2022年高等数学教案中值定理与导数的应用.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第三章中值定理与导数的应用教学目的：1、懂得并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理,明白柯西中值定理和泰勒中值定理.2、懂得函数的极值概念,把握用导数判定函数的单调性和求函数极值的方法,把握函数最大值和最小值的求法及其简洁应用.3、会用二阶导数判定函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描画函数的图形.4、把握用洛必达法就求未定式极限的方法.5、知道曲率和曲率半径的概念,会运算曲率和曲率半径.6、知道方程近似解的二分法及切线性.教学重点 ：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理.2、函数的极值,判定函数的单调性和求函数极值的方法.3、函数图形的凹凸性.4、洛必达法就.教学难点：1、 罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用.2、 极值的判定方法.3、图形的凹凸性及函数的图形描画.4、洛必达法就的敏捷运用.§3 1中值定理一、罗尔定理费马引理设函数 fx在点 x0 的某邻域U x0内有定义并且在 x0 处可导假如对任意xU x0有fx fx0 或 fx fx0那么 f x0 0罗尔定理 假如函数y fx在闭区间 a,b上连续在开区间 a,b内可导且有 fa fb那么在 a,b内至少在一点使 得 f 0简要证明1 假如 f x是常函数就 f x 0定理的结论明显成立2 假如f x不是常函数就 fx 在a b内至少有一个最大值点或最小值点不妨设有一最大值点 a b 于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 f x=0.罗尔定理的几何意义f f f f limxlimxf xxf xxf 0f 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理假如函数fx在闭区间 a b上连续在开区间 a b内可导那么在 a b内至少有一点a< <b使得等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成立拉格朗日中值定理的几何意义fb fa f b a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理的证明引进辅函数f f bbf a a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令x fx faf bbf a axa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_简洁验证函数fx适合罗尔定理的条件ab 0x在闭区间 a b 上连续在开区间a b内可导且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x f xf bbf a a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据罗尔定理可知在开区间a b内至少有一点使 0即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此得f bbf a af f f bbf a0 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 fb fa f ba定理证毕fb f a f b a叫做拉格朗日中值公式这个公式对于b<a 也成立拉格朗日中值公式的其它形式设 x 为区间 a b内一点 xx 为这区间内的另一点x>0 或x<0就在 x xx x>0或 xx x x<0应用拉格朗日中值公式得f xx f x f xxx 0<<1假如记 fx为 y就上式又可写为y f xxx 0< <1试与微分dy f xx 比 较 dy f xx 是函数增量y 的近似表达式而f xxx 是函数增量y 的精确表达式作为拉格朗日中值定理的应用我们证明如下定理定理 假如函数fx在区间 I 上的导数恒为零那么 fx在区间 I 上是一个常数证在区间I 上任取两点x1 x2 x1<x2应用拉格朗日中值定理就得fx2 fx1 f x2x1 x1< < x2由假定 f 0所 以 fx2 fx1 0即fx2 fx1 由于 x1 x2 是 I 上任意两点所以上面的等式说明fx在 I 上的函数值总是相等的这就是说fx 在区间 I 上是一个常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 证明当 x 0 时x1xln1xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证设 fx ln1x明显 fx在区间 0 x 上满意拉格朗日中值定理的条件依据定理就有fx f 0 f x 0 0< <x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 f00f x11x因此上式即为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln1xx 1又由 0x有xln1xx1x三、柯西中值定理设曲线弧C 由参数方程XF x a x b Yf x表示其中 x 为参数假如曲线C 上除端点外到处具有不垂直于横轴的切线那么在曲线C 上必有一点x使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB曲线 C 上点 x处的切线的斜率为dYf dXF 弦 AB 的斜率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f bF b于是f bF bf aF af aF af F 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_柯西中值定理假如函数fx 及 F x在闭区间 a b上连续在开区间 a b内可导且 F x在a b内的每一点处均不为零那么在 a b内至少有一点使等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f bF b成立f aF af F 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显假如取 F x x那 么 F b F a b a F x 1因而柯西中值公式就可以写成fb fa f b aa< <b这样就变成了拉格朗日中值公式了§3. 3泰勒公式对于一些较复杂的函数 为了便于争论 往往期望用一些简洁的函数来近似表达 由于用多项式表示的函数 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算 便能求出它的函数值 因此我们常常用多项式来近似表达函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -在微分的应用中已经知道当|x|很小时有如下的近似等式ex 1 x ln1xx这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子但是这种近似表达式仍存在着不足之处第一是精确度不高这所产生的误差仅是关于x 的高阶无穷小其次是用它来作近似运算时不能详细估算出误差大小因此对于精确度要求较高且需要估量误差时候就必需用高次多项式来近似 表达函数同时给出误差公式设函数 f x在含有 x0 的开区间内具有直到n 1阶导数现在我们期望做的是找出一个关于 x x0 的 n 次多项式pnx a 0 a 1x x0a 2x x0 2anx x0n来近似表达fx要求 pnx与 fx之差是比 x x0n 高阶的无穷小并给出误差 | f x pn x|的详细表达式我们自然期望pnx与 fx在 x0 的各阶导数 直到 n 1阶导数 相等这样就有pnx a 0 a 1x x0a 2x x0 2anx x0n pn xa 1 2 a 2x x0nanx x0n 1pn x2 a 23 2a 3x x0n n 1anx x0n 2pnx3.a 3 4 3 2a 4 x x0n n 1 n 2an x x0 n 3pn n x n. an于是pnx0 a 0 pn x0a 1 pn x02. a 2 pnx3. a 3pn nx n. an按要求有fx0 pnx0a0 f