非对称屏蔽带状线的频域有限差分解法.docx

非对称屏蔽带状线的TM模研究一一频域有限差分法一、非对称屏蔽带状线TM模的理论分析本文研究的屏蔽带状线结构如图1所示。接地外导体为方形，边长为2=10mm,导带平行 于上下壁，到上下壁的距离壁为1:3,即。= 7.5mm,到左右壁的距离为令p = alb,那么导带宽度 /= 26(1-)，P的取值范围在0.3到0.7之间，导带宽度相对于外导体边长的变化率为2b= 1-",其取 值范围也在0.3到0.7之间。(1.1)(1.2)(13)用自由空间波阻抗o的平方根对Maxwell旋度方程中的电场和磁场进行归一化处理：上式中的等号代表赋值。设波导结构中不填充电磁介质，频域的Maxwell旋度方程可写为:两万=Vx片jk0E = VxH其中，公为自由空间波数。在外导体和导带外表，切向电场分量为零，边界条件为纥1=°，玛J=°纥篇=°，瓦扁=°E =0z y=c-b,x<ly=c-b,x<l O对于TM模，纵向磁场儿=0,因此待求解的场分量就只剩下段,与,邑,人,45个。设波导结构在z方向是均匀的，波沿着正z方向传输，该结构中的场分量可表示为：瓦，玛,6,%,凡(“,z) = 纥,9,(1.4)其中，夕是相位常数。5(a)最低阶TM模电场5(b)最低阶TM模磁场图6最低阶TM模截面电/磁场分布图7次低阶TM模截面电/磁场分布3.3网格粗细对结果的影响如表2所示，取2=0.5, N= 16, 20, 24, 28研究网格粗细对结果的影响。表2网格粗细对计算结果的影响( =0.5,/? = 300 m")N16202428公1(加/)600.3971600.5992600.6825600.7171如("1)803.3864804.2900804.7184804.9390随着网格数目的增加，如和姐都在缓慢增大，而且增幅也越来越小。一般来说，当网格足够9细时，计算结果应该趋于某个稳定值，痴和如的变化趋势很好地符合了这个规律。痴和如的变化 趋势也可能与数值色散有关，即随着数值波模在网格中的传播方向以及离散化情况不同，传播速度 将随频率改变4。四、总结本文以基于二维频域有限差分法的程序代码为工具研究介绍了非对称屏蔽带状线的导带宽度对 两个最低阶TM模自由空间波数总的影响。计算结果说明，随着导带宽度的减小，两个最低阶TM 模的截止波数(截止频率)也会随之减小。本文还对网格粗细对计算结果的影响做了数值实验，发 现频域有限差分法的网格尺寸要在计算精度和数值色散之间折中，一般每个波长长度划分1020个 网格点，此处的波长是指最高频率分量对应的波长。参考文献1李新献，李伟勤，施岱松.基于二维有限差分法对非对称屏蔽带状线TE模研究J.软件,2015(5).2王秉中，邵维.计算电磁学(第二版)M.科学出版社,2019年2月.3 Zhao Y J, Wu K L, Cheng K K M. A compact 2-D fiill-wave finite-difference frequency-domain method for general guided wave structures J. Micro wave Theory & Techniques IEEE Transactions on, 2002, 50(7):1844-1848.4文U静，赵德双，王秉中.基于二维有限差分法的屏蔽带状线的TM模研究C/全国微波毫米波会议.2007.10频域有限差分(FDFD)原理2.1网格划分由于各场分量关于Z的函数是复指数函数，场量对Z的偏导可以用-邛代替,三维Yee网格化 为压缩的二维形式，如图2所示。反分量位于整网格点上，鸟和式位于与y轴平行的半网格点上,员和4位于与x轴平行的半网格点上，星位于Yee格的中心位置。图2二维Yee网格的压缩形式由于波导截面是正方形区域，所以将外导体包围的场域划分成NxN个正方形网格，网格步长为h = 2h/N,图3展示的是4x4的二维压缩形式的Yee网格，“红点”表示各场分量所在的位置。