概率论与数理统计试卷及答案(26).docx
C AuB）=一,（总分值 6 分）pCa）= 0.3 , P（B）= 0.4 , PAB= 0.5,求PBAu J。解：pP因为 P Qb）= P（A）- P（AB）= 1 - P（A）- P（AB）=0.5 所以 P （AB）=0.2P（Au8）=P（A）4-P（B）-P（ABf=l-0.3+l-0.4-0.5 = 0.8 pQ|Au8）=0.25二.（总分值8分）城乡超市销售一批照相机共10台,其中有3台次品，其余均为正品，某顾客去选购时, 超市已售出2台，该顾客从剩下的8台中任意选购一台，求该顾客购到正品的概率；假设顾客购到的是正品，那么已售出的两台都是次品的概率是多少？解:设B=顾客买到的是正品, %=售出的两台中有i台次品,那么有：由全概公式得P（B） =Z& P（A力（耳A）=3分i i 10i=0由贝叶斯公式得PB）=由贝叶斯公式得PB）=P（A B） P（A）P（B A ） i,-9'9=P（B） P（B）12 三.（总分值8分）设随机变量X服从0, 4上的均匀分布，求随机变量Y=|X-2|的分布函数和概率密度。10 < x< 4解：X的概率密度f （x）=44：二二.：2分X 0 ,其他当 yvO 时，F （y）=0;当 y>2 时，F （y）= 1 2分YY当0WyV2时，|X-2|<y=p2-y<X<2 + y）=!2+y 也 _ y2-y 42F （y）=pY<y=pY(。，y<o故丫的分布函数、(y)= <Q-Y-2i分1,y>20<y<2,y的概率密度fv(y) =2i分0,其他.四(总分值8分)设二维随机变量(X，Y)的概率密度为小,加*+也",”0心00,其他求2=*+丫的概率密度。解：Z = X + Y的概率密度/ (z)为Zf (z)= J / (z - y,y)dy4分Z-00|y >0上述被积函数仅当(时才不会为零。仅<z即有f (z)= f /(zZ-00即有f (z)= f /(zZ-00)dy Xj/(z-y,y)dy,00,其他z>0z 1 ze-zdy = 1 Z2e-°2o,巽他z > 0.4 分五.（总分值8分）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为於加W一° <装一 i o 其匕.求随机变量x, y的边缘密度函数随机变量x,y是否相互独立?.求兀fjy I解（1） X的边缘概率,度为f（x）=f f（x,y）dyjl8y好5X4，°<#1 -2分X0'-oo。，其它丫的边缘概率密度为心10/<1J 10x2 idx= uf(x,y)dx=' y "30，（）22分其他易见f(x,y)w f (x). f (y),所以x,y不独立。XY(Xy /X0 u 3 - 二-f=J yX2 o/l e 1 ±1± < X < y3y -1 VJ-32分y 心 o 1±2yX < y < o当。<X<1 时，f (yx) = 5X4 X22 分0 其它六.（总分值10分）设随机变量丫服从参数为。=1的指数分布，随机变量o, Y< k, Xk= 1, Y>k,k= 12求x和X的联合分布律和边缘分布律;cov(X ,X ), p .1212入1“2(1分)解：px =0,X =o=py41,Y<2=py«1=1-e-1px =0,X =1=py<1?Y>2=0(l)12px =l,x =o=py>1,Y <2=pl<Y<2)=e-i-e-2(i分)12px =l,x =1=py>1,Y>2=pY>2=e-2(i分)12X/x?的联合分布律和边缘分布律为01的边缘分布律01-e-i01 -1e-i-e-2e-2e-iX期边缘分布律l-e-2e-2（2分）cov(X ,X ) = EXX -EX EX121 212因为EX = e-i,EX = e-2 ,EX X = e-2i 分121 2所以cov(X ,X )= EX X EX EX =e-2e-ie-2 =e-2 Q-e-i )口1 分 121212又 DX =e-i(l-e-i)?DX =e-2(l-e-2)?1分12七（总分值8分）某公司出口某种产品,每出口 吨可获利3月元,假设积压吨,贝U亏损2月元。已 知国外每年对此公司的产品需求为X吨,X旅从由1000, 3。00上的均匀分布,问每年应储藏多少产 品,才使公司所获利润的数学期望最大。解:设每年应储藏y吨。相应利润H（y）.H(y)/3X-2(y-X),10004X“y?分3y, y <X<3000z X 1 JQQQ<x<3QQ0 fx)= 2000 2 分0,其他EH（v）y（5x-2v）Ldx + f30003ydx2000d EH（y）= 1 （-5y + l 1000）dy 20004dEH（y）= 1 （-5y+U00Q） 0, dy 2000y = 2200>EH（y）1=>EH（y）1=-52000<0, y=2200是极大值点。