x0pn x0a 1 f x0pn x02. a 2 fx0pnx03. a 3fnx0pn nx0 n. an从而有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 0 fx0 a 1 f x0 a21 fx02.a31 f3.x0 an1 f n x0 n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是就有pnxfx0f x0 x x0ak1 k.1 fx0 x x0 22.f k x0 k 0 1 2n1 f n x0 x x0nn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_泰勒中值定理假如函数f x在含有 x0 的某个开区间 a b内具有直到 n1的阶导数就当 x 在 a b内时 fx可以表示为 xx0的一个 n 次多项式与一个余项Rnx之和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf x0f x0 xx0 1 fx02.xx 21 f n x n. xx nRn x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 Rn x这里f nn1 1.x000x0 n1 介于 x0 与 x 之间 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_多项式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_pn xf x0f x0 xx0 1 fx2.0xx 21 f n x x n.x n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_000称为函数fx按x x0 的幂绽开的n 次近似多项式公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf x0f x0 xx01 f x0 x 2.x0 21 f n x0 x n.x0 nRn x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称为 fx按x x0的幂绽开的n 阶泰勒公式而 Rnx的表达式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 Rn xf nn1 x1.x0 n1 介于 x 与 x0 之间 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称为拉格朗日型余项当 n 0 时泰勒公式变成拉格朗日中值公式fx fx0 f x x0 在 x0 与 x 之间 因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广假如对于某个固定的n当 x 在区间 a b内变动时|f n 1 x|总不超过一个常数M就有估量式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f n1 n 1Mn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| Rn x|n1.xx0|n1. | xx0|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_及 limRn x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0 xx0n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可见妆 xx0 时误差 |Rnx|是比 x x0n 高阶的无穷小即Rn x o x x0 n在不需要余项的精确表达式时n 阶泰勒公式也可写成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf x0f x0 xx01 f x0 x 2.x0 21 f n x0 x n.x0 no xx0n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0 0 时的泰勒公式称为麦克劳林公式就是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf 0f 0xf0 x22.f n0 x nn.Rnx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或 f xf 0f 0 xf0 x22.f n 0 x nn.ox n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 Rn xf nn1 n 11.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此得近似公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf 0f 0xf0 x22.f n0 x nn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -误差估量式变为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| Rn x|Mn1.|x |n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1写出函数fx ex 的 n 阶麦克劳林公式解因 为 fx f x f xf nx ex所以f0f 0f 0f n01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 ex1x1 x 21 xne xx n1 0<可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_并有 ex1x2.1 x22.n.1 xn n.n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这时所产性的误差为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x|Rnx|exn 1 |<e|x | x |n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1.n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x 1 时可得 e 的近似式ex1 1112.n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其误差为|Rn|<en1.3n 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2求 fx sin x 的 n 阶麦克劳林公式解由于f x cos x f xsinx fxcos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 4xsin xf n xsin xn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 00 f 01 f 00 f01 f 400可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 sin xx1 x31 x5 1m1x2m 1R x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.5.2m1.2m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 m 1、2、3 时有近似公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin x xsin xx1 x33.sin xx1 x33.1 x55.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_§3 4函数单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法假如函数y f x在 a b上单调增加（单调削减）那么它的图形是一条沿x 轴正向上升（下降） 的曲线这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）即 yf x 0yf x 0由此可见函数的单调性与导数的符号有着亲密的关系反过来能否用导数的符号来判定函数的单调性了？