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数学建模结课论文建模问题：如何施救药物中毒学院：电气工程与自动化学院专业：电气工程及其自动化班级：电气12-4班姓名：王洪伟学号：摘要每种药物都具有一定的毒副作用，因此每种药物都有该药物的最大服用剂量，如果 服用的量超过了该药物的最大剂量机会导致危险，甚至死亡。该文章就是以氨茶碱片为 例，通过建立药物中毒最小剂量模型求得服用氨茶碱片后血药浓度能到达的最大值来确 定服用氨茶碱的剂量上限。该文利用建立数学模型的方法，分别通过对孩子和成人服用氨茶碱片且出现重中 毒、致命的最小剂量的研究，利用线性微分方程、函数图象进行研究，分析在人中毒时 的实施及时救助的方法，从而得出人在服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量及 有效施救的时间范围。关键词血药浓度半衰期最小剂量 吸收率 排除率转移率一、问题重述一天夜晚，你作为见习医生正在医院内科急诊室值班，两位家长带着一个孩子急匆 匆进来，诉说两个小时前孩子一口气误吞下11片治疗哮喘病的、剂量为每片lOOmg的 氨茶碱片，已经出现呕吐、头晕等不良病症。按照药品使用说明书，氨茶碱的成人用量 一次是100-200mg,儿童是3-5mg/kg,如果过量服用，可使血药浓度（单位血液容积中 的药量）过高，当血药浓度到达100加时，会出现严重中毒，到达200外/疯那么可致 命。作为一名医生，你清楚的知道，由于孩子服药是在两个小时前，现在药物已经从胃 进入肠道，无法再用刺激呕吐的方法排除。当前需要作出判断的是，孩子的血药浓度会 不会到达100爆/加甚至200g/疯，如果到达，那么临床上应采取紧急方案来救治孩子。问题建立药物中毒施救模型确定对于孩子（血液总量为2000ml）及成人（血液总 量为4000ml）服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。问题利用建立的模型：如果采用的是体外血液透析的方法，求解药物中毒施救 模型的血液中要量的变化并作图。二、问题分析2.1问题一的分析人体服用一定量的药物后，血药浓度与人体的血液总量有关。一般来说，血液总量 为体重的7%-8%,即体重50-60kg的成年人有4000m左右的血液。目测这个孩子的体重 约为成年人的一半，可认为其血液总量约为2000ml。由此，血液系统中的血药浓度与药 量之间可以相互转换。药物口服后迅速进入胃肠道，再由胃肠道的外壁进入血液循环系统，被血液吸收。 胃肠道中药物的转移率，即血液系统的吸收率，一般与胃肠道中的药量成正比。药物在 被血液吸收的同时.，又通过代谢作用由肾脏排出体外，排除率一般与血液中的药量成正 比。如果认为整个血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看做 一个房室，建立所谓一室模型。血液系统对药物的吸收率和排除率可以由半衰期确定，从药品说明书可知，氨茶碱 吸收的半衰期约为5h,排出的半衰期约为6h。孩子的血液总量为2000ml,出现严重中毒的血药浓度100ug/ml和致命的血药浓度200 u g/ml分别相当于血液中药量y到达200mg和400nigo成人的血液总量为4000ml,出现 严重中毒和致命分别相当于血液中药量y到达400哨和800哨。因此，求得血液系统中 药量的最大值，并令其等于200、400、800就可以得到孩子和成人服用氨茶碱的最小剂 量。2. 2问题二的分析如果血药浓度到达危险的水平，临床上施救的一种方法是采用口服活性炭来吸附药 物，可使药物的排除率增加到原来(人体自身)的2倍。另一种方法是进行体外血液透析, 药物排除率可增加到原来的6倍，但是平安性不能得到充分保证，建议尽量少用。三、模型假设3.1模型假设为了判断孩子的血药浓度会不会到达危险的水平，需要寻求胃肠道和血液系统中的药量随时间变化的规律。记胃肠道中的药量为工。)，血液系统中的药量为y，时间t以孩子误服药的时刻为起点(，=0)。(1)胃肠道中药物向血液系统的转移率与药量尤成正比，比例系数为2 (>0),总剂量llOOmg的药物在，=0瞬间进入肠道。(2)血液系统中药物的排除率与药量yQ)成正比，比例系数为(>0), 1 = 0时血液中无药物。(3)氨茶碱被吸收的半衰期为5h,排出的半衰期为6h。(4)孩子的血液总量为2000ml,成人的血液总量为4000mlo四、定义符号的说明(1)胃肠道中的药量为(2)血液系统中的药量为丁(3)胃肠道中药物向血液系统的转移率为几(4)血液系统中药物的排除率为(5)服用剂量为“五、模型的与建立根据假设对胃肠道中药量x(t)和血液系统中药量y(t)建立如下模型：由假设l,x(0)=mmg,随着药物从胃肠道向血液系统的转移,x(t)下降的速度与x(t)本身成正比(比 例系数人>0)，所以x满足微分方程=-Ax, x(0) = m(1)dt有假设2, y(0)=0,药物从胃肠道向血液系统的转移相当于血液系统对药物的吸收，y(t)由于吸收 作用而增长的速度是入X,由于排除而减少的速度与y本身成正比(比例系数u>0)，所以y(t)满足 微分方程dydt方程(1),(2)中的参数X和可由假设3中的半衰期确定。