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桂林市逸仙中学2021秋季学期段考试题科目：高二数学（理科）考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共分）1 .不等式2%+3 %2>。的解集是（）A. x|-l<x<3B. x|-3<x<lc. x X < -1 或X>3D. x x < 3【答案】A【解析】【分析】求出不等式2x+3-V >0对应方程的实数根，即可写出不等式的解集.【详解解：不等式2x + 3 %2>。对应的方程为2工+ 3 /=0,它的实数根为-1和3,所以，该不等式的解集为x|i<x<3.应选：A.2.在A6C中，B = 135。，C = 15。， = 4,那么此三角形的最大边长为（）A. 5亚B. 56C. 4a/2D. 473【答案】C【解析】【分析】3角最大，那么人边最长，那么由正弦定理可求解.【详解】在ABC中，3 = 135。，C = 15°,那么A = 30。B角最大，那么Z?边最长.,a n|Z / b =由=，那么sin B sin Asin Asin B =-x sin 135° = ? x= 4 夜sin 30012应选：C数对，第一个数从1递增至1,第二个数从几1递减至1;10x(10 + l)<60<llx(ll + l)第60个整数对在整数和为12的整数对中，排在第5个整数对的位置,.第60个整数对为(5,7).故答案为：(5,7).三、解答题(本大题共6小题，共70. 0分)17.数列q(eM)为等差数列，且。4=8, 4=4.1)求数列4通项公式；2)设数列%的前项和S，求S的表达式.【答案】1) 。二12 几； s 二-2 + 23rl2【解析】【分析】(1)将% =8,。8=4用卜4表示，解方程组求出q,d,代入等差数列的通项公式即可;(2)利用等差数列前和公式直接求解即可.【详解】(1)由题意知，% =8,小=4,4 + 3d = 8a. =11那么 r,解得Iq + 7 d = 4d = 1所以q=11 + (/? -1) x (-1) = 12 - h .由知工二姐夏二也一-n2 +23一 218.在3c中，角A, B,。所对的边分别为c,且。+ 2b = 2ccosA.求C；12)假设 =1,石。的面积为百，求c.2乃【答案】1) C = 2C = V21【解析】【分析】(1)利用正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式化简求解即可.(2)根据三角形的面积公式可得8=4,再代入余弦定理求解c即可.【详解】解：(1)由正弦定理得sinA + 2sinB = 2sinCcosA,所以 sin B = sin( A + C) = sin A cos C + cos A sin C,那么 sin A+2sin Acos C = 0,又因为 sin A。0,所以 cosC = -,，Cw(0,1)，22%所以C = ；32) ABC的面积为 JL 所以Qxlxbxsin3- =，3,解得b = 4,由。2 = 16 + l-2xlxxcos- = 21,3所以 c = 5/2T -【点睛】此题主要考查了解三角形与三角恒等变换的运用，需要根据题意选择适宜的公式进行 化简.属于根底题.19 .某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为120。!？，深3加.如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是 多少？【答案】将水池的底面设计成边长为20m的正方形时，总造价最低，最低总造价是116000元【解析】【分析】设出底面的长为X,宽为上根据总容积求得X与y的等量关系.表示出总的造价后，将式子转化 为关于X的等式，结合根本不等式可求得最低总造价及底面的长和宽的值.【详解】设底面的长为工九宽为水池总造价为Z元，容积 200m31,可得3肛= 1200,因此 xy = 400,根据题意，池底每平方米的造价为200元,池壁每平方米的造价为150元,有z = 200xy + 150（2x3x+2x3>y） = 200xy+900（x+>y）,由根本不等式及不等式性质，可得z = 80000 + 900（x+3；） > 80000+900x2而,即 z > 80000 + 900 x 2a/400 = 116000,当且仅当x = y = 20时，等号成立.