2022年高中数学知识点总结_概率及其应用 2.docx

精品_精品资料_概率及其应用1.解概率应用题要学会“说” ：第一是记大事, 其次是对大事做必要的分析,指出大事的概率类型,包括“等可能性大事” 、“互斥大事” 、“相互独立大事” 、“独立重复试验” 、“对立大事”等.然后是列式子、运算,最终别忘了作“答”. 2“等可能性大事”的概率为“目标大事的方法数”与“基本领件的方法数”的商,留意区分“有放回”和“不放回”.“互斥大事”的概率为各大事概率的和.“相互独立大事”的概率为各大事概率的积.如大事A 在一次试验中发生的概率是p ,就它在 n 次“独立重复试kkn k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_验”中恰好发生 k 次的概率为Pnk Cn p 1p.如大事 A 发生的概率是 p ,就 A 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_“对立大事”A 发生的概率是 1- p 等.有的同学只会列式子,不会“说”大事,那就依据你列的式子“说” ：用排列（组合）数相除的是“等可能性大事”,用概率相加的是“互斥事n件”,用概率相乘的是“相互独立大事”,用 C k 的是“独立重复试验” ,用“ 1 减”的是“对立大事”. 举例 1已知甲盒内有大小相同的3 个红球和 4 个黑球,乙盒内有大小相同的5 个红球和 4个黑球现从甲、乙两个盒内各任取2 个球（）求取出的 4 个球均为红球的概率.（）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率.（ 07 高考天津文 18）解析：（）设“从甲盒内取出的2 个球均为红球”为大事A.从甲盒内取出 2 个球（基本可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7大事）有C 2 种方法,它们是等可能的,其中2 个球均为红球（目标大事）的有C 2 种,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P A2CC1723.设“从乙盒内取出的2 个球均为红球”为大事B ,有7P B32CC593218 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而“取出的 4 个球均为红球”即大事A 、B 同时发生,又大事A,B 相互独立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ P AB P AP B157185126可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）设“从甲盒内取出的2 个球中, 1 个是红球, 1 个是黑球.从乙盒内取出的2 个红球为黑球”为大事C ,“从甲盒内取出的2 个球均为黑球.从乙盒内取出的2 个球中, 1 个是C 1C1C 22C 2C1C110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_红球, 1 个是黑球”为大事 D PC344CC2279=, P D21454CC22.7963可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而“取出的 4 个红球中恰有 4 个红球”即大事C, D有一个发生,又大事C,D互斥,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PCDPCP D21016216363可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答： 取出的 4 个球均为红球的概率是512616,取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率是.63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 举例 2某的区为下岗人员免费供应财会和运算机培训,以提高下岗人员的再就业才能,每名下岗人员可以挑选参与一项培训、参与两项培训或不参与培训,已知参与过财会培训的有60%,参与过运算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的挑选是相互独立的,且各人的挑选相互之间没有影响 （ I）任选 1 名下岗人员,求该人参与过培训的概率.（II ）任选 3 名下岗人员,求这3 人中至少有 2 人参与过培育的概率 （ 07 高考湖南文 17） 解析：任选 1 名下岗人员,记 “该人参与过财会培训” 为大事 A ,“该人参与过运算机培训”为大事 B ,由题设知,大事A 与 B 相互独立,且P A0.6 , P B0.75 （I）解法一：任选 1 名下岗人员,该人没有参与过培训即大事A 、 B 同时发生,其概率是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P1P A BP APB0.40.250.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以该人参与过培训的概率是1 P110.10.9 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：任选 1 名下岗人员, 设该人只参与过一项培训为大事C,CABAB ,AB 与 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_互斥, P（ C） =P（ ABAB ） =P（AB ）+P（AB ） =0.6× 0.25+0.4 × 0.75=0.45 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_该人参与过两项培训为大事D, PD=PAB=0. 6× 0.75=0.45该人参与过培训即C、D 有一个发生,且 C、D 互斥,其概率为PC+D=PC+PD=0.9;（II ）解法一：设任选3 名下岗人员, 3 人中恰有 2 人参与过培训为大事E, E 是独立重复可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C2试验,其中 n=3,k=2,p=0.9 , PE=30.920.1 =0.243 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设任选 3 名下岗人员, 3 人都参与过培训为大事F, PF= 0.93 =0.729 “3 人中至少有 2 人参与过培训” 即 E、F 有一个发生, 又 E、F 互斥, 它的概率是： PE+F=PE+PF=0.243+0.729=0.972 .解法二：设任选 3 名下岗人员, 3 人中恰有 1 人参与过培训为大事G, PG=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C310.90.120.027;设任选 3 名下岗人员, 3 人都没有参与过培训为大事H ,P（ H） =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_30.10.001 .“ 3 人中至少有 2 人参与过培训”即EF ,P EF = 10.0270.0010.972;答：任选 1 名下岗人员该人参与过培训的概率是0.9,任选 3 名下岗人员,这 3 人中至少有2 人参与过培育的概率是0.972 巩固 1某条公共汽车线路沿线共有11 个车站（包括起点站和终点站） ,在起点站开出的一辆公共汽车上有 6 位乘客,假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的求：（I）这 6 位乘客在其不相同的车站下车的概率.（II ）这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率. （07 高考北京文 18） 巩固 2设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为3 和 4 ,且各次射击相互独立45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如甲、乙各射击一次,求甲命中但乙未命中目标的概率.