2022年高中数学知识点总结3.docx

精品_精品资料_高中数学必修 1 学问点总结第一章集合与函数概念【1.1.1 】集合的含义与表示（ 1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2） 常用数集及其记法N 表示自然数集, N或 N 表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表示实数集 .（3） 集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 aM ,或者 aM ,两者必居其一 .（4） 集合的表示法自然语言法：用文字表达的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.描述法： x | x 具有的性质 ,其中 x 为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5） 集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集 .【1.1.2 】集合间的基本关系（6） 子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图(1) AAAB2A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_子集（或A 中的任一元素都属于 BABBCACABBA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BA(3) 如且,就或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 如 AB 且 BA ,就 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB真子集AB ,且 B 中至A（ 1）（ A 为非空子集）BA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（或 BA）少有一元素不属于A(2) 如ABBCAC且,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_集合相等ABA 中的任一元素都属于 B, B 中的任一元素都属于 A(1) AB(2) BAAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（7） 已知集合 A 有nn1 个元素,就它有 2n 个子集,它有2n1个真子集,它有 2n1个非空子集,它可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有 2n2 非空真子集 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【1.1.3 】集合的基本运算（8） 交集、并集、补集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_名称记号意义性质示意图（ 1） AAA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x | xA,AB交集xB x | xA,AB并集xB x | xU ,且或xA（ 2） A（ 3） ABAABB（ 1） AAA（ 2） AA（ 3） ABAABBABAB1 AeU A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_补集eU A且痧U AB痧U ABU A.U BU A.U B2 AeU AU可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【补充学问】含肯定值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含肯定值的不等式的解法不等式解集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| x |aa0 x |axa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| x |a a0x | xa 或 xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| axb |c,| axb |cc0把 axb 看成 一 个 整 体 , 化 成 | x |a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）一元二次不等式的解法判别式| x |aa0 型不等式来求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2000b4ac二次函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yax2的图象bxca0O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一 元二次 方程2x1,2bb22a4acb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_axbxc的根0 a0（其中 x1x2x1x22 a无实根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2axbxc的解集0 a0 x | xx1 或xx2b x | x2aR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2axbxc的解集1.2函数及其表示【1.2.1 】函数的概念（1） 函数的概念0a0 x | x1xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 A 、 B 是两个非空的数集,假如依据某种对应法就f ,对于集合 A 中任何一个数x ,在集合 B 中都有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_唯独确定的数f x和它对应,那么这样的对应（包括集合A , B 以及 A 到 B 的对应法就 f ）叫做集合 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_到 B 的一个函数,记作f : AB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数的三要素 :定义域、值域和对应法就只有定义域相同,且对应法就也相同的两个函数才是同一函数（2） 区间的概念及表示法设 a, b 是两个实数,且ab ,满意 axb 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 a, b .满意 axb 的实数 x 的集合叫做开区间,记做a,b .满意 axb ,或 axb 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分 别 记 做 a b, a, b. 满 足xa,x, ax ,b的x实b数x的 集 合 分 别 记 做可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a, a,b, b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：对于集合 x | axb与区间 a, b ,前者 a 可以大于或等于b ,而后者必需可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab（3） 求函数的定义域时,一般遵循以下原就： f x 是整式时,定义域是全体实数 f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数 f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ytanx 中, xkkZ 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_零（负）指数幂的底数不能为零可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 fx是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时,就其定义域一般是各基本初等函数的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_域的交集对于求复合函数定义域问题,一般步骤是：如已知f x的定义域为 a,b,其复合函数f gx 的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_域应由不等式ag xb 解出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于含字母参数的函数,求其定义域,依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,仍要符合问题的实际意义（4） 求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上,假如在函数的值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观看法：对于比较简洁的函数,我们可以通过观看直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后依据变量的取值范畴确定函数的值域或最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判别式法：如函数yf