1111 一11111 .1111-1-11 111I一.1 1 )一工一1 111l1一11-一11 iT 11-1L11 一«1-11«1 1 1+ '111 111 11 1'1'11一"1 1 11111 1 1 l ni i1111-111-1 111 11一.1 1 1 J-1, 1 1T 1 1 1 1 T l l l l )T l I 1 I )1 jk11111 I11I IMM MM 1 1H卜11 11111 11111 !«11V1T 1 1I 1 1T 1 1 l 1 1T 1 1 l 1 1(b)(b)1 11 11111 111111 111li1 1111 1111 11111 1 11111 111，111 1 11 11 11 11'1'1111 11 11 11 11111 111111 111li1 1111 1111 11111 1 11111 111，111 1 11 11 11 11'1'1111 11 11 141 i 4I l14111 一1111 11 11 11 I1 11 1 q11卜111 11 11 11 I1 11 1,q11，111 1 i r I一一-i一.l111 1111(d)图 3 4x4 的二维 Yee 网格：(a) Ey1% (b) EJHy; (c) & (d) Hz.2.2数值建模按照图3所示，对各场分量所在格点的位置进行编号。对一阶偏微分方程(1.2)式做离散化处理, 偏微分运算采取中心差分格式，得到各场分量满足的差分方程(2.1)式。其中的亿./)并不一定代表场 域中相同位置，仅代表该场分量在所属格点图中的位置编号，如图2所示。%(")=£ 纥亿，+1) - 纥>)-2 纥 & j)Hy (=g纥(力)- £纥(，+1,7 )-Ez(i,j) rvQfvQ rZ%(M=o<纥")(21)4(5=K() 纥(5-京凡(M凡(T 川+京风)-乩葭/t)结合反和反的格点分布情况，为了能够直接应用边界条件(1.3)式，导带结构应该正位于整网格 点上，网格数N取4的整数倍。导带宽度方向的取样点数为(2A/ + 1),其中M =表示取整。导带中点的坐标为(N/2+l,3N/4+l),最左侧点的坐标为(N/2 + 1 Af,3N/4+l),最右侧点的坐标为(N/2+1 + M 3N/4 + l)o2.3差分方程的导出由(1.3)式，可以得到该波导系统的离散化边界条件。场分量及满足的边界条件为：E 亿 1) = 04&N + l) = 0,l VzYN + 1<4(1,"=0,纥(N + l,J) = 0,lqyN + l(2.2)纥亿 3N/4 + l) = 0,N/2-A/+1 <i<N/2 + M +1场分量反满足的边界条件为：(2.3)(2.4)纥亿1) = 0,纥 5)= O,1WN< Ex(i,3N/4 + l) = 0.N/2-M-l<i<N/2 + M场分量为满足的边界条件为:£“l,J) = 0,£，(5") = 0,jyN假设网格划分得足够细，引入离散边界条件(2.2)(2.4)式，现以各场分量的第1,2行格点为例进行说明：将每一行格点上的场分量构成一列向量，记作%（/） =囱（1,/），£"）=纥（1,万鸟=约（1,万&（2J）Hz（N + J,<j<N,，（2J）JYN + 1Ex（2J）£,（NJ）,l<_/VN + l4（2,./）£j,（N + l,./）,lS/WN（2.5）用（/）=纥（1，/）纥（2J）Ez（N + 1J）TA<j<N + l根据方程可列出方程组乩-纥(2)二?约(1)/Vq flfVQ%=。