二项式定理教案公开课.docx
11.3.1 二项式定理(第一课时)【教材分析】二项式定理是浙 教 版 第 三 册 第 三章第三节的知识内容，它是初中学习的多项式乘法的继续.在计数原理之后学习二项式定理 ,一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也 是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，同时也是后面的数学概 率等内容的基础知识，二项式定理起着承上启下的作用.另外，由于二项式系数是一些特殊的 组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识。总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不 同内容作用的知识.【教学目标】新课标指出教学目标应表达学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，般 正确价值观的过程.新课标要求：用计数原理分析对(a +by展开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理证明.掌握二项展开式的通项公式， 解决简单问题，根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标：1 .学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、 通项公式的特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题.2 .学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导 实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜测及证明的理性思维探究能力.3 .通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合 作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美.结合数学史，激发 学生爱国热情和民族自豪感.【学情分析】.有利因素授课对象是高二的学生，具有一般的归纳推理能力，思维较活跃，初步具备了用联系 的观点分析问题的能力.学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，对本节(a +5尸展开式中各项系数的研究会有很大帮助.1 .不利因素本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学 生学习起来有一定难度.在数学学习过程中，大局部学生习惯于重视定理、公式的结论，而 不重视其形成过程.【教学重、难点】会求二项展开式会利用二项式定理展开式求指定项的值并解决相关问题.【教学方法】本节课以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，采用引导发现法，培养学生由特殊到一般，经过观察分析、猜测、 归纳(证明)来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察、联想、归纳能力。【教学过程】成思维轨迹教学 环节教学内容设计意图课 题 导 入1 .通过“牛顿发现二项式定理”的历 史引入本次主题2 .知识回顾，加深对(a + bp, (a + b)3展开式的理解，为后面二项展 开式做好铺垫学生的学习遵循“历史发生原理”，把 二项式定理发现的历史融入新课导入，既能 引起学生的兴趣，符合新课程理念，还能提 升课堂品味。创设有效的数学情景能激发学 生的学习兴趣，为学生提供良好的学习环境 O数学的来源，其中“多项式展开有哪些项” 包含其中，为后面的研究做好铺垫.体 验 感 知9探 究 归 纳1.观察(a + b)2的展开式是什么？展 开有几项？每一项为哪一项怎样构成的？探究一：(牛刀小试)按照上述方法学生自主对(a +5进行观察总结探究二：(熟能生巧)学生分组在不运算(a+ 5)4的情况下，回答以下问题(1)展开式共有几项？(2)展开式中有哪些不同的项？(3)各项的系数为多少？(4)从上述三个问题中能否得出(a+ 5)4的展开式探究三：仿照上述过程，请推导出(a + h严的展开式由特殊到一般的归纳总结，离不开大 量特殊实例的观察。只有将大量具体实例进 行整体和局部多方面的分析，才能得到接近 一般性规律的结论。也只有对得出各种结论 进行整合，才能让学生顺畅的抓住展开过程 的两个要点，即项的结构和项的系数，才能 让学生有目的的进一步进行探讨和分析。知 识 建 构5形 成 定 理一、二项式定理(a + b)n = Can + Ciab1+ + Can-kbk + Ca°bn, (nG N*)这个公式所表示的定理叫做二 项式定理，等号右边的式子叫做 (a + b)n的展开式。其中或叫做 二项式系数，或T/叫做二项 展开式的通项，用几+1表示，即： Tk+1=Can-kbk,该项是指展开 式的第k+1项，而展开式共有 n+1 项。二项式定理的公式特征：展开式中每一项的次数都是n 9展开式共n+1项：按照字母a降幕排列，次数由 n递减到0,字母b升幕排列，次数由0 递增到n：底+小以九一上/叫二项展开 式的通项，各项的系数C/ (kG N*) 叫做二项式系数二、定理的再认识1、(a - b)n 2、(1 + x)n先由学生独立完成，然后组 织讨论。完成有特殊到一般的归 纳过程，训练学生的类比、联想 、归纳的探究能力。在讨论过程 中要明确每一项形式及相应的个数以填空题的形式加深学生对新名 词的认识与记忆让学生自主总结规律，记忆再加深加深学生对定理的理解，让学生自主完 成(a-b尸、(1 + %产的展开形式，形成思维轨迹成思维轨迹成思维轨迹例1:写出（1 + 2%）5的二项展开式练习1:写出（1一2%）5的二项展巩 固 提 升5新 知 练 习开式例2：写出（1+工）4的二项展开式 X练习2：写出（2五一意）6的二项展开式例3：求（ + a）i2的展开式中的倒数第四项课堂练习：1、求（2% + 3y）6展开式的第三项2、求（3% + 2y）6展开式的第三通过例题让学生熟悉二项展开式及其 通项，区分三项式系数和系数，培养学生的 运算能力.设计题目考察学生的学习情况，各 个题目设计的比拟有梯度，逐渐加大难度， 符合学生的认知水平。3、求© +专)9展开式的常数项 (a + b)n =魂即+得“九-11 + + Can-kbk + + Ca0bnf (n e N*)二项式定理的公式特征：展开式中每一项的次数都是n；展开式共n+1项：按照字母a降累排列，次数由n递减 到0,字母b升幕排列，次数由0递增到n：几+1二制心叫二项展开式的通 项，各项的系数或(kGN*)叫做二项式系 数小结可以锻炼学生的概括能力、语 言表迷能可以使学性加深对本节课的认识 ,掌握基本数学思维方法。作 业教材P116页练习1，2, 3, 4 练习册相关练习归纳总结，反思提高
