《概率论与数理统计》期末考试试题及答案（2022年-2023年）.docx
2022年-2023年最新概率论与数理统计期末考试试题(A)专业、班级：姓名：学号：题号四五六七八九十十一十二总成绩得分一、单项选择题(每题3分共18分)D 2. A 3. B 4. A 5. A 6. B假设事件A、5适合P(AB) = 0 ,贝以下说法正确的选项是().(A) A与8互斥(互不相容)；(B)-=0或尸仍)=0；(C) A与5同时出现是不可能事件；(D)尸>0,那么 P(BA) = Q.(2)设随机变量X其概率分布为 X -1012P 0. 2 0. 3 0. 1 0.4那么 PX41.5= ( )o(A) 0.6(B) 1(C) 0(D)-2(3)设事件A与A同时发生必导致事件A发生，那么以下结论正确的选项是()2(A) P( A) = P( AA) (B) P(A)2P+ P(A )-11 212(C) P(A) = P(A A) (D) P(A)<P(A + P(A )-11212(4)设随机变量xN(-3, 1), Y N(2, 1),且X与y相互独立，令 Z = X-2Y+7 ,贝ij Z ().(A)N(O, 5);(B)N(O, 3);(C)N(0,46);(D)N(0,54).2022年-2023年最新(5)设X X , ,X为正态总体N(|llq2)的一个简单随机样本，其中。=2,日 1,2未知，那么()是一个统计量。 ZX2+G2(B)E(X -)1)2iiz=1/=1(C)X-|i(D)"N设样本人七，X来自总体* NM。2),。2未知。统计假设为H ： 口 二日(日)000为H ： 口 二日(日)000夫 |Ll(A) U 二皿kH : JLIWH。那么所用统计量为(10并一N(B) T=QS/诉(C)" =(71-1)52O 2(D5二、填空题(每空3分共15分)x> 0 x<Qx> 0 x<Q3e-23. -14. z(9)X是来自总体X的9(1)如果 P(A) > 0, P(B) > 0, P(B) = P(A),那么 P(BA) = (2)设随机变量X的分布函数为口、J。，x<0,/(x) = 11 (1 + X)-x, X > 0.那么X的密度函数/(%)=, P(X2)= (3)设是总体分布中参数。的无偏估计量丁洲人-用+30；123123当。二卫时，。”也e是的无偏估计量.样本，r5r, 12Y是来自总体y的样本，那么统计量9服从分布(要求给出自由度)。(4)设总体X和Y相互独立，且都服从N(0,1), x,x, 122022年-2023年最新三、(6 分)设 相互独立，P(A) = 0.7, P(A B) = 0.88 ,求 P(A-8).解：0.88= P(AB)= P(A) + P(B)_ P(AB)=P(A) + P(8) P(A)P(3)(因为 A, B 相互独立)2 分= 0.7 + P(B)-0.7P(B)3 分贝IP(B) = 0.64 分P(A B) = P(A) - P(AB) = P(A) - P(A)P(B) = 0.7-0.7x0.6 = 0.286 分国(6分)某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T,各电梯在 运行的概率均为0.7,求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。解：用X表示时刻厂运行的电梯数，那么X仇4, 0.7)2分所求概率px> 1=1 - px=。4 分=1-Co (O.7)o (1- 0.7)4 =0.99196 分4五(6分)设随机变量x的概率密度为/5)= "',其它求随机变量Y=2X+1的概率密度。解：因为y = 2% + l是单调可导的，故可用公式法计算 1分当X20时,y>12分由 y = 2x +1,得 x = y f I-9 % 2f y-1从而y的密度函数为f (y)=<Y 0由 y = 2x +1,得 x = y f I-9 % 2f y-1从而y的密度函数为f (y)=<Y 04分1-415分J< 122022年-2023年最新22=<.6 分0y <1六（8分）随机变量x和丫的概率分布为x1o1y | o111111p_p _42422而且 PXY=Q = V（1）求随机变量x和y的联合分布；（2）判断x与y是否相互独立？