10.3.1 频率的稳定性（1）.docx

频率的稳定性教材分析本节普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章1031频率的稳定性，本节课 主要帮助学生认识频率与概率的关系，即事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复实验中， 相应的频率一般也越大；事件的概率越小，那么事件发生的可能性越小，在重复实验中，相应的频率一般也 越小。进一步让学生体会概率与统计的思想，开展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。教学目标与核心素养课程目标学科素养A.通过实验让学生理解当试验次数较大 时，实验频率稳定在某一常数附近，并据 此能估计出某一事件发生的频率.B .通过对实际问题的分析，培养使用数学 的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的 应用价值.1 .数学建模：概率的应用2 .逻辑推理：频率与概率的关系3 .数学运算：频率与概率的计算4 .数据抽象：概率的概念教学重难点L教学重点：频率与概率的区别和联系2.教学难点：大量重复实验得到频率的稳定值的分析.课前准备多媒体教学过程教学过程教学设计意图核心素养目标【解析】求2 000尾鱼占水库中所有鱼的百分比一求带记号的鱼在500尾鱼中占的百分比一根据二者的关系列等式一求解，估计水库中鱼的尾数250004.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随 机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示： 这100位顾客中一次性购物超过8件的顾客占55%.一次性购物数量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)X3025y10结算时间(分/人)11.522.53求x, y的值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率.(1)由得25 + y + 10 = 55, x + 30 = 45,所以x=15, y = 20.(2)设事件A为“一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟;事件Ai为“一位顾客一次购物的结算时间为2.5分钟;事件A2为“一位顾客一次购物的结算时间为3分钟、20 10所以P (A) -P (Ai) +P (A2) -4-1()0 -0.3.四、小结通过总结，让学 生进一步巩固本节 所学内容，提高概括 能力。频率概率区别本身是随机的观测值(试验值)， 在试验前无法确定，多数会随着试 验的改变而变化，做同样次数的重 复试验，得到的结果也会不同本身是固定的理论值，与 试验次数无关，只与事件 自身的属性有关联系频率是概率的试验值，会随试验次数的增大逐渐稳定；概率是频率理论上的稳定值，在实际中可用频率估计概率概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属 性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的 近似值.(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一独立重复试验中发生 与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上 的反映.正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系.对具体 的问题要从全局和整体上去看待,而不是局限于某一次试验或某一个 具体的事件.五、课时练教学反思本节主要应用所学知识解决典型概率问题，解决与生活实际联系紧密的问题.教学中要注重学生的主体 地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。从而开展学生的直观想象、逻辑推理、数学建 模的核心素养。一、探究新知由知识回顾，提出 问题，引出频率与概 率的关系问题。开展 学生数学抽象、直观 想象和逻辑推理的 核心素养。对于样本点等可能的试验，我们可以用古典概型公式计算有关事 件的概率，但在现实中，很多试验的样本点往往不是等可能的或者是 否等可能不容易判断，例如，抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者抛掷 一枚图钉，此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率，我们需 要寻找新的求概率的方法.我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大, 在重复试验中，相应的频率一般也越大；事件的概率越小，那么事件发 生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小，在初中， 我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复试验，用频率去估计 概率,那么,在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？ 频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢2什么是频率？在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次 试验中事件A出现的次数n为事件A出现的频数，称事件A出现A孙的比例nf (A)=为事件A出现的频率.显然，0< 咏1.nn随机事件及其概率.重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A="一 个正面朝上，一个反面朝上”，统计A出现的次数并计算频率，再与 其概率进行比拟，我们研究一下有什么规律？历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表：教学家批I硬币 实弊统计表正面4B上次*反面上次 *109dl次裁的404020481S922020忽疏根40022048204420461OOOO4979502150001240001201211S8812000罗曼洛夫基806403000940941403201Z27-200*8661986利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20,100,500 时各做5组试验，得到事件4=“一个正面朝上，一个反面朝上”发生 的频数3和频率为(A)(如下表)序号=20频数频率拉=100频数频率n-：500频数频率1120.6560.562610.522290.45500.502410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506思考同一组的试验结果一样吗？为什么会出现这种情况？随着试验次数的增加,事件A发生的频率有什么变化规律？用折线图表示频率的波动情况，你有什么发现?结论：试验次数11相同，频率f(A)可能不同，这说明随机事件发生的频 n率具有随机性通过具体问题 的分析，归纳出频率与概率的关系。开展学生数学抽象、 逻辑推理的核心素 养。从整体来看，频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时，波动 幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小.但试验次数多的波动 幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大.大量试验说明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A 发生的频率具有随机性，一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离 概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率/(A)会逐渐稳定于事件A n发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性因此 我们可以用频率/(A)估计概率P(A). n对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率f(A)稳定在某个常数上，把这个常数记着P(A),称为事件 nA的概率，简称为A的概率。