数, 且 f 2 1,就 f x （）Alog 2 x B1x Clog 1 x D 2 x 22 2【解析】函数 y a（xa 0,且 a 1）的反函数是 f x log a x ,又 f 2 1 ,即 log 2 a 1 ,所以 , a 2 ,故 f x log 2 x,选 A. x 322、（2022 北京理） 为了得到函数 y lg 的图像,只需把函数 y lg x 的图像上全部的10点（）A向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - D向右平移3 个单位长度,再向下平移1 个单位长度23、（2022 全国文） 函数ylog22x x的图像（）D.关于直线yx 对224、 A. 关于原点对称B.关于直线yx 对称C.关于 y 轴对称称【 解 析 】 本 题 考 查 对 数 函 数 及 对 称 知 识 , 由 于 定 义 域 为 2 , 2 关 于 原 点 对 称 , 又f x f x ,故函数为奇函数,图像关于原点对称,选 A；24、（ 2022 辽宁文）已知函数 f x 满意：x4, 就 f x 1 x ；当 x4 时 f x f x 1,2就 f 2 log 3 A.1 B. 1 C. 1 D. 324 12 8 8log 2 x x 0,25、（2022 天津理） 如函数 f x = log 1 x , x 0 , 如 f a f a , 就实数 a 的取值范畴2是（）A. （ -1 ,0）（ 0,1） B.（- , -1 ）（ 1,+ ） C.（ -1 ,0）（ 1,+ ） D.（- , -1 ）（ 0,1 ）【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类争论的方式求解,解对数不等式既要留意真数大于 0,同事要留意底数在（0,1）上时,不等号的方向不要写错；26、（2022 湖北文） 已知函数f x log3x x0,就ff1 9（） x 2 ,x0A.4 B. 1 C.-4 D-1 4427、（ 2022 安徽文） 如点a,b 在ylgx图像上,a1,就以下点也在此图像上的是（A.（1 b a B. 10a1,b C.10,b1 D.a2, 2 ba【解析】由题意blga ,blgalga ,即a2,2b 也在函数ylgx图像上 . 【命题意图】此题考查对数函数的基本运算,考查对数函数的图像与对应点的关系. 28、（2022 辽宁理） 设函数fx21x,x21x1,就满意fx2的 x 的取值范畴是 1logx ,6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - A,12 B0 2,C,11,+ D0,29、（2022 重庆文） 设函数 f x x 2 4 x 3, 3 x 2, 集 M x R | f g x 0,N x R g x 2, 就 M N 为（）A 1, B0,1 C-1,1 D ,1【考点定位】 此题考查了利用直接代入法求解函数的解析式以及指数不等式的解法 . 此题以函数为载体 , 考查复合函数 , 关键是函数解析式的确定 . 30、函数 y log 2 x 4 x 2,4 的最大值是 _ . log 2 x31、 如实数 , , 满意 ,就 的最大是 . 32、已知 f x m x 2 m x m 3 , g x 2 x 2 . 如 x R f x 0 或 g x 0 , 就 m 的取值范畴是 _ . 【考点定位】此题考查同学函数的综合才能 , 涉及到二次函数的图像的开口 , 根的大小 , 涉及到指数函数 , 仍涉及到简易规律中的“ 或”, 仍考查了分类争论的思想 , 对 m 进行争论 . 33、已知函数 f x lg x 1 . 1 如 0 f 1 2 x f x 1 , 求 x 的取值范畴 ; 2 如 g x 是以 2 为周期的偶函数 , 且当 0 x 1 时, 有 g x f x , 求函数y g x x ,1 2 的反函数 . 2、函数的零点部分1、函数fx4x4,xx11的图象和函数gxlog2x的图象的交点个数是x24x3 ,（）xB.3 x1C.2 ）D.1 A.4 f2、函数log 2x2的零点必落在区间（7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - A.1,1B.1,1C.11,D.1,2 84422x3、数 f x 的零点与 g x 4 2 x 2 的零点之差的肯定值不超过 0.25, 就 f x可以是（）A. f x 4 x 1 B. f x x 1 2C. f x e x1 D. f x ln x 1214（10 上海理）如 0x 是方程 1 xx 3 的解,就 x 属于区间（）2A21, . B1, 2 . C1, 1 D,0 13 2 3 3 2 35（10 上海文）如 x 是方程式 lg x x 2 的解,就 0x 属于区间（）A（0,1）. B（1,1.25）. C（1.25,1.75）D（1.75,2）x6（10 天津理）函数 f x 2 3 x 的零点所在的一个区间是（）A,2 1 B0,1 C0 1, D2,17函数 f x e xx 2 的零点所在的一个区间是（）A,2 1 B0,1 C0 1, D2,18设函数 f x 4 sin 2 x 1 x , 就在以下区间中函数 f x 不存在零点的是（）A,4 2 B2 , 0 C0 2, D,2 49、浙江文）已知 0x 是函数 f x 2 x 1 的一个零点,如 x 1 ,1 x 0,x 2 x 0 ,1 x就（）Af 1x 0,f x 2 0 Bf 1x 0,f x 2 0Cf 1x 0,f x 2 0 Df 1x 0,f x 2 04 x 4,x ,10函数 