2分每年应储藏2200吨，所获利润的期望最大。八(总分值8分)设总体服从参数为入的泊松分布，X°X , ，X是一样本。 12n0) 写出X/X ，X的联合分布律。 12n计算E(幻，D(幻和E(S2)。(3)设总体的容量为10的一组样本观察值为(1, 2, 4, 3, 3, 4, 5, 6, 4, 8),试计算样本均值 和样本方差。九 ,解(1)由于px =x=2 eU(x =0,1,2, )X>02 分i i X ! ii因此(X ,X , X )的联合分布律为2n工.yr X X. 1136-九二奇1。也口2分 i(2) E(X)= X , D(X)=-，E)=入口2 分0X= X = 4, S2 =- X2-l(j>| = 42 分io i91ii=l' i=l i)九(总分值8分)某保险公司有10000人参加保险，每人每年交12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡后其家属可向保险公司领到1000元。试用中心极限定理求（1） 保险公司亏本的概率是多少？（2） 保险公司一年的利润不少于40000元的概率是多少？（2.5898）= 0.9952,其中Q）是正态分布N（0, 1）的分布函数）解：设乂=一年内的死亡的人数,那么XB （10000, 0.006） -2分 (1)由中心极限定理，有保险公司亏本的概率为P(000X > 10000x12 )=P(X> 120)4分=7P/x< ")= 7"储仞(隼一丝) J59M 45964=1(7.769)。0即基本不会亏本。（2）利润不少于 40000元，即支出要少于 120000- 40000=80000元，因此死亡人数不能多于 80000/1000=80 人P（X < 80）= P'X二 6。< 上6。=（2.5898）= 0.99522分L >/5964 V5964 J十（总分值10分）一批产品中含有废品，从中随机抽取75件，发现废品10件，试用最大似然估计法估 计这批产品的废品率。解：设这批产品的废品率为p。X _11,第i次抽到废品，i=l,2, ,75i 0,第i次抽到合格品于是px =1=P，P x =o=l-p,i=l,2, ,752分X 的分布律为 px =X =px(l-p)3,x =o,i；i = i,2, ,751分ii ii那么似然函数为L(p)=ti5 px. Q-py-xi = pi=j a-p>5一e%3 分i=li=l两边取对数InL(p)=艺x lnp+ 75 _1 dlnL(p)dlnL(p)dp分兄X 1济(/一)口1.7 l)1=1zi=lX1分1=1dlnL (p)=0dp于是最大似然估计值为力= _L£5 x1分75 i 75 15 i=l十一.（总分值8分）设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.15.0设干燥时间总体服从正态分布N （pi,。2）0求日的置信水平为0.95的置信区间。t （8）=L8595, t （9）= 1.8331, t （8）= 2.306, t （9）=2.26220.050.050.0250.025解：/ t(n-l)2分有 P-t (n -1) < (n -1) = 1 -oc,s/-/na/2 s/Jn a/2日的置信水平为1-a的置信区间（又Qt）,X + ；，QD）4分 aa22n=9, 1-a =0.95, a/2=0,025, t(8) = 2.306,计算得：x = 6,s2 = 0.330.025N的置信水平为0.95的置信区间为16 土 鸣1|x 2.306J =(5.558,6.442)十二.（总分值10分）设X ,X , X为取自总体X U（q,Z?）的样本，令：X =min（X,X , X ）, 12 nV12 nXz =max(X ,X , X),证明：EX +EX =a+bo(n)12 n(1)()证明：因为X,X , X独立同分布，故X,、=max（X,X， X ）,12 n（n ）12 n的分布函数为F(x)=pL «x=px <x,X <x, X <x,=lT F (x)(n)12nX|i=l0,x<a(x - a Y =< -b-a-2"x < bI 7l,x > b( x-aV1 1Kf(x)_ 叫 I a<x<b1 1x / 一(° a j u d X(i)=min(X,X,勺的分布函数为X(i)=min(X,X,勺的分布函数为0?x<a0,其他Xxj = lIT 1-F (x)nXji=l< l-fb-xY .a < x < bl,x > b(b-xY-1 1g(x)=g(x)=n,a < x <W b a.b a0,其他EX(/8xf(x)lxbn1alM的a2 分-ooa JE%) = P0xg(x)ix妞a2 分ElX(1)1+EXWl