x 可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程a yx2b yxc y0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就在 a y0时,由于x, y 为实数,故必需有b 2 y4a yc y0 ,从而确定函数的值域或最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.2 】函数的表示法（5） 函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6） 映射的概念设 A 、 B 是两个集合,假如依据某种对应法就f ,对于集合 A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯独的元素和它对应,那么这样的对应（包括集合A , B 以及 A 到 B 的对应法就 f ）叫做集合 A 到 B 的映射,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记作 f: AB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且aA, bB 假如元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素b 叫做元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.3函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的定义图象判定方法性 质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1<x2 时,都有 fx1<fx2 , 那么就说fx 在这个区间y y=fXfx1 fx2 （ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性（ 3）利用函数图象（在某个区间图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数的单调性上是增函数假如对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 、x2,当x1< x2 时 , 都 有fx1>fx2 ,那么就说 fx在这个区间上是减函数o x1x 2 xyy=fXfx1 fx2 o x 1x2 x象上升为增）（ 4）利用复合函数（ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性（ 3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（ 4）利用复合函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于复合函数yf g x ,令 ug x ,如yf u 为增,ug x 为增,就yf g x 为增.如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf u 为减,ug x 为减,就yf g x 为增.如yf u 为增,ug x 为减,就yf g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为减.如yf u 为减,ug x 为增,就yf g x 为减y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xx a a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 打“”函数f x 分别在 ,函数a 、x的图象与性质a , 上为增函数,分别在 a ,0 、 0,a 上为减ox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 最大（小）值定义一般的,设函数y f x 的定义域为 I ,假如存在实数 M 满意：（1）对于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_任意的 xI ,都有f xM .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）存在 x0I ,使得f x0 M 那么, 我们称 M 是函数f x的最大值,记作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fmxaM x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的, 设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数 m 满意：（ 1）对于任意的 xI ,都有f xm .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）存在 x0I ,使得f x0 m那么,我们称 m 是函数f x的最小值,记作f max xm 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【1.3.2 】奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数的奇偶性假如对于函数 fx 定义域内任意一个 x,都有 f x= fx,那么函数 fx叫做奇函数假如对于函数 fx 定义域内任意一个 x,都有 fx=fx,那么函数 fx 叫做偶函数（ 1）利用定义（要先判肯定义域是否关于原点对称）（ 2）利用图象（图象关于原点对称）（ 1）利用定义（要先判肯定义域是否关于原点对称）（ 2）利用图象（图象关于 y 轴对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如函数f x为奇函数,且在 x0 处有定义,就f 00 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内,两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）,两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充学问函数的图象（1） 作图利用描点法作图：确定函数的定义域.化解函数解析式.争论函数的性质（奇偶性、单调性）.画出函数的图象 利用基本函数图象的变换作图：要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf xh 0,左移 h个单位h 0,右移| h|个单位yf xhyf xk 0,上移 k个单位k 0,下移 | k |个单位yf xk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_伸缩变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x01,伸1,缩yf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x0 A 1,缩yAf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1,伸对称变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf xx轴yf xyf xy轴yf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x原点yf xyf x直线yxyf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x去掉y轴左边图象保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象yf | x |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x保留x轴上方图象 将x轴下方图象翻折上去y| f x |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1（2） 识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范畴、变化趋势、对称性等方面争论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,留意图象与函数解析式中参数的关系（3） 用图函数图象形象的显示了函数的性质,为争论数量关系问题供应了“形”的直观性, 它是探求解题途径, 获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法高中数学必修 2 学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、直线与方程（1） ）直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向 之间所成的角叫直线的倾斜角.特殊的,当直线与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 0 度.因此,倾斜角的取值范畴是0°180°（2） ）直线的斜率定义： 倾斜角不是 90°的直线, 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率. 直线的斜率常用 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_表示.