易错点10不等式（解析版）.docx

易错点10 不等式易错点1:线性规划求线性目标函数厚0)的最值，当人>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当bVO时' 直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.易错点2 :基本不等式均值不等式J石(当仅当a=b时取等号)注意：一正二定三相等； 27 2变形：ab V(粤y 4匕手 (a,b R R)(当仅当a=b时取等号)易错点3 :绝对值不等式(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集, 注意在分段时不要遗漏区间的端点值.用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式.，使得代数问题几何化，既通俗易懂, 又简洁.直观，是一种较好的方法.易错点4 :柯西不等式使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不 等式的左边或右边具有一致形式时就可使用柯西不等式进行证明.利用柯西不等式求最值的一般结构为%+崔+ W) (!+5+1) 2 (1 + 1 + 1)2 =犹在使用柯西不等式时，要注意右边<31<323，n为常数且应注意等号成立的条件.题组1线性规划x + 1201. (2021浙江卷)假设实数满足约束条件<x-y<0,那么z = 的最小值2x + 3j-l<02是().311A. -2B. -C. D.103x + 2y-6 W 6.设x, y满足约束条件xNO,那么2 =工y的取值范围是y 20A. -3,0B. -3,2C. 0,2D. 0,3【解析】不等式组的可行域如图，目标函数的几何意义可得函数在点A(0,3)处取得最小值z = 0 3 = 3.在点5(2,0)处取得最大值z = 20 = 2,选B.B. 2rt-h > -2D. + y/b < a/25 .(多项选择题)>0, 6>0,且+b=l,那么()A. a2 +b2 >-2C. log2 6/+ log2 Z? >-29/1 A2 11【解析】对于4 a2 +b2 = a2 +(l-aV = 2a2-2a + l= 2 a- '，V 2j 2 2当且仅当 =h =工时' 等号成立，故A正确;2对于3, a-b = 2a->- ,所以2所”2-1=，故8正确;2对 于 C, log2 a + log2 b = log2 ab < log2 = log2 = -2 ,k 2 J 4当且仅当4 = = !时，等号成立，故。不正确；22对于 0,因为(G + C) = 1 + 2yab < + a + b = 2 ,所以G +当且仅当a = b ='时，等号成立，故。正确；应选：ABDx-y>Q7,假设，V满足约束条件卜+ y - 2 2 0 ,那么z = y - 2x的最小值为 x-2<0【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影局部，将2 = >-2x化为y = 2x+z,那么数形结合可得，当直线y = 2x+z过点8(2,0)时，z取得最小 值为 0-2x2 = -4.故答案为：-48.设x>0, y>0, x + 2y = 4,那么色土»空辿的最小值为. 孙【解析】x0, y>0, x + 2y = 4,(x + l)(2y+ 1) 2xy + x + 2y + l 2xy+ 55III= 2 + .xyxyxy xy由基本不等式有4 = x + 2y.2j再，所以。<孙<2(当且仅当x = 2y = 2时，即1=2,y = l时，等号成立).5 5c 5 c 5 9 (x + l)(2y + l)9所以彳，2 + .2 + - = -,所以的最小值为xy 2 xy 2 2xy29.函数/(x)=|x + l| |x 2|.求不等式l的解集；假设不等式/(x)与x2-x + m的解集非空，求机的取值范围.3, x < 1【解析】(1) /(x) = 12x 1,3,x>2当X <-1时，无解;当时，由得，2x1三1,解得 1WxW2；当%>2时,由/（九）三1解得x>2./（同，1的解集为卜|工21.3 x -2J3且当x =一时，x +21| x 2 ?5,x + x ,故m的取值范围为 4f 5-00,4（2）由）（X），尤 2 一%+加得6 W|x + l|- X-2 -2+X ,而 x+1 x2 x2 +x W N +1+国2%? + x10.设。均为正数.，且+c = l,证明:(n)(I ) ab + hc + ca< ； 3b c a解析】(I ) a? + / 2 2ab,b2 +c2 > 2bc, c2 + a1 > 2ca 得 a2 +b2 + c2 > ab +be + ca ,由题设得(a + +=i ,.