2023年新高考复习讲练必备第28讲双曲线（讲义）.docx
2023年新高考复习讲练必备第28讲双曲线一、知识梳理.双曲线的定义一般地，如果B，B是平面内的两个定点，是一个正常数，且2<尸1尸2|，那么平面上满足 IIPBITPBII=2q的动点。的轨迹称为双曲线,其中，两个定点为，B称为双曲线的焦点, 两个焦点的距离尸iB|称为双曲线的焦距.其数学表达式:集合 M=P|PB| 一|PB|=2q, |FiF2| = 2c,其中 0,。为常数且 a>0, c>0.(1)假设a<c,那么点P的轨迹为双曲线；假设a=c,那么点P的轨迹为两条射线；假设a>c,那么点。的轨迹不存在.1 .双曲线的标准方程和几何性质标准方程X22-1。0, b>0)2/，一2一1(。>0，。)图形7 .性 质范围工三。或xWo, y£R对称性对称轴：坐标轴;对称中心：原点顶点4(一，0),左 0)4(0, a), A2(0,。)渐近线b y=±x / aa砂离心率ce一e£(l, + °°)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|AiA2| = 2a；线段B1星叫做双曲线的虚轴，它的长度B&| = 2。；。叫做双曲 线的实半轴长，匕叫做双曲线的虚半轴长a, b,。的关系c1=cr+b2二、考点和典型例题1、双曲线的定义和标准方程【典例Ml双曲线的两个焦点分别为耳（0,-5）,耳（0,5）,双曲线上一点P与耳，尸2的距离差的绝对值等于6,那么双曲线的标准方程为（22A. 土-工9 1622B. 匕-匕=116 922C.二土 = 19 1622D.二一 j16 98（3,0）,其内切圆圆心在直线x = 2上,【典例1-2】在平面直角坐标系中，A8C的顶点A（-3,0）, 那么顶点C的轨迹方程为（22A.-乙=1(尤>2)45 V 722B. 土 匕=1(工3)95 v 7【典例1-3产是双曲线上-上 4 121的左焦点，41,4）,。是双曲线右支上的动点，那么IPFI + IB4I的最小值为（A. 9A. 9B. 8C. 7D. 6【典例1-4】【典例1-4】耳，尸2分别为双曲线f-丁=2的左、右焦点，点尸在双曲线的右支上，且|P段2=8比周，那么|尸耳卜（A. 6>/2A. 6>/2B. 2a/2C. 272+4D. 2V2 + 2【典例1-5】耳,【典例1-5】耳,尸2分别是双曲线X2? = 1的左右焦点，点P在该双曲线上，假设上耳|=5,那么PF2 =(A. 4A. 4B. 4 或 6C. 3D. 3 或 72、双曲线的性质2、双曲线的性质22【典例2-1】双曲线二一斗二1（Qa- b匕均为正数）的两条渐近线与直线x = -l围成的三角形的面积为百，那么双曲线的离心率为（A. y/6A. y/6B. 73C. 2V3D. 2【典例2-2】椭圆G：【典例2-2】椭圆G：x2一 +422=1与双曲线G：二-2=1的离心率之积为1,那么双曲线G的两条渐近 cr b一线的倾斜角分别为（B.B.713C,四，266尤2【典例2-3】假设双曲线C：T2卜1的一条渐近线与直线，：3%+2一 =。相互垂直，那么双曲线。的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为A. 275A. 275B. 6C. 2713D. 822【典例2-4】点尸（4加,0）是双曲线C:- = 1（q>0/0）的右焦点，过E作双曲线。的一条渐近线的垂线，垂足为M,假设0Mb （点。为坐标原点）的面积为8,那么。的实轴长为（）A. 8B. 6a/3C. 6D. 4G2【典例2-51点P是双曲线/ 一二二1上的动点，过原点。的直线/与双曲线分别相交于M、N两点, 4UUIT UUUI那么PM + PN的最小值为（）A. 4B. 3C. 2D. 13、双曲线的综合应用【典例3-1】双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一局部绕其虚轴旋转所成的曲面，如下图，它的最小半径为46米，上口半径为土叵米，下口半径为处叵米，高为24米，那么该双曲线的离心率为（）3A. 2B. V3C. 72D. 272【典例3-2】双曲线的光学性质如下：如图1,从双曲线右焦点&发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点月.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性22质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一局部，如图2,其方程为二-二=1,大，鸟分别为其左、右焦点, a b假设从右焦点尸2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后（鸟，45在同一直线上），满足AB±ADABC = 9那么该双曲线的离心率的平方为（）4D. 5-272A. V2 + 1B. V2+3C. 5 + 2也【典例3-3】求满足以下条件的双曲线的标准方程.焦点在x轴上，实轴长为4,实半轴长是虚半轴长的2倍;焦点在y轴上，渐近线方程为=3%，焦距长为2丽.2【典例3-4】双曲线C: ap- = 1(6Z > 0,h> 0)的渐近线方程为 Gx±2y = 0 ,且过点（2出,后）.（1）求双曲线。的方程；过双曲线的一个焦点作斜率为1的直线/交双曲线于A3两点，求弦长悄倒.29【典例3-5】双曲线C*-方=1（4>0,。>0）的离心率为 虚轴的长为4.求。力的值及双曲线。的渐近线方程；直线丁 二履-2与双曲线0相交于互异两点，求左的取值范围.