纥=640纥=°（2.6）其中，4是N+1阶对角方阵，具体表达为4 = diag( 0 1 1 - 1 1 0)o第1行格点处的外导体结构会引入切向电场分量为0的边界条件，从而导致孙,以(1),区为Oo这样不容易看出方程组的变化规律，进一步列出各场分量在第2行格点处满足的矩阵方程组: + E "匡（2）-纥（3） = - £叫（1）Jvq rZJVQ& =2纥（2）+£叫（2）fVQfVQ fl纥= f/4（2）"o月=4也（2）纥=-需凡（2）+ 表2 Hx（2）-Hx （1）（2.7）其中，/是N阶单位矩阵；8是Nx(N+l)阶矩阵,外表示对8做转置运算，8的具体表达式为:O（2.8）（2.8）11-1 010按照同样的方法，依次对第3行，第4行，,第3N/4-2行上的格点列出一系列的矩阵方程, 但是，当运算到第3N/4行和第3N/4+1行格点时，由于导带结构的存在，相应的矩阵方程会发生变 化，不再与之前的形式相同。令d=3N/4,各场分量在第d行和第d+1行格点处满足的方程组为：%+ J- 4及-上月瓦(d + 1)= -邑AE, (d )k°h zV 7 k.h I' ) k° 7% (d )=9纥+六里(2.9)纥(d) = g/凡 3)%纥(")=£ 炉&(")+/vQ flkhAHx(dyHx(d-)H(d + ) + -PE_ (d + -AE (d + 2=-AE (d + 1)xV )k°h z > k°h%'Hy (d + 1) =纥(d + 1)+ AR纥(d + 1)纥(d + l) = g",(d + l)约("1) = -g.乩(" + 1) W("l) =-吉R%(" + 1)+* 尸风("+ 1)-%。)：fVq fl/vq fl(2.10)其中，。是N+l阶对角方阵，。是N阶对角方阵，R是Nx(N+l)阶矩阵。P,。,火的具体形式为:P = diag(O 1 1 0 0 11 0), Q = diag(l 1 0 0 1 . 1),0 -10 16-11 0000 -11 ,-.,. -1 01 0(2.H)矩阵己。,分别与矩阵4/,8相对应。P相当于在4的基础上，将主对角线上最中间的2M+1个元 素由1替换成0;。相当于在/的基础上，将主对角线上最中间的2个元素由1替换成0；火相当 于在B基础上将最中间的2/+1个列向量全部替换成0向量。按照前面的步骤，继续写出每一行格点满足的方程。对于远离导带区域的格点，方程的形式与 第1,2行格点满足的方程形式类似，遍历所有的格点后得到完整的方程组，这里不再重复表达。记% =也 /（2）,（N）1凡=凡凡%（N + D纥=凡纥。）纥（N + 1）了（212）玛=4纥约了4=应2（2）E/N + 1）了那么Hx, Hy, Ex, Ey,及各自满足的方程为:H、+' K%E_=-邑 I0AE、, x k°h 照 ，H.=艮 K：E、+-KEy k. X X k.h 2 z(2.13)(2.13)E"%KHy k°E、,=储0 AH、 k。Ez=-工 K；H,+ - K；H、 kQh k°h/区N表示矩阵/与力的Kronecker积。其中，K是N+1阶元胞方阵，氏是N+1阶元胞方阵，K3是Nx（N+l）阶元胞矩阵。具体表达式为：。1K、=Q(2.14)K相当于在/的基础上，将主对角线上第d+1个元胞由/替换为。K?=殳相当于在/（8）5的基础上，将主对角线上第d+1个元胞由B替换为心O -AO AOAA -PP -AA-A OA OK相当于在8区/的基础上，将第d+1列上的非零矩阵元由4替换成P,由-/替换成孑。将(2.13)式整理成心=的形式，即-O(3hKx00hK；OOOOOOO -f3hI®AO-jK；。OO例/ ®AOJK；O西o_此oE、HyEy =攵/H, EzEx Hy Ey Hx Ez(2.15)(2.16)(2.17)由此可以看出矩阵K是Hermit矩阵，其特由此可以看出矩阵K是Hermit矩阵，其特考虑到Kronecker积的重要性质：（/（8）8），=,征值居上必定为实数。