即 2 +/ + 2ab + 2bc + 2ca = 1,/. 3>ab+bc+ca)<l,即 ab + be + ca W；.a2b2c2a2b2c2(H) */卜 b N 2,F c > 2b,F 2 2c ,11F (a + Z? + c) > 2( + Z? + c),bcabca即£ +2+三之。+6+。，土+生+三21. b c ab c a令 一一'关注有礼学科网中小学资源库扫码关注可免费领取180套PPT教学模版令海量教育资源一触即达 令新鲜活动资讯即时上线学学科同学学科同【答案】B 【解析】如图，画出可行域，显然过点时，取到最小值，即2mhi =-1-g = -|,故选B.2. （2021年全国乙卷文）假设了,ix + y24,y满足约束条件y W 2,那么z =3x + y的最小值为I y < 3,A. 18 B. 10 C. 6 D. 4【答案】c【解析】由约束条件可得可行域如下图，当直线2=3%+过点3（1,3）时，z取最小值为6, 应选C.%< 33. （2021上海卷）<2xy 220, z = xy,那么z的最大值为3x + j - 8 > 0【答案】4【解析】画出可行域易得最优解为（3,-1）,所以z的最大值为42x+y-2<0,4. （2020全国1卷）假设-y满足约束条件< X y 1 2 0,那么z=x+7y的最大值为 + 1>0,【答案】1.【解析】绘制不等式组表示的平面区域如下图,目标函数 z = x + 7y 即：y = -x + z ,其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大, 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，目标函数 z = x + 7y 即：y = -x + z ,其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大, 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程:2x + y 2 = 0x-y-l=0可得点A的坐标为：A（1,O）,据此可知目标函数的最大值为：21仔=1 + 7*。= 1.故答案为：1.题组2基本不等式5.（2021年全国乙卷文）以下函数最小值为4的是（）A. y = x2 +2x +4-B. y= sinx +sinx-4C. y = 2'+2"D. y = nx-In %【答案】c【解析】由题意可知A的最小值为3, B的等号成立条件不成立，D无最小值.6. (2020年新全国1山东)4>0, /?>0,且那么()A. a2+b2>-B. 2a-b > -22C. log2 (7 + log2/? >-2【答案】ABD【解析】对于A, /+/=/+（_=2片_2。+ 1 =2, a- v 7I 2 2当且仅当4 = = !时，等号成立，故A正确； 2对于C,对于C,对于3, a-b = 2a-l>-l,所以2所”>2-二，故8正确； 2log2 a + log2 b = log2 ab < log2当且仅当。=b=时，等号成立，故。不正确；2_ 2对于 D,因为（& + 霸）=i + 2yab < + a + b = 2 ,所以« +枇工也,当且仅当4 =人=,时，等号成立，故。正确；应选：ABD11 Q（2020年天津卷）a >0, >0,且。b=1,那么 + + 的最小值为2a 2b a + b【答案】477 T 118 ab ab 8【解析】a>O,b>O.a + b>O, ab = l, F += 一H +2a 2b a + b 2a 2b a + b= £+ + 8> /£+x 8=4 ,当且仅当。+人=4时取等号，2 a+b v 2 a+b结合。/? = 1,解得 = 2 J5/ = 2 + G，或。= 2 + G/ = 2 g时，等号成立.故答案为：4（2020年江苏卷）5dy2 + y4=i（x,”R）,那么产十尸的最小值是.4【答案】-1 _ v4【解析】5/丁+'4=1,）。0且l2=5NV + y21-y4 21 4y2pTy -2 2 75)厂5y 5N 5)广苓当且仅当.=苓，即八QW时?944取等号.尤+/的最小值为一.故答案为: 55题组3含绝对值不等式7. (2021 年全国甲卷)函数/'(%) =卜一2 , g(x) = |2x + 3| -|2jt-1|.（1）画出y = /（x）和kg（x）的图像.（2）假设f（x + a）Ng（x）,求的取值范围.【答案】见解析-4, x < 21【解析】易知g(x) =，4x + 2,-；<x(不 乙乙， 13 , x > 一2、贝U y = f(x)和y = g(x)的图像为(1)由(1)中的图可知，y = /(x + a)是y = /(x)左右平移同个单位得到的结果，向右平 移不合题意，向左平移至y = .f(x + a)的右支过点曲线，y = g(x)上的(，,4)点为临界状态， 此时y = /(x + q)右支的解析式为y = x + a-2 ,由点(,4)在y = x + a-2可知4 =+。