频率与概率的区别和联系的剖析频率本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，做同样次数的 重复试验得到的事件发生的频率会不同.概率是一个确定的数，是客观存在的,与每次的试脸无关.频率是概率的近似值，随着试验次数的增加,频率会越来越稳定于 概率附近,在实际问题中，通常事件发生的概率未知，常用频率作为它 的估计值.例1新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数，通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的 比率，精确到0.001);根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可 靠吗？ 分析：根据“性别比”的定义和抽样调查结果，可以计算男婴出生的频 率；由频率的稳定性，可以估计男婴的出生率 解：(1)2014年男婴出生的频率为 2015年男婴出生的频率为 由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537,2015年男婴出生率约为 0.532.115.88100 + 115.88p 0.537113.51100 + 113.51« 0.532由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对 男婴出生率的估计具有较高的可信度，因此，我们有理由怀疑“生男 孩和生女孩是等可能的'的结论.由统计定义求概率的一般步骤(1)确定随机事件A的频数nA ;(2)由/(二计算频率/(A) (n为试验的总次数); nn(3)由频率/(估计概率P(A).n通过实例分析，让 学生掌握运用频率 来计算事件概率，提 升推理论证能力，提 高学生的数学抽象、 数学建模及逻辑推 理的核心素养。通过实例分析，让 学生掌握运用频率 来计算事件概率，提 升推理论证能力，提 高学生的数学抽象、 数学建模及逻辑推 理的核心素养。概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生 的可能性的大小,它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向 概率靠近，只要次数足够多,所得频率就近似地当作随机事件的概率.例2.一个游戏包含两个随机事件A和B,规定事件A发生那么甲获胜， 事件B发生那么乙获胜，判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生 的概率是否相等。在游戏过程中甲发现：玩了 1。次时，双方各胜5次；但玩到 1000次时，自己才300次，而乙却胜了 700次，据此，甲认为游戏 不公平，但乙认为游戏是公平的，你更支持谁的结论？为什么？解：当游戏玩了 10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5;当游戏玩了 1000 次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为07根据频率的稳定性， 随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们 更愿意相信1000次时的频率离概率更近，而游戏玩到1000次时，甲、 乙获胜的频率分别是0.3和07存在很大差距，所以有理由认为游戏 是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断思考1：气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的 降水概率是90%.如果您明天要出门，最好携带雨具:如果第二天没 有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确，那么如何理解“降水 概率是90%” ?又该如何评价预报的结果是否准确呢？提示：降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到 的.对“降水的概率为90%”比拟合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨.只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性.如果在类似 气象条件下预报要下雨的那些天(天数较多)里，大约有90%确实下雨 了，那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与 90%差异较大，那么就可以认为预报不太准确.例3.某篮球运发动在同一条件下进行投篮练习,结果如下表：投篮次数8101520304050进球次数681217253239进球频率0.780.750.800.800.850.830.80(1)计算表中进球的频率；(2)这位运发动投篮一次，进球的概率约是多少？(3)这位运发动进球的概率是0.8,那么他投10次篮一定能投中8 次吗？解析：概率约是0.8不一定.投10次篮相当于做10次试验，每次试验的结果都是随机的,所以投10次篮的结果也是随机的.思考2.公元1053年，大元帅狄青奉旨，率兵征讨侬智高.由于士兵 士气不高，很难取胜,为了提高士气，出征前，狄青拿出一百枚“宋元通 宝”铜币，向众将士殷殷许愿：“如果钱币扔在地上，有字的一面会全 部向上，那么这次出兵可以打败敌人！ ”在千军万马的注目之下，狄 青将铜币用力向空中抛去，奇迹发生了 ：一百枚铜币，枚枚向上.顿 时，全军欢呼雀跃，将士个个认定是神灵保佑，战争必胜无疑.事实 上，铜币正反面都是一样的！同学样想一下，如果铜币正反面不一样, 那么这一百枚铜币正面全部向上的可能性大吗？思考3.如果某种彩票的中奖概率为1/1000,那么买1000张这种彩票 一定能中奖吗？（假设该彩票有足够多的张数.）不一定。买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果 都是随机的，所以做1000次的结果也是随机的。虽然 中奖张数是随机的，但这种随机性中具有规律性。随着试验 次数的增加，即随着买的彩票张数的增加，大约有1/1000的彩票中 奖。买1000张彩票中奖的概率为:z “八 1000(999、1UoooJX 0.6323三、达标检测通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，开展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养。1 .（多项选择题）给出以下四个命题，其中正确的命题有（）A.做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正直第 51TooB.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率C.抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,那么出现1点的频率是D.随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率解析 对于A,混淆了频率与概率的区别，故A错误；对于B,混淆了频率与概率的区别,故B错误；对于C,抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次,那么出现1点的频率是: 定义，故C正确；对于D,频率是概率的估计值，故D正确.应选:CD.答案CD.某工厂生产的产品合格率是99.99%,这说明（）A.该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件B.该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件C.合格率是99.99%,很高，说明该厂生产的10 000件产品中没有 不合格产品D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99%答案D.为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出 一定数量的鱼，例如2 000尾，给每尾鱼做上记号，不影响其存活， 然后放回水库,经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合， 再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中带记号的鱼， 假设有40尾，根据上述数据，估计水库中鱼的尾数为.