剖析高考数学中的恒成立问题.doc

剖析高考数学中的恒成立问题广东省湛江市坡头区第一中学 范友玉新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。这三年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分。解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：函数性质法；主参换位法；分离参数法；数形结合法。下面我就以近三年高考试题为例加以剖析：一、函数性质法1、二次函数：.若二次函数（或）在R上恒成立，则有（或）；.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。图31oxy图11xy01xy0图2例1(08年江西卷理12)已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ )A(0，2) B(0，8) C(2，8) D(，0)分析：与的函数类型，直接受参数的影响，所以首先要对参数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题。解析：当时，在上恒成立，而在上恒成立，显然不满足题意；(如图1)当时，在上递减且只在上恒成立，而是一个开口向下且恒过定点（0，1）的二次函数，显然不满足题意。当时，在上递增且在上恒成立，而是一个开口向上且恒过定点（0，1）的二次函数，要使对任一实数，与的值至少有一个为正数则只需在上恒成立。(如图3)则有或解得或，综上可得即。 故选B。例2（09年江西卷文17）设函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）对于任意实数，恒成立，求的最大值。（节选）解析：(1) , 对, 即 在上恒成立, , 得，即的最大值为。2、其它函数：恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）.例3（07年重庆卷理20)已知函数在处取得极值，其中、为常数.（1）试确定、的值； （2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围。分析： 恒成立，即 ，要解决此题关键是求 ，。解：（1）（2）略（3）由（2）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.要使恒成立，只需.即，从而. 解得或. 的取值范围为.例4（08天津文21）设函数，其中（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围（节选）分析：，即，要解决此题关键是求。解：（）由条件可知，从而恒成立当时，；当时，因此函数在上的最大值是与两者中的较大者为使对任意，不等式在上恒成立，当且仅当，即，即在上恒成立即，所以，因此满足条件的的取值范围是例5（09年全国卷II文21）设函数，其中常数（II）若当时，恒成立，求的取值范围。（节选）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 分析：利用导数求函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。解：（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。；则由题意得.5.u.c.o.m 即解得 。二、主参换位法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。例6（07辽宁卷文科22)已知函数，且对任意的实数 均有，.() 求函数的解析式；()若对任意的，恒有，求的取值范围.解析： () ，而，恒成立.则由二次函数性质得 ，解得， 。（）.令，则 即.由于，则有. 解得 .所以的取值范围为。例7 (08安徽文科20)已知函数，其中为实数（）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围（节选）分析：已知参数的范围，要求自变量的范围，转换主参元和的位置，构造以为自变量作为参数的一次函数，转换成，恒成立再求解。解析：由题设知“对都成立，即对都成立。设（），则是一个以为自变量的一次函数。恒成立，则对，为上的单调递增函数。 所以对，恒成立的充分必要条件是，于是的取值范围是。三、分离参数法 利用分离参数法来确定不等式,（ ,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:（1） 将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2） 求在上的最大（或最小）值；（3） 解不等式(或) ，得的取值范围。适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。例8 （07年山东卷文15)当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .解析: 当时，由得.令，则易知在上是减函数，所以时，则.例9（09年山东卷文21）已知函数,其中 w.w.w.k.s.5。（1） 当满足什么条件时,取得极值?（2） 已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.分析：此题虽有三个变量、，而的范围已知，最终要用表示出的取值范围，所以可以将看成一个已知数，对和进行离参。解析：(2) 在区间上单调递增在上恒成立恒成立，。设，令得或(舍去)，当时,，当时，单调增函数；当时，单调减函数, 。当时，此时在区间恒成立，所以在区间上单调递增，。综上，当时, ； 当时，。四、数形结合（对于型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。O例10 (07安徽理科3)若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是(A) (B) (C) （D） 解析：对,不等式恒成立则由一次函数性质及图像知，即。上述例子剖析了近三年数学高考中恒成立问题的题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的不同，但其实质却都与求函数的最值是等价的，这也正体现了数学中的“统一美”。 2009年6月