云南师大附中高考适应性月考卷理数答案.docx

理科数学参考答案一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)【解析】题号123456789101112答案cABCCBDACDAD. z = 3-i, | z |=百 + (-1)2 =，应选 C.1 .因为 A = x|y = log2(3 x) + 2 = (o, 3)，B = yy = 2x = (09 +oo),那么纵 8 = (8,0, 所以八。-3=(00, 0,应选A.2 .根据频率分布直方图知：组距为 20,所以0.0175 0.0075x2 0.005 0.0025 = 0.01 , 20故A选项正确；这100株水稻的稻穗数平均值x = 20x (0.005 x 210 + 0.0075 x 230 + 0.0175 x 250 + 0.01 x270 + 0.0075x290 + 0.0025x310) = 256 ,可知这 100 株水稻的稻穗数平均值在 区间240, 260)中，故B选项错误；由频率分布直方图知第三个矩形最高，所以这100株 水稻的稻穗数的众数是250,故C选项正确；前两个矩形的面积是0.25 <0.5,前三个矩形 的面积是。6>0.5,所以中位数在第三组数据中，即这100株水稻的稻穗数的中位数在区 间240, 260)中，应选项D正确，应选B.3 .设等差数列的首项为q,公差为d，s" ="必+(” 1)砌,.品=10, S30=18，10(2q+9d) s5：那么 S2o = 2°（2J9d）=6,应选C.2'解得：30(2“ + 29 J) _ 10-1 o? 2ON-OM =AOA- uOB , 5LOM=MA, ON = 2NB , 所以ON-OM =AOA- uOB , 5LOM=MA, ON = 2NB , 所以5 .由 MN = XOA + /nOB 得,2, i i21?1-OB OA = AOA + juOB ,于是4 = 一且=,得 + = + ,应选 C.3223236.根据三视图知，三棱锥是一个正四面体，它的体积等于正方体的体积减去正方体四个角处 三棱锥的体积.记每一个角处三棱锥的体积为乂，那么 V = % 方体的=8-4xgx2x2x2x；5,应选B. 36 .依题意，直线y = %是两条曲线y =优，y = log“x的公切线，切点为P,设f(书/)，因a '。In a = 1(1),为(优)'=a'lna, (log/)'=，且公切线的斜率为1,所以,1由(2)得,xna； = 1(2),x0 ma一=/，即/=电£ ,据换底公式，/=loge，将此式代入(1)得，。啕0111。= 1 ,即elna = l ,naInaI解得=/，应选D.7 .设椭圆的右焦点为瑞，|P4| + |P/q=|PA|+4-|PQ|=4+|P4|-|月|，又|PA|-|Ag|，-AF2 |<|PA|-|Pf； | AF2 ，当 P, A g 三点共线时取等号，|B4| + |PF| 的最 小值为3,应选A.8 .由题知，方程野 A + 2e = 0u>Z=地一d+2ex有且只有一个解，令g(x)= 12f / + X- %XX2ex(x>0)，即直线y = Z与曲线y = g(x)有且只有一个交点，gz(x)=-/-2x + 2e = 厂/1 _ ip 丫、 n 丫+2(e-x),当 Ovxve 时，>0, 2(e x)>0,那么 g'(x)>0, g(x)在(0, e) x- Jx上单调递增，当 x>e 口寸，-二<0, 2(e-x)<0 ,那么 g'(x)<0, g(x)在(e, +oo)上单 x调递减， g(x)nnx =g(e) = e?+,，当 X 0 时，g(x)f-00,当 X f+8 时，g00, e所以左= e2+工，应选C.e.不超过 44 的素数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43,共 14 个,33满足“和等于44的有(3, 41), (7, 37), (13, 31)共有3组，P =,应选D.Cm 9111.据题意点A的坐标是11.据题意点A的坐标是点。是线段O尸的中点，那么。(6 0), /.| AD 1= V3,直线4)的方程为)，= -20(光-6),点8是圆f+y2=i上的一点，点5到直线A。距离的最小值41bl也就是圆心O到直线4)的距离。减去半径，即d-1 ,276 1 276-31 =33那么AZ） | 4m = 2 6.276-3 272-73-3-2应选A.12 .