一 2, 解得。=U,假设要满足题意，那么y = /(x + a)要再向左平移，那么。2上那么的取值范围为 211、,+00)乙(2021年全国乙卷)函数/(%) = 1%-卷+ |x + 3|.(1)当。=1时，求不等式f(x) 2 6的解集;(2)假设/求。的取值范围.3 【答案】(1) (-4U2,4-oo) ； (2),+°0)【解析】(1)当=1时，/26目-1| + 1%+3| 26,当不五3时，不等式olxx326,解得xWT；当一3Vx<1 时，不等式ol-x+x+3 26 ,解得x£0；当工21时，不等式oxl + x+326,解得综上，原不等式的解集为(毋,-4山2,田).(2)假设/”,即 /(©min"。，因为/(x) = |x Q| + |x + 3|，|(x 。) (x + 3)| =|q + 3| (当月.仅当(x q)(x + 3)W0时，等号3成立)，所以/(x)min =1。+ 3|,所以|a + 3|>Q,即 q + 3vq或 + 3>q,解得Q£(-，+°°)10. (2020全国I文理22)函数力=|3% + 1|-2,-1| .(1)画出y = /(x)的图像；(2)求不等式x)x + l)的解集.x + 3,x>i【解析】(1)/(x)= 5x 1, -1<X<1,作出图像，如下图:如下图:（2）将函数/（X）的图像向左平移1个单位，可得函数/（X + 1）的图像,12. （2020 江苏 23）设解不等式 2|x+l| + |x|<4 .（7、oo,2【答案】一2,4【解析】X < 1或2% 2 x V 4-l<x<Q 或 2x+2-x<422一2«工一1或一1«元0或0工（一，解集为-2,7.33题组4格西不等式=2, ab = O,d-a在c方向上13. （2021年浙江卷）平面向量”，b, c（cwO）满足问=1, b （a-b）c = 0 .记平面向量d在a, 方向上的投影分别为x, y,的投影为Z,那么f+y2+z2的最小值是【答案】-5【解析】设 a =(1,O),Z> = (O,2),c =(2m,m), J = (x,y),(- a)c (x-l)-2m + ym 2x+y 2'75m" 旧 '(2x+y-2)2 =至十4)(2x+y - 2) (2x+y-2x-y + 2)2 24 + 1+5(当且仅当今:y= 2x-y + 2时,即工=2工时，取得等号).455514. (2019全国I文理23)a, b, c为正数，且满足abc二l.证明：(1) + - + -<tz2 +Z72 +c2 ； a b c(2) (a + /?)3 + (Z? + c)3 + (c + a)，N 24 .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析.【解析】(1) mja1 +b2 >2ab,b2 +c2 >2bc,c2 +cr >2ac,又abc = ,2 Z2 2、77ab + bc + ca111. 1112 7 2211乂 W ci + b + c > cib + be + ca - I1 , l1 < ci + b + c .abcabc abc(2)因为a,4c为正数且。从=1,故有(a + Z?)3 +(b + cP + (c + a)3 >+ Z?)3 (b + c)3 (a + c)3 =3(a+b)(b+c)(a+c)> 3x(2>/)x (2>/c)x (2yac) =24.(a + b)' + (Z? + c)3 + (c + o)3 2 24 .易错题通关1,以下不等式恒成立的是()A. a2 +b2 < 2abC.a + b> -2ylabB.a2 +b2 > -2abD.a + b< 2 J ab【解析】B2.假设q0, c<d <0,那么一定有A. (8,3B. 2,3表示的平面区域,ababababA. > B. < C. >D. < cdcddcdc【解析】由c < d < 0 =>> 0,又d cnhci ha>bO,由不等式性质知：4>±0,所以dcd c3 2.。>0, b>0, + = 1 ,那么2。+ 3的最小值为()b aA. 20B. 24C. 25D. 28【解析】由题意24 + 3。= （2 + 3。）（工+上）=13 +效+ 也13 + 2庐x效= 25,当且仅当 a b b a b a=， 即q = Z? = 5时等号成立. b a应选：C.x>0.假设实数X、y满足不等式组,那么z = x + 3y的取值范围为（）x + 2y> 2C. 2,+oo)D. 3,+<x)然后通过平移直线y = -x即可得出过点（2,0）时z取得最小值2 ,无最大值,）那么2 =工+ 3的取值范围为2,+00）,应选：C.