所以,将水池的底面设计成边长为20m的正方形时，总造价最低，最低总造价是116000元.【点睛】此题考查根本不等式在实际问题中的应用，根据根本不等式求最值，注意等号成立的条 件,属于根底题.20 .数列中，卬=1, %=7,且。+=%+力：.1）求4的值及数列4的通项公式；71r 、2）设仇二Y，数列的前项和为7；,证明（<2.【答案】（1） 1; 4=也±2; （2）证明见解析.2【解析】【分析】1）由弓二1,结合4用=+%"递推得到。4=。1+6力，再由。4=7求解；然后由。+1 一 % =几用累加法求解712（12）由11）得到包=-=2,然后利用裂项相消法求解.4+1 - 1 几（" + 1）n + l J【详解】1）由题意知，q=l, a2= a+A , a3=a2 + 2A, a4=a3+3/l,* % = q + 6X ,即 7 = 1 + 64, A = l.=n- 4Zj = 1 , 6Z0 - Cl 1,-Cl° = 2 ,.，一Q. - 4 = ，n-an = % + % 4 + % + , + Cln - an-=1 + 1 + 2 + .+ 一 1(77-1)(1 + /2-1) n2 -n+ 22-2rr -n+ 2vT fZ + 2(2)由1)知见=上士5 + 1)2_( + 1) + 24+i =；712所以 6 = 2。+1 "5 + 1)=2=2n n + )( 1、=2- n + =2- n + 二2 1I n + ) .U<2.【点睛】方法点睛：求数列的前项和的方法公式法：等差数列的前项和公式，s =+")=几<+ "一'a等比数列的前 212navq-项和公式S= q(l ；I i-q分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾假设干项.(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，那么这个数列的前项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，那么称之为并项求和.形如出=(一1)叭力类型，可采用两项合并求解21.如图， 四边形 A8C3中，AD±AB ZCAB = 60°，ZBCD = 120°，AC = 2.1）假设NA3C = 15°，求。C;2）记NA5C = 8,当e为何值时，BCD的面积有最小值？求出最小值.【答案】1）也；6 = 75°，S取最小值6 36.【解析】【分析】1）在四边形 A3CD 中，根据ZBCD = nO°， NA8C = 15°，求得ZADC = 135°，然后在38中，利用正弦定理求解.（2）根据四边形内角和360°，得到乙4。= 150°8,然后在AZX7中，利用正弦定理求得DC,同理在ABC中，求得3C,然后利用5秒8=,。8。$由120°,结合三角函数 的性质求解.【详解】1）在四边形ABCD中，因为AO_LAB,ZB CD = 120 ZABC = 15 所以 NAOC = 135°，在"中，可得NC4D = 90°60°=30°，又NAOC = 135°，AC = 2,由正弦定理得:CDsin ZCADACsin ZADC解得：CD = 6，2）因为NC4B = 60°，4）_1_48可得/。=30°，因为四边形内角和360°，所以NADC = 150°-夕，在4中'sin30，一皿150。_6：11(150。_)在A6C 中，= 正, sin 60 sin 0sin 031X7r4 sin （150° 夕）sin®1/. S.RCD=-DCBCsinnOLdL）2 sin 2 9cos2，+ 444313=x-二 x4 1. 2夕 4一sin，cos，+ sin 8223=-X43=-X41 . sin2（2"60）+ g当8 = 75°时，S取最小值6 36【点睛】此题主要考查正弦定理在平面几何中的应用以及三角函数的性质的应用，还考查了 数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.22.设数列4的前项和为S，4+s=3(neN*).11)求数列%的通项公式；37711/1令g，数列%的前项和为7；，假设对任意的正整数几，恒有一12<7；,n + 12求实数4的取值范围.【答案】1) 二；2) (2,26).