求解该特征值问题，可得该波导的一组特征模及与各特征模对应的特征值 质鼠 逐点扫描口值，可得到各模式的色散曲线。矩阵K是（N+l）（5MH）阶人型稀疏方阵，随着网格数N的增加，矩阵K的阶数会急剧上升。通 过数值试验可以发现，矩阵K的特征值有正有负，有多重0特征值，还有等于6的多重特征值，而我 们需要的是大于丑的两个最小特征值及其特征向量。倘假设N值取得过大，最后的计算结果虽然精确度 高，但是却消耗了大量的计算资源和计算时间，因此要对网格数N值作一定的限制，既不能太小而影响计算精度，又不能太大而消耗过多的计算本钱。上述方法求解问题的程序框图如图4所示。图4频域有限差分法计算程序框图波导系统的色散方程为/=后2-瓦2,上为对应模式的截止波数。按照之前的分析，令B = 0,该情 况下求出自就是截止波数左C。取2=0.5,先采取比拟稀疏的网格划分（例如N=12）,可以大致求出 两个最低阶TM模的截止波数为519.4464和742.9025 mL 对应的截止频率约为24.8和35.5GHz。 为了画出比拟完整的色散曲线，取频率描的变化范围在2242 GHz之间，对应波长的变化范围是 7.14-13.64 mmo为了保证计算精度，网格步长至少是最小波长的1/201/10,因此N的取值范 围是140NW28, N取4的整数倍，所以N= 16,20,24,28。三、结果分析导带宽带对两个最低阶TM模的影响网格数为20x20, 4 = 300m/时，两个最低阶TM模式的截止频率随"的变化关系如表1所示。 可见，随着p的增大，如和如都在减小。由色散方程可知叱=心2_.2,随着导带宽度的减小，两个 最低阶TM模的截止波数（截止频率）也在减小。表1公随p的变化情况（N=20/=300nri）7P0.30.40.50.60.7如("1)602.5396601.9488600.5992598.0619593.8980如("1)809.5382807.8823804.2900798.0258788.93313.1 两个最低阶TM模的色散特性和横截面场分布由表1可知，夕固定不变，p取不同值时，用的变化程度最高不超过3%。由色散方程可知，色散 特性曲线基本保持不变，只需画出p取某个特定值时两个最低阶TM模的色散特性曲线。取网格数为 20x20, p = 0.5o先令夕=0,由此计算出两个模式的截止波数为七1 = 520.3070 m",L2= 746.2455 mL 根据色散方程可以画出色散特性曲线的“解析解工逐渐增大£的值，能计算出一系列与之对应的4o 值，这就是用频域有限差分法（FDFD）计算得到的“数值解”。将解析解与数值解画在同一幅图上进 行比照，如图5所示。可以发现，数值解几乎与解析解完全重合，这也从一方面说明了 FDFD方法 计算程序的正确性。两个G低阶TM极色取曲线 800 7002000 2224262830323436384042-Hz)图5 " = 0.5时两个最低阶TM模的色散特性曲线不管在取何值，两个最低阶TM模的横向场分布不变，只是幅度略有不同。这里给出"=0.5、相 位常数夕=300 m”时非对称屏蔽带状线横截面的场分布，如图6和7所示，网格数为20x20。仔细观 察这两个模式的电场和磁场分布，可以发现，导带结构的上半空间区域的电/磁场强度非常弱，这说 明导带和周围的外导体结构对电磁场起到了 “屏蔽”的作用，将绝大局部的场约束在导带结构的下 半空间区域。现在考虑一个矩形波导结构（横截面长10 mm、宽7.5 mm）,计算出它两个最低阶TM模（TM” 和 TM21）的截止波数：及1=523.5988 m/,加2=755.1449 mL 当£=300m/时，相应的攵oi=6O3.4531mL 公2 = 812.5539 mL这与表1中"=0.3时的计算结果非常接近。这说明导带结构越宽，对电/磁场的 屏蔽作用越强，非对称屏蔽带状线的工作模式就越接近于矩形波导。