2022年导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳.docx

精品_精品资料_导数习题题型十七： 含参数导数问题的 分类争论问题含参数导数问题的分类争论问题1求导后,导函数的解析式含有参数,导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）,导函数为零的实根中有参数也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 已知函数f x 1 x331 a22 x 22ax （a>0） , 求函数的单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xx a2 x2a xa x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 1 已知函数f xx2a x a2 lnx （ a>0）求函数的单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xx 2 a2 x2a x2 x2 xa x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 3 已知函数 fx2 axa 221 xR,其中 aR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）当 a1 时,求曲线 yfx 在点 2, f2处的切线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）当 a0 时,求函数 fx 的单调区间与极值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（）当 a1 时,曲线 yfx 在点 2, f2 处的切线方程为 6x25 y320 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）由于 a0 ,所以 fx2a x 21x212 , 由 f ' x0 ,得 x11, x2aa .这两个实根都在定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222a xax1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 'x2ax1 2 x 2axa1a义域 R 内,但不知它们之间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x212x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的大小.因此,需对参数a 的取值分 a0 和 a0 两种情形进行争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 当 a0 时,就x1x2 .易得 fx 在区间,1, a,a内为减函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在区间1 , a为增函数.故函数fx 在 x1a1处取得微小值a12fa .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 fx 在 x2a 处取得极大值 fa1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）当 a0 时,就x1x2 .易得 fx 在区间 , a , 1 ,1a 内为增函数,在区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a,1) 为减函数.故函数fx 在 x a11处取得微小值faaa 2 .函数fx 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2a 处取得极大值fa1.以上三点即为含参数导数问题的三个基本争论点,在求解有关含参数的导数问题时,可按上述三点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的次序对参数进行争论.因此,对含参数的导数问题的争论,仍是有肯定的规律可循的.当然,在详细解题中,可能要争论其中的两点或三点,这时的争论就更复杂一些了,需要敏捷把握. 区间确定零点不确定的典例 2例 4某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3 元,并且每件产品需向总公司交a 元（ 3 a 5） 的治理费,估计当每件产品的售价为x 元（ 9x 11）时,一年的销售量为（12- x） 万件 .（ 1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x 的函数关系式.（ 2）当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L 最大,并求出 L 的最大值 Q（ a） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解（ 1）分公司一年的利润L（万元）与售价 x 的函数关系式为：L=x-3-a12-x22,x 9,11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2L x=12-x-2x-3-a12-x=12-x18+2a-3x.令 L=0 得 x=6+ 2 a 或 x=12（不合题意,舍去） .3x18 2a3X=12L x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 3 a 5, 86+ 2 a328 .3yL x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 x=6+ 2 a 两侧 L的值由正变负 .3912x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以当 8 6+ 2 a 9 即 3 a32Lmax=L9=9-3-a12-9=96-a.9 时,02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 9 6+ 2 a328 即39 a 5 时,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Lmax=L6+2 a=6+2 a-3-a12-6+2 a =43-1 a3. 所以 Qa=96a,93a,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23333431 a3 ,39a5.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答如 3 a9 ,就当每件售价为29 元时,分公司一年的利润L 最大,最大值 Q（ a） =96-a （万元）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 9 a 5,就当每件售价为 6+22 a 元时, 分公司一年的利润L 最大, 最大值 Qa=4（ 3-31 a）3 万元 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（导函数零点确定,但区间端点不确定引起争论的典例）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2、已知 f xx lnx, g xx3ax 2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ . 求函数f x 的单调区间 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ . 求函数f x 在t ,t2 t0 上的最小值 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_' 对一切的 x0, 2 fxg ' x2 恒成立 , 求实数 a 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： f ' xln x1, 令fx0,解得 0x1 , efx 的单调递减区间是0, 1 ;e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令f ' x0, 解得x1 , f x的单调递增是（ e, ）,e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 0<t<t+2<1 ,t 无解. 0<t<e1 <t+2 ,即 0<t<e1 时,ef xmin11f .ee可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1ett2 ,即t1 时,ef x在t , t2单调递增 ,f x minf ttlnt 9 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x- 10t1emine ,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tlnt 由题意 :t2x ln xe3x 232ax112 在 x0,上恒成立 , 即3x2 x ln x13x22ax1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可得 aln xx22x（分别参数） , 设 h xln x,22x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_'131x1 3x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 hxx22x 22x2 12 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 h' x0 , 得 x1, x1 舍'3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0x1 时, h'x0 ; 当 x1时,h x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x1时, h x取得最大值 ,h x max =-2 13 分.a2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二求导后,导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）,但不知导函数为零的实根是否落在定义域内,从而引起争论. 用导数解决函数问题如求导后争论函数的导数问题时能转化为争论二次函数问题时,二次项的系数含参数按系数大于零、等于零、小于零分类.再按在二次项的系数不等于零时对判别式按0、 =0、 0.在 0 时,求导函数的零点再依据零点是否在在定义域内进行套论,如零点含参数在对零点之间的大小进行争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1 已知函数f xa x331 x221ax ,求函数的单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x2axx1a1xax 1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 2 已知函数f x1a ln xa x 2 （a>0） , 求函数的单调区间2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax 2x1a x1ax1axxf x 例 3已知 a 是实数,函数 fxxxa（）求函数 fx 的单调区间.（）设 g a 为 fx 在区间0,2 上的最小值.（ i ）写出 g a 的表达式.（ ii ）求 a 的取值范畴,使得6g a2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（） 函数的定义域为0, f 'xxxa3xa3xa 3x0 ,由f ' x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x2x2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a得 x.考虑a 是否落在导函数f 'x的定义域0,内,需对参数a 的取值分 a0 及 a0 两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33种情形进行争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） 当 a0 时,就f ' x0 在 0,上恒成立,所以fx 的单调递增区间为0,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） 当 a0 时,由f ' x0 ,得xa .