定理 1函数单调性的判定法设函数 y fx在 a b上连续在a b内可导1 假如在 a b内 f x 0那么函数y fx在 a b 上单调增加2 假如在 a b内 f x 0那么函数y fx在 a b 上单调削减证明只证 1在 a b上任取两点x1 x2 x1 x2应用拉格朗日中值定理得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -fx2fx1 f x2 x1x1x2由于在上式中x2 x1 0因此假如在 a b内导数 f x保持正号即 f x 0那么也有f 0于是fx2 fx1 f x2 x1 0即f x1 fx2这函数 y fx 在 a b上单调增加注判定法中的闭区间可换成其他各种区间例 1判定函数 yx sin x 在 0 2 上的单调性解由于在 0 2 内y1 cos x 0所以由判定法可知函数y x cos x 在0 2 上的单调增加例 2争论函数y ex x 1 的单调性（没指明在什么区间怎么办？解yex1函 数 y ex x 1的定义域为 由于在 0内 y0所以函数y ex x 1 在0 上单调减少 由于在 0内 y0所以函数y ex x 1 在0上单调增加可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 争论函数y3 x2的单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解函数的定义域为当时函数的导数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y33 x x 0函数在 x 0 处不行导可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x 0 时函数的导数不存在因 为 x 0 时 y0所以函数在 , 0上单调削减因 为 x 0 时 y0所以函数在 0,上单调增加假如函数在定义区间上连续 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续 那么只要用方程 f x 0 的根及导数不存在的点来划分函数 fx的定义区间 就能保证 f x在各个部分区间内保持固定的符号 因而函数 fx在每个部分区间上单调例 4确定函数fx 2x39x 2 12x 3 的单调区间解这个函数的定义域为: 函数的导数为: f x 6x2 18x 126x 1x 2导数为零的点有两个x1 1、x2 2列表分析11 22f xfx函数 fx在区间 1 和2内单调增加在区间 1 2 上单调削减例 5争论函数y x3 的单调性解函数的定义域为函数的导数为y3x2除 当 x 0 时 y0 外在其余各点处均有y0因此函数y x 3 在区间 0 及0内都是单调增加的从而在整个定义域 内是单调增加的在x 0 处曲线有一水平切线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -一般的假如 f x在某区间内的有限个点处为零在其余各点处均为正（或负）时那么 fx在该区间上仍然是单调增加（或单调削减）的例 6 证明当 x 1 时 2x31x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明 令f x2x31就x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x11xx21 xx1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于当x 1 时 f x0因此f x在1,上fx单调增加从而当x1 时fx f1由于 f10故 fx f10即2x310x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_也就是 2x31 x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、曲线的凹凸与拐点凹凸性的概念yy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ff x1 f x 2 f x1 2f x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2fx 1 x22x1 x2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx1Ox1x1 x2 2fx2 x 2f x1xOx1x1 x 22f x2 x 2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义 设 fx在区间 I 上连续假如对 I 上任意两点x 1 x 2恒有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1x2 2f x1f x2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么称 fx在 I 上的图形是 向上 凹的 或凹弧 假如恒有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1x2 2那么称 fx在 I 上的图形是 向上 凸的 或凸弧 f x1f x2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义 设函数 y fx在区间 I 上连续假如函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方,就称该曲线在区间I 上是凹的.假如函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方,就称该曲线在区间I 上是凸的凹凸性的判定定理设 fx在a b上连续在a b内具有一阶和二阶导数那么1 如在 a b内 f x>0就 f x在a b上的图形是凹的2 如在 a b内 f x<0就 f x在a b上的图形是凸的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_简要证明只证 1设 x1, x2由拉格朗日中值公式得x1 x2 a b且 x1 x2记 x0x1x2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x f x f xx f x1x2xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1f x20f x0 11f 2 x201x0f 22x2x1 2110x02x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两式相加并应用拉格朗日中值公式得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1f x2 2 f x0 f 2f 1 x2x1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 2x2x112012可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 f x1 f x2 2f x1x2 2所以 fx在a b上的图形是凹的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_拐点连续曲线y fx上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点确定曲线y f x 的凹凸区间和拐点的步骤1 确定函数yfx的定义域2 求出在二阶导数f x3 求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点4 判定或列表判定确定出曲线凹凸区间和拐点注依据详细情形（1）（3）步有时省略例 1判定曲线 y ln x 的凹凸性解y1y1xx2由于在函数y ln x 的定义域 0内 y <0所以曲线yln x 是凸的例 2判定曲线y x3 的凹凸性解 y3x 2 y6x由 y0得 x 0由于当 x<0 时 y <0所以曲线在 0 内为凸的由于当 x>0 时 y >0所以曲线在 0内为凹的例 3求曲线 y 2x 3 3x 2 2x 14 的拐点解 y 6x 2 6x 12可编辑资料 - - - 欢迎下载