由题可得正四棱锥O-ABC。的高为2,故可将正四棱锥O-ABCD放置在棱长为2的正 方体ABCD-agGA中，如图1所示，易得线段4G的中点即为G点，连接 GF, PF, PG ,那么 GbJ_P/L 进而，PF = >JpG2-FG2 = 754 = 1,所以在平面 ABCD内，点P的轨迹是以尸为圆心、以1为半 径的圆，参考图2据平面几何知识不难算 出圆心尸到线段D石的距离为九5,所以 5夕。长度的最小值为主叵-1，应选D.图1题号13141516答案11 y16351201, 3, 5, 9二、填空题本大题共4小题，每题5分，共20分）【解析】13 .作出可行域，如图3中阴影局部所示，由_72x + 3y = 4,解得厂M x-y = 92y = 一，x + 2y = 0，数形结合可知，当直线2 = x + 2y过点z = x + 2y取得最小值为y.故人（L 2,作出直线（5 5；an 2n-214 .当 =1 时，4=1；当时、。 =S -S,i = 24 -2（一 1）47_1，= 丁二7，又6 4 2 16 =753 35 ,.据题意，阳数为：1, 3, 5, 7, 9,阴数为：2, 4, 6, 8,第一位数的选择有5种，第二位数的选择有4种，第三位数和第四位数可以的组合有(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)共有6种选择，根据乘法原理，这样的四位数共有5x4x6 = 120个.15 .由题得/Q) = sin(5 + 0),记函数/(x)的最小正周期为T,那么/(x)的零点与极值点之间的距离：+ ZIEN4 I 4)2 4间的距离：+ ZIEN4 I 4)2 4从而刃=2 +1, £ N ,而函数/(x)在区间内，因为但凡函数/(%)的一个 4（6分） 上单调，因此任何极值点都不在区间(18 36J(18 36J极值点，所以/(X)的极值点为上 +匕攵£Z ,从而X£Z, 上+ 至w2或 2 + 1 42/t + l 418+,亦即X/ZZ, 2或一,，容易验证当 =0, 1, 2, 4时2/1 + 1 4 362/1 + 136 2 + 19符合题意，当 =3, 5时不符合题意，而当26时，有丁 =生=出<212一刃 2 + 113(36 18J也不符合题意.综上所述，。的所有可能的取值构成的集合为1, 3, 5, 9.三、 解答题共70分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤).本小题总分值12分)解：1e = = c = a, =,q,点 A(2, 1)在椭圆上， 222所以; +， = 1,得q = 26,从而人=血, a aZ?2所以椭圆的方程是C 土+工 82(2)直线的方程是y =因为且/过点O,所以直线/的方程是/： y = 2%,与椭圆联立得17x2=8nx =那么| 5。|=那么| 5。|=4VI7017(12分)17 .本小题总分值12分)(Q解：(1)由+ c = 2acos3知cos8>0=> Be 0,，I 2j由正弦定理得 sin B + sin C = 2 sin A cos B ,将C =兀(A + B)代入该式化简后得sin B = sin(A- B),由于4 B, C是三角形的内角，那么A = 2B或者兀-3 = A 3,舍去兀-3 = A 故A = 2B, AA3C外接圆的半径为2,即R = 2,且匕=2,由正弦定理得一L = 2H = 4,sinB-1(兀所以 sin 3 =一,且 5 w 0,，2 I 2)所以3 =工，故4 = 23 =工.6分)63(2)因为ABC外接圆的半径为2,即A = 2,且A =，由正弦定理得一-=2R = 4 ,所以a = 4sin。， sin，由余弦定理知82 +。2 =/ +2/?ccos8 ,根据根本不等式有h4 sin3 0S.Anc = Z?csin 8 W= 4sin 8(1 + cos0), *21 cos。所以ABC面积的最大值为4sin4(l + cos。)(0<6<兀). (12分)19.本小题总分值12分)JT(1)证明：由题得 40=2, NBAD = , AD = 1,在S0 中， +c222bc,2Q Q：n2 .所以 a2 +2ccos8e 2bcn/?c W=， 当 b = c时取等.2(1-cos 0) 1 - cos 0因为A3CD是平行四边形，所以3CAD,所以平面口加，且5Cu平面P8C,故平面PDM JL平面PBC.