即 ktan.斜率反映直线与轴的倾斜程度.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当0 ,90时, k0.当90 ,180时, k0. 当90 时, k 不存在.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过两点的直线的斜率公式： ky2y1x2x1 x1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意下面四点： 1 当x1x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°.2 k 与 P1、P2 的次序无关. 3 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得.4 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.（3） ）直线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点斜式： yy1k xx1 直线斜率 k,且过点x1, y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意： 当直线的斜率为 0°时, k=0,直线的方程是 y=y1.当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1 ,所以它的方程是 x=x1.斜截式： ykxb ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两点式：yy1xx1（ xx , yy ）直线两点x , y, x , y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2y1x2x112121122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_截矩式： xy1ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中直线 l 与 x 轴交于点 a,0, 与 y 轴交于点 0, b , 即l 与x 轴、 y 轴的截距分别为a,b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般式： AxByC0 （A,B 不全为 0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意： 1 各式的适用范畴2 特殊的方程如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平行于 x 轴的直线： yb （b 为常数）.平行于 y 轴的直线： xa （a 为常数）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5） ）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平行于已知直线（ C为常数）（二）过定点的直线系A0 xB0 yC 00（ A0 , B0 是不全为 0 的常数）的直线系： A0 xB0 yC0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）斜率为 k 的直线系： yy0k xx0,直线过定点x0 , y0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）过两条直线l1 :A1xB1 yC10 , l 2 :A2 xB2 yC20 的交点的直线系方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1xB1yC1A2 xB2 yC20 （ 为参数）,其中直线l2 不在直线系中.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（6） ）两直线平行与垂直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当l1 : yk1 xb1 , l 2 : yk2 xb2 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l1 / l 2k1k2 , b1b2 . l1l 2k1k21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：利用斜率判定直线的平行与垂直时,要留意斜率的存在与否.（7） ）两条直线的交点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l1 : A1xB1 yC10l 2: A2xB2 yC 20 相交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_交点坐标即方程组A1 x A2 xB1yC1B2 yC20 的一组解.0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程组无解l1 / l 2.方程组有很多解l1 与l 2 重合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（8） ）两点间距离公式： 设 A x1 , y1,（B x2, y2）是平面直角坐标系中的两个点,2就| AB | xx 2 yy 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2121（9） ）点到直线距离公式： 一点 P（10） ）两平行直线距离公式x0 , y0到直线l1 : AxByC0 的距离 dAx0By0CA 2B 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在任始终线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解.二、圆的方程1、圆的定义： 平面内到肯定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、圆的方程（1） ）标准方程 xa 22ybr,圆心a,b,半径为 r .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（2） ）一般方程x2y 2DxEyF0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 D 2E 24F0 时,方程表示圆,此时圆心为D ,E,半径为 r22122DE4 F2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 DE 24F0 时,表示一个点.当 D 2E 24F0 时,方程不表示任何图形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） ）求圆方程的方法：一般都采纳待定系数法：先设后求. 确定一个圆需要三个独立条件,如利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r .如利用一般方程,需要求出 D, E, F.另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.3、直线与圆的位置关系：22直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情形,基本上由以下两种方法判定：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1 ） 设直线l : AxByC0 , 圆 C :xaybr 2, 圆心 Ca, b到 l的距离为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AaBbCd22AB,就有 drl 与C相离 . drl与C相切 . drl与C相交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）设直线l : AxByC0 ,圆C : xaybr 2 ,先将方程联立消元,得到一个一元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22二次方程之后,令其中的判别式为,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0l与C相离 .0l与C相切 .0l 与C相交2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：假如圆心的位置在原点, 可使用公式表示切点坐标, r 表示半径.3 过圆上一点的切线方程：xx0yy 0r去解直线与圆相切的问题, 其中x0 , y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆 x+y =r 2 ,圆上一点为 x ,y ,就过此点的切线方程为xxyyr 2 课本命题 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_220000222圆x-a+y-b=r ,圆上一点为 x 0 ,y0 ,就过此点的切线方程为 x 0-ax-a+y0 -by-b=r 2 课本命题的推广 4、圆与圆的位置关系： 通过两圆半径的和（差） ,与圆心距（ d）之间的大小比较来确定.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设圆C1 : xa12yb1r 2 , C:xa22yb2R