（）如甲、乙各射击两次,求两人命中目标的次数相等的概率（ 07 高考重庆文 17） 3要精确懂得题意,吃透其中的“关键词”,如： “至多”、“至少”、“恰有“、“不全是”、“全不是”等.要能读出题目的“言下之意”. 举例 1 在医同学物试验中,常常以果蝇作为试验对象一个关有 6 只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有 8 只蝇子： 6 只果蝇和 2 只苍蝇）,只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只的往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔（I）求笼内恰好剩下 1 只果蝇的概率.（II ）求笼内至少剩下 5 只果蝇的概率 （ 07 高考安徽文 19）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：设笼内恰好剩下k 只果蝇的大事为Ak k0,1,L,6 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（I）笼内恰好剩下 1 只果蝇即第 7 只飞出的是苍蝇,而前6 只飞出的蝇子中有1 只苍蝇、 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_只果蝇.基本领件有A7 种,它们是等可能的,其中目标大事有C 1C 5 A 6 种,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8266C1C 5 A63C1C1 A2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 P A1 =266A78=.（ II）笼内至少剩下 5 只果蝇为大事14A5 +A6 ,P A5 =262A38可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= 1 , P A A2 = 1 ,又大事A 、 A 互斥,故 P A +A =PA +PA = 1 + 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1465622A82856561428可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= 3 .答：笼内恰好剩下1 只果蝇的概率为283 ,笼内至少剩下5 只果蝇的概率3 .1428可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P B P AA P A P A 3 3565628 举例 2 甲、乙两人个有 4 张卡片,现以掷硬币的形式进行嬉戏.当显现正面朝上时,甲赢得乙一张卡片, 否就乙赢得甲一张卡片,假如某人已赢得全部卡片,就嬉戏立刻终止,求掷币次数不大于6 时嬉戏恰好终止的概率.解析：明显,至少需掷币4 次,嬉戏才可能终止.现要求掷币次数不大于6 时嬉戏终止,看似有三种情形,即掷币次数分别为4、5、6,但事实上掷币 5 次嬉戏终止的情形是不行能显现的：由于,第一前4 次不行能都为正面或反面（否就掷币4 次后嬉戏已经终止） ,如前 4次中有 1 次反面而其它4 次都为正面, 此时甲手中有 7 张卡片, 乙手中有 1 张卡片, 嬉戏尚可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_未终止.设掷币 4 次嬉戏终止的大事为A,P（A） =2×1 42= 1 .掷币 6 次嬉戏终止的大事8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 B,就前 4 次中有 1 次反面而其它 5 次都为正面,或前4 次中有 1 次正面而其它 5 次都为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4反面, P（ B） =2× C11 1522= 1 ,有又掷币次数不大于6 时嬉戏恰好终止为A+B ,且8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、B 互斥, P（ A+B） =P（ A） +P（ B）= 1 + 1 = 1 .884 巩固 1甲、乙两队进行一场排球竞赛,依据以往体会, 单局竞赛甲队胜乙队的概率为0.6, 本场竞赛采纳五局三胜制,即先胜三局的队获胜,竞赛终止,设各局竞赛相互间没有影响,求（）前三局竞赛甲队领先的概率.（）本场竞赛乙队以3： 2 取胜的概率 .（精确到 0.001） 巩固 2 10 个球中有一个红球, 有放回的抽取, 每次取出一球, 直到第 n 次才取得 k kn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_次红球的概率为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n kkn kkn kk 1n k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn11A191010, B191010C C k 1191010D Ck 1191010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 巩固 3从某批产品中,有放回的抽取产品二次,每次随机抽取1 件,假设大事 A ：“取出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率P A0.96 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 求从该批产品中任取1 件是二等品的概率p .（2） 如该批产品共 100 件,从中任意抽取2 件,求大事 B ：“取出的 2 件产品中至少有一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_件二等品”的概率PB （ 07 高考全国卷理 19）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 关注概率与其它学问点的“交汇”,如数列、不等式、解析几何等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 举例 1 设集合 A1,2, B1,2,3 ,分别从集合 A和 B 中随机取一个数 a 和 b ,确定平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面上的一个点Pa, b,记“点Pa, b 落在直线 xyn 上”为大事Cn 2 n 5, nN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,如大事Cn 的概率最大,就 n 的全部可能值为（）（ 07 高考山东文 12）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 3B 4C 2 和 5D 3 和 4解析： 点 Pa, b 落在直线 xyn 上,即 abn .集合 A 和 B 中随机取一个数a 和 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有 6 种方法,它们是等可能的,其中使得ab2 有 1 种,使得 ab3有 2 种,使得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab4 有 2 种,使得 ab5 有 1 种.故使得大事Cn 的概率最大的 n 可能为 3 和 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 举例 2正四周体的各顶点为A1 , A2 , A3, A4 ,进入某顶点的动点X 不停留在同一个顶点上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_每隔 1 秒钟向其他三个顶点以相同的概率移动.n 秒后 X在Ai i1,2,3,4的概率用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Pi nn=0,1,2 表示.