解：因为 pxy=o=i,所以尸xkwo=o根据边缘概率与联合概率之间的关系得出2 2 4所以 x与y不相互独立 8分2022年-2023年最新七(8分)设二维随机变量(XI)的联合密度函数为12e-(31+4田,x> O,y >0,fg y)=<0,其他.X.求(1)p(ovx vi,owy«2)；(2)求x 的边缘密度。M (1) P(0 « X «1,0 W Y « 2) =2e -+”)dy2 分00=f13e-xdx-2 4e-)dy= L-3a Le_4?l0000=1 一 e-3 1 e-8 4 分(2) f (x) =(3x+4)，)dy6分X-O03e-3x % > 0c 八=<8 分0x<02022年-2023年最新八、(6分)一工厂生产的某种设备的寿命X (以年计)服从参数为1的指数分 4布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。假设工厂售出一台设备 盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利的期 望。1 1 e-x x> 0解：因为Xe(_) 得/(工)=4 42分4 I 0 x<0用y表示出售一台设备的净盈利y=|100 x- 13 分100-300 0<X <1rf 1 X1那么尸(y = 100) =卜8二_e 4dx41 4p(r = -200)=P -： =1-e4 分_e 4公4o4所以 £7 = 100x4 + (-200) x(1-e-4)i300e-4 -20033.64 (元)九(8分)设随机变量X与y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,求E(2X-y), D(2X-y)o解：石X=2, EY = 2, DX=1, DY = 4, p =-0.5XY那么 E(2X-y) = 2EX - EY = 2x(-2)-2 = -64 分D(2X-Y) = D(2X) + DY-2cov(2X,Y)5 分=2DX + DK-4 cov(X3 K)6 分=2DX + DY-4DX 4DYp =128 分XY2022年-2023年最新十（7分）设供电站供应某地区1 000户居民用电，各户用电情况相互独立。已 知每户每日用电量（单位：度）服从0, 20上的均匀分布，利用中心极限定 理求这1 000户居民每日用电量超过10 100度的概率。（所求概率用标准正 态分布函数中（%）的值表示）.解：用X表示第i户居民的用电量，贝X U0,20 ii0 + 20（20-0）2 100EX = 10 DX = 一 2分/2，123那么1000户居民的用电量为x=*x ,由独立同分布中心极限定理 iZ=1px> 101 oo=1-px< 10100）3 分= 1-PX 1000x101000x10100-1000x10,1110004分1-0(10100-1000x101100 )(lOOOx6分7分1（7分）设乙工，是取自总体X的一组样本值,12X的密度函数为f（0 + 1）A：0 , 0 < X < 1,/（、）=八甘/山0,其他，其中。>0未知，求。的最大似然估计。解：最大似然函数为L(x, ,x 5O)=H/(x)=H(O+1)x92 分1nii/=1z=13分2022年-2023年最新In L(x ,x,0) =nln(0+1) + 0ln(x ,%)1n1n0 <x , X <1.4 分1令 d Tn L _ +|n(x , ,x ) = 05 分dQ 0+11于是e的最大似然估计：鼠=-1 -。7 分In ln(x , x)1 n十二(5分)某商店每天每百元投资的利润率XN(n,1)服从正态分布，均值为n，长期以来方差。2稳定为1,现随机抽取的100天的利润，样本均值为亍=5,试求日的置信水平 为95%的置信区间。(2.05(1。) = 199,0(1.96) = 0.975 )解：因为。，且±1匕N(0,1)1分故 PJ Azli < U | = 1a2 分llXrl9依题意 a = 0.05, U = 1.96, n 00, o =1, x = 5 n 2那么ILL的置信水平为95%的置信区间为x-U .工,a+U -_Z_4 分a yn a n 22即为 4,801,5.1995 分