【解析】【分析】【分析】1）当 =1时，可求的值，当之2时，a77-1一 1与+S=3- -一 1两式相减即可得2凡一见n n式相减即可得2凡一见n n两边同时乘以2t，得2。一2一21=1,令b=2a可得色是等差数列,求出bn的通项即可求4的通项;3一12）由1）知，% =一利用乘公比错位相减求和求出7；,当 =1, 2时单独讨论，当一 22"下日口】5x23 5 人、5x23 5几23时，化为;1<一-Tfl,即4<.令/()=2一 2n-2n-2（h>3, ”n*，那么4</（）而计算/5+D -/5）判断了的单调性求出了的最小值，即可求得实数2的取值范围./1、-1【详解】由,« +S =3-(几 e N*),当 =1 时，2% = 2,解得 q = 1./ i2 当22时，Q-+S.一 =3 72-17Z-1两式相减，得2a - a I-I/ 丫-1 a两边同时乘以2t，得2。 2一_ =1,令bn = 2an,那么 bn -% = 1( > 2),所以数列抄是公差为1的等差数列，其首项为=2q =2所以2=2 + (- 1) = + 1,即+ 1 = 2nan,、i /、乙71 + 13-12)由1)知，an =,所以 =那么 7；=2x； + 5那么 7；=2x； + 5<2<1Y+ 8x -匕=2x 2 匕=2x 2 2)<i y+ 5x + 8x(i v+l+. + (3n 1) x (2 J-,I/1 2/1 3门、(1、+i得一(=l + 3x - +3x - +. + 3x - -(3/i-l)x -2UJ2/1、+i(3一l)x -153 + 5 (1 ¥ w T u cTn =-Z-x -'那么7； =5_(3 + 5)x -由，对任意的正整数恒有穿xy.n-2|当 =1时，化为A<L得；l>2.n-29当 =2时，化为Ox4< 一,24此时，4为任意实数不等式都成立.n-2当23时，化为2VT ,2n-2 n即;l< 5x2-3-5n-2令 f(n) =5x2-3-5n-2那么/5 + 1)=5x2+】-3(九 + 1) 5一 110x2一3一8n-j 八 /、10x23 8 5x23 5所以 /( +1) /()=n-n-2(10x2"-3h-8)(-2)-(5x2z/-3/i-5)(m-1)(一1)(一 2)(5 15)x2+ll("1)( 一2).(5 15) x 2 +11£(八 1(、当场23时，一->0 ,那么/( + 1) >/(), (_)( -2)5x2 -3/J-S所以/()= =”上(n>3, eN*)单调递增, n-2所以75）的最小值为/（3）= 26,那么2v26.综上可知，2v2v26,即4的取值范围是（-2,26）.【点睛】关键点点睛：第一问的关键点是需要讨论，当 =1时求得4=1,当22时,/ 12+ S,，1=3/ 12+ S,，1=32)与条件两式相减得2。一n 一1n-,这种类型需要两边同时乘以2t得2%-2t%t=1,第二问是根据不等式恒成立求参数的值，求出2t得2%-2t%t=1,第二问是根据不等式恒成立求参数的值，求出Tn =5-(3n + 5)xfl2一2n 9可得亍石小此时亍不是恒大于。，当 =1, 2时单独讨n-29n5x?,z -3/7-5论，当之3时，二 <北别离2化为 <一,即3，再构造2n-2n-2/()=/()=5x2-3-5n-2h>3, eN*），利用作差法判断单调性求最小值即可.3 .不等式x + 3y 620表示的平面区域是【答案】B【答案】B【解析】【分析】 根据线性规划的知识可得，直线一侧的平面区域内的点的坐标代入到直线方程的左侧时的值 的符号一致，故考虑代（。,0）进行检验即可.【详解】解：根据线性规划的知识可得，直线一侧的平面区域内的点的坐标代入到直线方程的左侧时的值的符号一致故考虑代（。,。）进行检验，代入得-6N0不成立，故在x + 3y 6 =。的右侧， 不等式x + 3y 620表示的平面区域在直线x + 3y 6 = 0的右上方经过第一、二、四象限.应选：B.4 .在A6C中，角A, B, C所对的边分别为假设：h:c = 4:5:7,那么ziAHC 为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】C【解析】【分析】用余弦定理求最大边所对角.【详解】（5。:。：，= 4:5:7,可设，=4%力=5左,。=7左,so -（4k）2 +（5k）2-（7 k）21 c取大角为 C, cos C - - = < 0， 2x4kx 5k5所以C为钝角.