六、模型求解微分方程是可别离变量方程，容易得到%=me*说明胃肠道中的药量x(t)随时间单调减少并趋于0.为了确定X,利用药物吸收的半衰期为5 h,即 x(5) = me5A x(0)/2 = m/2,得九二(ln2)/5=0. 1386( 1/h).将(3)代入，得到一阶线性微分方程，求解得说明血液系统中的药量y(t)随时间先增后减并趋于0.为了根据药物排出的半衰期为6 h来确定|i,考虑血液系统只对药物进行排出的情况，这时y(t)满足方程包=-玲，假设设在某时刻t有y=%那么=.利用dty(c+ 6) = a/2,可得 =(In 2)/6 = 0.1155(1/m.将4 = 0.1386和 =0.1155代入(3),(4),可得(t的单位是：h;x,y的单位：mg)V(力=6皿1/15夕(6)根据假设4,孩子血液总量为2000 ml,出现严重中毒的血药浓度100 |ig/ml和致命的血药浓度 200 |ig/ml分别相当于血液中药量y到达200 mg和400 mg.求解孩子服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量，即求解当血液系统中的药量到达最大 值y=200和y=400时，x(0)的值m.即：6叫(/°.皿°1386，)= 200(7)6m2(e-°1,55z-0J386r ) = 400(8)结果分析用MATLAB软件对(7), (8)作图，得图:孩子服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量解得 加 min = 497.7 rrgm2rnin =995.4 曜即孩子服用氨茶碱能引起严重中毒的最小剂量为497.7094 mg;引起致命的最小剂量为995.4189 mg .根据假设4,成人血液总量为4000 mL出现严重中毒的血药浓度100席/ml和致命的血药浓度 200 |ig/ml分别相当于血液中药量y到达400 mg和800 mg.求解孩子服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量，即求解当血液系统中的药量到达最大 值 y=400 和 y=800 时，x(0)的值 m.即：GmA/g _6。3861厂领(9)6m2(°J155z-°J386z) = 800(10)结果分析用MATLAB软件对(9), (10)作图，得图：成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量解得 ml . = 995.4 mg/7?2min=1990.8 mg施救方案假设x(0)=1100mg,且在两小时后到达医院。如果采用体外血液透析的方法施救，药 物的排除率可增加到口的6倍，即0.693,0此时，计算采用这种施救方案血液中药量y(t) 的变化情况。设孩子到达医院时刻t(2)就开始施救，前面已经算出了 y(2)=236.5,由(2),(3),新的模 型为(血液中药量记作z(t)dz,= 00e 2，2出=236.5(11)dt仍是一阶线性微分方程，只不过初始时刻为t=2,当入=0.1386(不变)而u =0.693时，(11)的解为z =275e-0J386z +112.27-°-6930z(12)用MATLAB软件对(11), (12)作图，如图2施救后血液系统中药量z（t）结果分析（自己写） 模型的评价（自己写）参考文献附录程序1:t=0:25;m 1 =200./(6*(exp(-0.1155*t)-exp(-0.1386*t);m2=400,/(6*(exp(-0.1155*t)-exp(-0.1386*t); subplot( 1,2,1 );plot(t,m 1 );grid;xlabel('t/h,);ylabel(,m 1 /mg');subplot(l,2,2);plot(t,m2);grid;xlabel(,t/h,);ylabel(,m2/mg,)min(ml;)min(m2)程序2：z=dsolve(J Dz=O. 1386*1100*exp(-0. 1386*t)-0. 693*z',' z (2) =236. 5',' t')z= (275*exp (693/1250*t)-ll/2* (50*exp (-693/500) *exp (693/625)-43)/exp (-693/500)*exp (-693/1000*t)化简得z=112 e693' +275t=0:25;x= 11 OO*exp(-O. 1386*t);y=6600*(exp(-0.1155*t)-exp(-0.1386*t);plot(t,x,t,y);hold ont=2:25;z=275*exp(-0.1386*t)+112.27*exp(-0.693*t);plot(t,z);gridtext(2,900；x(t)1);text(8,500；y );text(6,180；z(t),);xlabel('t/h');ylabel('x,y,z/mg');title,施救后的曲线变化z(t)1);