当P101 , P2401, P3201, P4801 时,8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）求P2 1, P2 2.2 求 P2 n 与 P2 n1 的关系（ nN ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）求P2 n 关于 n 的表达式,（ 4）求P1 n 关于 n 的表达式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 ： P2 1 即 1 秒后动点在A2 的概率,它有三种情形.开头时（0 秒）在A1 ,1 秒后移可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_动到 A2 .由题意知, 每隔 1 秒钟动点 X 从一个顶点移动到另一个顶点的概率均为1 .所以3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这种情形的概率为：P 0 × 1 =131.开头时在12A3 ,1 秒后移动到A2.其概率为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P3 0 ×1 = 1 .开头时在324A4 , 1 秒后移动到A2 .其概率为：P4 0× 1 = 1 .324可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又这种情形互斥,1P2 1 =+1211+=24241.我们设想一下,假如仍旧按这个方法运算6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P2 2,将不胜其烦,由于第一要算P1 1 、 P3 1 、 P4 1 .事实上 1 秒后动点在A2 ,即开可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_始时（ 0 秒）动点不在A ,其概率为： 1- P 0 =12,而每隔 1 秒钟动点 X 从一个顶点移动可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_到另一个顶点的概率均为1 .所以P2 1= 1 × 1 =1 .类似的, 2 秒后动点在A2 ,即 1 秒可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_后动点不在3A ,其概率为： 1- P1 =25 , P32 =65 × 1 =5 . n 秒后动点在2A ,即 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_622263181可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_秒后动点不在A2 ,其概率为： 1- P2 n1 ,P2 n =1-P2 n1 ×.至此,问题化归3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为数列问题.即：已知数列P2 n 满意：1P2 n =-3P2 n1 + 1 ,求通项公式.用待定3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_系数法构造等比数列,设P n + x =- 1 23P2 n1 + x ,得 x =1,可见4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列 P2 n1 是以 - 1 为公比的等比数列,其首项为11P2 1=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ P2n411=41231 n31 , Pn = 1241 1 n 1 .123412可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_完全类似的,可得1P1 n =-3P1 n11 +,于是有3P1 n1 =- 1 P n11 1434可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_但 P1 11=0,数列 4P1n 是常数列,即1.P1 n =4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评 ：此题的关键是：第n 秒后动点在某一顶点即意味着第n1秒后动点不在该顶点,由此反映的它们的概率之间的关系正是数列的前后项之间的关系即递推关系,于是从概率问题自然的过渡到数列问题,再用数列的方法解决之.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 巩固 1 已知一组抛物线 y1 ax 2bx21 ,其中 a 为 2,4,6,8 中任取的一个数,b 为 1,3,5,7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中任取的一个数, 从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线 x=1 交点处的切线相互平行的概率是（）（07 高考四川理 12）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ A ）1（B ）127（ C）606（D ） 52525可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 巩固 2 位于坐标原点的一个质点P 按以下规章移动：质点每次移动一个单位.移动的方向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是12,质点 P 移动五次后位 于点 2,3 的概可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_率是（）（07 高考山东理 12）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_233A 1B C212223C C212323D C1C2121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 巩固 3 有人玩掷硬币走跳棋的嬉戏,已知硬币显现正反面的概率都是,棋盘上标有第02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_站,第 1 站,第 100 站,一枚棋子开头在第0 站,棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次,如掷出正面, 棋子向前跳一站 （从 n 到 n+1）,如掷出反面, 棋子向前跳两站 （从 n 到 n+2）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直到棋子跳到第 99 站（成功大本营） ,或跳到第 100 站（失败集中营）时该嬉戏终止,设棋子跳到第 n 站的概率为 Pn.（ 1）求 P1, P2,P3; （ 2）求证：数列 Pn-Pn-1 是等比数列 n N,n 99.（ 3）求 P99及 P100的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案32、 巩固 10.1512,0.01458; 巩固 220,0.4825. 3、 巩固 10.648,0.138 . 巩固 2C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 巩固 30.2,179 .4、巩固 1 B ,巩固 2 B ,巩固 3 P1=4951 ,P2=23 ,Pn-Pn-1=4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_- 1 Pn-1 - Pn-2 2n99, n N, 2P99= 132- （1 ） 99.P100 =21 1+3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1 ）99 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载