应选:C【点睛】此题也可以直接求02判断其符号，从而确定角c是钝角、锐角、直角.5 .在等比数列%中，%=2, a5=m, % = 8 ,那么 2=）A. ±4B.4C.-4D. 5【答案】B【解析】【分析】直接利用等比数列的等比中项求解.【详解】因等比数列中，/=2，%=* %=8,所以。52=%，即加2 =2? 8 16，解得m = +4,又因为% = a4 =8>o,所以4 >0,所以生 =。闷4 >0 ,所以m=4应选：B6 .设q,Z7,C£R,且。>b,那么）A. ac > beB. < C. a1 > b1D. >h3a b【答案】D【解析】【分析】结合不等式的性质、特殊值判断出错误选项，利用差比较法证明正确选项成立.【详解】A选项，当c40时，由不能得至iJac>Z?c ,故不正确；B选项，当。>0, b<0如a = l, b = -2）时，由不能得到故不正确；a bC选项，由a?2 =（+）（ 一）及可知当 + /?<（）时（如 =一2 , = 一3或。=2,b = -3）均不能得到故不正确;D 选项，a? / = ( Z?)(少 + cib + /)=-b)D 选项，a? / = ( Z?)(少 + cib + /)=-b)、2Cl H2 J+”（丫 3因为。力不同时为0,所以6Z + - +3/>0,所以可由知/>0，即3>63,I 2） 4故正确.应选：D【点睛】本小题主要考查不等式的性质以及差比较法，属于中档题.7 .设等差数列4的前项和为S，假设S7=35,那么 =）A. 8B.7C. 6D. 5【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的前项公式和等差中项，可求得值.【详解】因为57=詈2 = 2普=7%，所以7a4=35,解得见=5,应选：D【点睛】此题考查等差数列的前几项公式和等差中项的运用，属于根底题.8 .两个灯塔A、3与海洋观测站C的距离都等于8A%,灯塔A在观测站。的东北方向上，灯塔B在观测站。的南偏东15。方向上，那么A、3之间的距离为）A. 4y/3kmB. 8kmC. 8近kmD. 8至）km【答案】D【解析】【分析】求得NAC3,利用余弦定理求得A B的距离.【详解】依题意NAC8 = 180° 15° 45° = 120°，由余弦定理得AB2 =G42+CB2-2 G4 CB cos120° =64 + 64-2x8x8x - =192,所以 2)AB = 875km .应选：D【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，属于根底题.9 假设不等式5/区 + cyO的解集为+lvxv3,那么+ c的值为)A. 5B.-5C.-25D. 10【答案】B【解析】【分析】根据题意可知-1和3是方程5/法+ 0 = 0的两个根，由此利用根与系数的关系求解即可.【详解】解：由题意可得：1和3是方程5/法+ 3。的两个根，-1 + 3 = -.5< ，-1x3， 5解得 = 10, c = 15,所以8+ c = 5.应选【点睛】此题考查一元二次不等式与二次方程的关系，属于根底题.10 .等差数列%中，S3=3, $6=9,那么、2=()A. 12B. 18C. 24D. 30【答案】D【解析】【分析】根据题意，由等差数列前项和的性质分析可得邑，56-S3, 59-S6, S12-S9,也成等差数列，计算可得S3、S3的值，由等差数列的性质分析可得$9-§6、的值，又 由 SI2=S3+(S6-S3) + (S9-S6) + (Sig),计算可得答案.【详解】解：根据题意，等差数列中,邑，§6-S3, S9-S69 rr,也成等差数列，又由 §3 =3, S6 = 9 ,那么 06 -S3 =6,那么 §9 _§6 = 9，那-S9 =12 ,那么力=S3+(S6S3)+ (S9S6)+ (S2S9)= 3 + 6 + 9 + 12 = 30 ,应选：D.11 .等差数列4、也,其前项和分别为s、T”,力二藐=7,那么1 )【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的前几项和公式以及等差中项的性质得出* =富，于此可得出结果.* %【详解】由等差数列的前项和公式以及等差中项的性质得S” = 11(%+4)=14,Sn 11恁 a, 2x6 + 3 15同理可得。