f x x 24 x 3,x 1 的图象和函数 g x log 2 x 的图象的交点个数是（）8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - A4 B3 C2 D1 11如函数 f x 的零点与 g x 4 x2 x 2 的零点之差的肯定值不超过 0.25,就f x 可以是（）A. f x 4 x 1 B. f x x 1 2C. f x e x1 D. f x ln x 12212（09 重庆理）已知以 T 4 为周期的函数 f x m 1 x , x 1,1,其中1 x 2 , x 1,3m 0；如方程 3 x 恰有 5 个实数解,就 m的取值范畴为（）A 15 8, B 15, 7 C4 8 , D4 , 73 3 3 3 3 32x 2 x ,3 x 013（10 福建理）函数 f x 的零点个数为（）2 ln x , x 0A0 B1 C2 D3 aa b 1,14.（11 天津）对实数 a 和 b ,定义运算“” ：a b 设函数b a b 1.2 2f x x 2 x x , x R 如函数 y f x c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,就实数 c的取值范畴是A, 21,3B, 2）1,324C1,11,D1,31 4,44415（11 陕西）函数 fx=x cosx在0,+）内 （A）没有零点（B）有且仅有一个零点（C）有且仅有两个零点（D）有无穷多个零点0在区间（ 0,1）内有两个不同16.（11 重庆）设 m,k 为整数,方程mx2kx2的根,就 m+k 的最小值为（A）-8 fxa（B）8 a0且a1C12 D 13 17、如函数xxa有两个零点,就实数a 的取值范畴是a|a1. 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 18、方程9x63x70的解是l o g 7. 19、已知函数yfx 和ygx在2 ,2 的图象如下所示：给出以下四个命题： 方程fgx0有且仅有 6 个根 方程gfx 0有且仅有 3 个根 方程ffx0有且仅有 5 个根 方程ggx0有且仅有 4 个根其中正确的命题是（将全部正确的命题序号填在横线上） . 20、已知定义在 R 上的奇函数 f x ,满意 f x 4 f x ,且在区间 0,2上是增函数 , 如 方 程 f x m m 0 在 区 间 ,8 8 上 有 四 个 不 同 的 根 x 1 , x 2 , x 3 , x, 就x 1 x 2 x 3 x 4 _.2 , x 221已知函数 f x x 如关于 x 的方程 fx=k 有两个不同的实根,3 x 1 , x 2就数 k 的取值范畴是 _ 22（08 湖北文）方程 2 xx 23 的实数解的个数为223（08 上海理）方程 x 2 x 1 0 的解可视为函数 y x 2 的图像与函数y 1 的图像交点的横坐标 如方程 x 4ax 4 0 的各个实根 x 1, , ,x k k4x所对应的点 x i,4（i 1 2, ,k）均在直线 y x 的同侧,就实数 a 的取值范畴x i是24（09 山东理）如函数 f x a xx a a 0 a 1 有两个零点,就实数 a 的取10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 值范畴是；25已知定义在 R 上的奇函数 f x ,满意 f x 4 f x ,且在区间 0,2上是增函数 , 如 方 程 f x m m 0 在 区 间 8,8 上 有 四 个 不 同 的 根 x x 2 , x x , 就x 1 x 2 x 3 x 4 _.226（10 全国 I 理）直线 y 1 与曲线 y x x a 有四个交点,就 a 的取值范畴是；27（07 全国 II 理）已知函数 f x x 3x；（1）求曲线 y f x 在点 M t , f t 处的切线方程；（ 2 ） 设 a 0, 如 果 过 点 a, b 可 作 曲 线 y f x 的 三 条 切 线 , 证 明 ：a b f a；28（08 四川理）已知 x 3 是函数 f x a ln1 x x 210 x 的一个极值点（）求 a ；（）求函数 f x 的单调区间；（）如直线 y b与函数 y f x 的图像有 3 个交点,求 b 的取值范畴29（09 江西文）设函数 f x x 3 9 x 26 x a2（1）对于任意实数 x ,f m 恒成立,求 m 的最大值；（2）如方程 f 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范畴30（09 天津文）设函数 f x 1x 3x 2 m 21 x , x R , 其中 m 03（）当 m 1 时,曲线 y f x 在点（1,f（1）处的切线斜率；（）求函数的单调区间与极值；（）已知函数fx有三个互不相同的零点0,x 1, x 2,且x 1x2；如对任意的xx 1x 2,fxf1 恒成立,求 m 的取值范畴；a0；曲线yf x 在fx1x3ax2bxc,其中31（10 湖北文）设函数3211 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点P,0 f0处的切线方程为y1；（1）确定b c 的值；（2）设曲线yf x 在点x 1,f x 1 及x 2,f x 2处的切线都过点0 2,；证明：当x 1x 时,fx 1fx 2；（3）如过点,0 2可作曲线yf x 的三条不同切线,求a 的取值范畴；12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页