(6分)(2)解：由(1)知 AD _L 平面PDM, PA/u 平面 PZW,QW_LAD,又加J_MD, ADCMD = D,所以 PA/，平面ABCD,且 4)_LQ”,以。为原点，分别以3M及平行于所在的直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系(如图4所示)，连接A/C,在平行四边形A3CD中，易得MC = 5 ,图4在直角三角形 PWC 中，PM = 4pC2-MC2 = 715-7 = 2V2 ,于是，MQ, & 0), P(0, 6 2V2), C(-2, 273, 0),因为代是2。的中点，所以N -1, :, V2 ,设平面NDAf的法向量5 = (x, y, z),(x, y, z) (0, 6，0) = 0,(x, y, z). T,半/3y = 0,3/3一x +2取 zM 得，n = (2, 0, V2),由(1)知尢轴，平面PZW,所以平面PAM的法向量而=(1, 0, 0),设二面角P-DM-N的平面角为9 ,2 + 0 + 0_ V6V6 -T那么cos6 = = nm(2, 0,行)(1, 0, 0)12 分故所求二面角的余弦值为逅.320.本小题总分值12分)解： m 设“三个黑球相连在一起被摸出为事件a,那么&a=3!.7!9F-12 ,故三个黑球相连在一起被摸出的概率为.124分)(2)由题意可知X的所有可能取值为1、2、3、4,中 1P(X = 1) = - = 9!21112 分)(8分)那么X的分布列为:X1234p1215 TZ1021542所以反a5*2*亮+ 3喘+ 4x121 .本小题总分值12分)解:/(幻的定义域为(一1, +8),八%)=解:/(幻的定义域为(一1, +8),八%)=X+1令g(x) = 2f+2x + O>-l),依题意g(x)在(-L +00)内有两个变号零点,那么方程2?+2% +。= 0的判别式 = 4一8>0,且g(1)>0,解得且>0,(4分)故 4 / 0, j .I 2J(2)证明：由(1)及韦达定理得不=-1, XyX2 = >0 =>A：)= 1 x2> a = 2x1x2 ,因为函数g(x) = 2九2+2x + a(x>1)图象的对称轴为工=!1<-22所以一1cxl <- < x2 < 0,即 当 £/(%) tzln(x2 +l) + xf 2x,x9ln(x2 +1) + 4 。 、-=二=2x2 ln(x2 + 1)-其中乙 e(x) = 21n(x + l) +2x 2x(l+x) - fX+l (1 + X)2= 21n(l + x) +7 ，(1 + x)2无2令 "(%) = 21n(l +无)+ 7r(1 + %)-")= £ +2x(1 + x)2 - 2(1 + x)x22 2x(1 + "171+X(1 + X)32(x2 + 3x +1)(1 + 40)上是单调递增的，且"'(0) = 20,H'<-2-4<0,二存在工 £不上有"'(x)<0, 4(x)单调递减;2 °J在(%, 0)上，"'(x)>0, ”(x)单调递增，H(0) = 0, H2)= l-21n2<0,”(%) vO,即 ”(x)v0,所以%(九)单调递减,因为<2(% v 0 ,所以 /?(0) < h(x) < h 2那么0</z(x)<ln2-耳，不等式0<丛父<1112得证.(12分)22.本小题总分值10分)【选修4-4：坐标系与参数方程】解：(1因为/+丁 = 1±岸=1(1<xW1),1 + 2/+曲线。的普通方程为y = -x2+ l(-l < x W1),I的直角坐标方程为mx-2y-l = Q .(5分)(i>(2) /过定点尸0,、2,设曲线。上的点。(X,炉+1),且_1<九<1,那么|PQ|二,2X4-2x2+=Jd)2+4i )一,0 ，令力(x) = 2xln(x+l) 2当且仅当x = l时取得最小值好.10分)223.本小题总分值10分)【选修4-5：不等式选讲】x2 一 2x, x 三 3,角轧(1 /(x) = < 4% 工2, 0<%<3,厂 一 4x, x W 0,当xN3时，2xN3,解得x23或xW1,又x23,所以x'3；当 0vxv3 时' 4x 解得 1W%W3,又0<xv3,所以l，v3；当 xWO 时，f4x2 3,解得 x22 + V7 或 x<2 V7,又无W0,所以xW2 综上，原不等式的解集为x|xNl或x、2-上. 5分)(2)由绝对值三角不等式可得IM24，当且仅当(f3x)x20时取等号，故解得x23必 =0. (10分)3由余弦定理得所以ADM是直角三角形，即ADJ_DM,又且=所以 40,平面74+0+2x1