=1%6,因此，寸二号=片=67 =不，应选A./1 1" JX。 1 1 /【点睛】此题考查等差数列前和公式以及等差中项性质的应用，解题关键在于等差数列下标 性质的应用，能起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题.12.正项等比数列%满足：% =4+ 2%，假设存在两项金、。使得，4Mz =44，4那么的最小值为()m nA. B. C. D.不存在236【答案】A【解析】【分析】设正项等比数列4的公比为9 > o ,由满足：% = 3 + 2%，可得疗=9 + 2，解得4 = 2,根 据存在两项。心使得= 4卬,可得&W计-2 =4,m+n = 6.对加，"分类讨 论即可得出.【详解】解：设正项等比数列4的公比为夕0,.满足：%=4+2/，.才=9 + 2, 解得q= 2.存在两项、使得北瓦=44，a；q"2 = 4q， ：.m+n = 6.加，的取值分别为(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1).1 41 4 3那么一+ 一的最小值为m n2 4 2应选：A【点睛】此题考查了等比数列的通项公式与性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题.二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共分)x+yl13.假设x、满足条件2x+y4,那么z = x + 3y的最大值为. ”2【答案】7【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过图象平移确定目标函数的最 大值.1 Z【详解.】由z = x + 3y,得=X + ,作出不等式对应的可行域，3I71Z17平移直线丁 = X+,由平移可知当直线y = X+,经过点A时，直线y = x + 的 333333截距最大，此时Z取得最大值.由解得AQ2),2x+ y = 4将A的坐标，代入z = x + 3y,得z = l + 2x3 = 7,即目标函数2 = x + 3y的最大值为7.故答案为：7.方法点睛：线性规划问题解题步骤如下：1）根据题意，设出变量列出线性约束条件；确定线性目标函数z = /（x,y）；4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域；5）利用线性目标函数作平行直线系y = /（%）（z为参数）；16）观察图形，找到直线y = /（x）（z为参数）在可行域上使z取得欲求最值的位置，以确定 最优解，给出答案.14 .假设关于X的二次不等式Y+g+ 1N0的解集为实数集R,那么实数机的取值范围是【答案】-2,2【解析】【分析】根据不等式恒成立，得到判别式小于等于零，求解，即可得出结果.【详解】因为关于x的二次不等式V +nvc + 0的解集为实数集R，所以只需=机2440，解得一2相2 , 即实数加的取值范围是2,2.故答案为：2,2.15 .设S是数列4的前项和，且4=，%+i + ssM=。，那么Eo=.【答案】t【解析】【分析】11将+i+SS+ =0化为S用一 S + S用+1=0,两边同除以ss向，可得数列数列不是等差数列，进而可求出s，再令 =10即可求出5。.【详解】因为。"m+S“S“m=0,所以S“+S"+S"S"m=0,所以S" S"+1=S"S”+i,11 t11c,1 1所以2一不=八又不二一二2,所以数列不是以2为首项，1为公差的等差数列， )+i A?a所以! = 2 + 5 l)xl = + l,所以5=,所以50='.3 + 111故答案为：一11【点睛】思路点睛：s与。关系问题的求解思路，根据所求结果的不同要求，将问题向不同 的两个方向转化：利用。“="一5,1(22)转化为只含5“，S-的关系式，再求解；(2)利用S"S,-=。”522)转化为只含%, a,1的关系式，再求解.16.整数对排列如:(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (1,5), (2,4),，那么第60个整数对是.【答案】(5,7)【解析】【分析】根据整数对排列总结出整数对排列的规律，根据规律计算可知所求整数对在整数和为12的整 数对排在第5位，由此计算可得结果.【详解】由整数对排列规律可知：两个数之和为的整数对有-1个；两个数之和为的整