由3f ' x0 ,得 0xa .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,当 a0 时, fx 的单调递减区间为0, a, fx 的单调递增区间为a ,.33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）（ i ）由第（）问的结论可知：（ 1） 当 a0 时 , fx在 0,上 单 调 递 增 , 从 而 fx 在 0,2上 单 调 递 增 , 所 以g af00 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） 当 a0 时, fx 在 0, a上单调递减,在a ,33上单调递增,所以：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 当0, 23,即 0a6 时, fx 在 0, a3a上单调递减,在, 23上单调递增,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 g afa2aa2 a3a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3339可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当 a2, 3,即 a6 时, fx 在 0,2 上单调递减,所以g af2 2 2a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ga综上所述,0,a02 aa ,0a633可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 2a , a 6（ ii ）令 6g a2 .如 a0 ,无解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 0a6 ,由 62aa332 解得 3a6 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如 a6 ,由 62 2a2 解得 6a232 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述, a 的取值范畴为 3a232 .三. 求导后,因导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式）不确定,而引起的争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 1 已知函数f x1 ax22x求函数的单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xax1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 2 已知函数f xln xax 求函数的单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1a xf xax1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 3 设 kR ,函数f x1, x11x, F xf xkx, xR,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1, x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_试争论函数F x 的单调性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：f x1, x11x, F xf xkx, xR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1, x1F xf xkx11xkx, x1, F ' x1k 11x22, x1.x1kx, x112k2xx11 , x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考虑导函数F ' x0 是否有实根,从而需要对参数k 的取值进行争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（一）如 x有实根,1,就F 'x1k 1x21x2.由于当 k0 时,F' x0 无实根,而当 k0 时,F' x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,对参数 k 分 k0 和 k0 两种情形争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） 当 k0 时,F ' x0 在 ,1 上恒成立,所以函数F x 在 ,1 上为增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112kx1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） 当 k0 时,F ' x1 k 1xkk2 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x1x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 F 'x0 ,得 x11, x21,由于 k0 ,所以 x11x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 F 'x0 ,得 11kx1 .由F ' x0 ,得 x11.k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,当 k0 时,函数F x 在 ,11 上为减函数,在 1 k1 ,1 上为增函数.k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）如 x1 ,就F ' x12kx1.由于当 k0 时,F 'x 0 无实根,而当 k0 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F 'x0 有实根,因此,对参数k 分 k0 和 k0 两种情形争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） 当 k0 时,F ' x0 在 1,上恒成立,所以函数F x 在 1,上为减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kx11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） 当 k0 时,F ' x12kx12k.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 F ' x0 ,得 x11.由4k2F ' x0 ,得 11x12 .4k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,当 k0 时,函数F x 在1,114k2上为减函数,在11,4 k2上为增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述：（ 1） 当 k0 时,函数F x 在 ,11 上为减函数,在 1 k1 ,1 上为增函数,在1,上k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） 当 k0 时,函数F x 在 ,1 上为增函数,在1,上为减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） 当 k0 时,函数F x 在 ,1 上为增函数,在11,124 k上为减函数,在112 ,4k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上为增函数.2 19设 a 0, 争论函数 f （ x） =lnx+a （ 1-a ） x -2 （ 1-a ）x 的单调性.2a 1a x221a x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：函数f x 的定义域为 0,.f x,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1时, 方程2a1-ax 221a) x10 的判别式12a1 a1 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0a1时,0, f3x 有两个零点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1ax13a10, x1a13a1（ 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a2a1a2a2a1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且当 0xx1或xx2时, f x0, f x在0, x1与 x2 , 内为增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x1xx2时, fx0, fx在x1, x2 内为减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 13a1时,0, f x0, 所以 f x在0, 内为增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1时, fx10 xx0,f x在0, 内为增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1时0 , x13a1a11x1 3a1 a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12a2a1a2a2a1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 a由213a11 3a1 a113a11a3a12a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a2a1a4a 24a2 1a 24a24a 2 1a4a2 1a4a2 1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13ax1 a11>0x 3a1 a1<0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12a2a1a12a2a1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以在定义域 0 , + 内有唯独零点x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且当 0xx1时, f x0,f x在0, x1 内为增函数.当xx1 时,f x0, f(x) 在x1 , 内可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为减函数.f x 的单调区间如下表：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0a131a1a13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0, x1 x1, x2 x2 ,0,0, x1 x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1 a13a111, x2a13a1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a2a1a) 2a2a1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因函数的零点的个数不确定而引起的争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例已知函数 fx=1nx ,gx=1 x22a a 为常数 ,如直线 l 与 y=fx 和 y=gx 的图象都相切, 且l 与 y=fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的图象相切于定点 P（1,f （ 1）（1） 求直线 l 的方程及 a 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（2） 当 kR时,争论关于 x 的方程 fx1+1-gx=k的实数解的个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（1） f x=, f （1）=1k1=1, 又切点为 P（1,f （1）,即（ 1,0